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第 1 章
集合与常用逻辑用语
人教A版2019必修第一册
1.1集合的概念
学习目标
通过实例了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，能选择集合不同的语言形式描述具体的问题。
了解集合元素的确定性、互异性、无序性，掌握常用数集及其专用符号,并能够用其解决有关问题。
会用集合语言表示有关数学对象：描述法，列举法。
元素和集合的含义
集合的概念
导入新知
格奥尔格 · 康托尔
（G.Cantor,1845-1918）
德国数学家，集合论创始人，
也是数学无穷大理论的奠基人。
导入新知
校务处通知：
9月1日8:00，高一年级学生到操场集合进行军训。
学习新知
自然数的集合
有理数的集合
不等式的解的集合
到一个定点的距离
等于定长的点的集合
到一条线段的两个端点距离相等的点的集合
......
学习新知
1
1～10以内的所有奇数
2
方程x2－9＝0的实数根
3
小于8的素数
4
中国四大发明
5
中国十二生肖
6
到定点O的距离等于1的所有点
1，3，5，7，9
x1=-3，x2=3
2，3，5，7
造纸术、指南针、火药、印刷术
鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪
圆心是O，半径为1的圆上的点
集合
元素
学习新知
一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合（set）（简称为集）。
给定的集合，它的元素必须是确定的。也就是说，给定一个集合，那么一个元素在或不在这个集合中就确定了。例如，“1-10之间的所有偶数”构成一个集合，2，4，6，8，10是这个集合的元素，1，3，5，7，9，…不是它的元素；
“较小的数”不能构成集合，因为组成它的元素是不确定的。
一个给定集合中的元素是互不相同的。也就是说，集合中的元素是不重复出现的。
应用新知
【情景】军训时教官喊1班集合：
2班学生会不会跑到1班来？
教官调整了站位后班级里的人有没有发生变化？班级会不会发生改变？
教官要求报数的目的是什么？一个人是否会报两次？
我们班的同学能不能构成集合？
确定性
无序性
互异性
学习新知
集合中元素具的有几个特征：
互异性
集合中的元素无顺序,可以任意排列调换。
确定性
它的每一个元素必须是确定的。即给定一个集合，那么元素与集合的关系只有“属于”及“不属于”两种。
无序性
即集合中的元素是互不相同的，如果出现了两个(或几个)相同的元素就只能算一个，即集合中的元素是不重复出现的。
集合的相等：
只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。
应用新知
例：具有下列特征的对象能否构成一个集合
不能，“体重很重”的标准不明确。
能， 横坐标小于0且纵坐标大于0的点
都是第二象限的点。
不能，“某些”指哪些？标准不明确。
能， 就是小于或等于5的数。
能， 该方程的有理数解为x=0。
应用新知
探究：元素和集合的关系
我们通常用大写拉丁字母A，B，C …表示集合，用小写拉丁字母a，b，c …表示集合中的元素。
已知下面的两个实例：
（1）用A表示高一(3)班全体学生组成的集合。
（2）用a表示高一(3)班的一位同学，b表示高
一(4)班的一位同学。
思考：那么a，b与集合A分别有什么关系
a是集合A中的元素
b不是集合A中的元素
元素和集合的关系
总结新知
属于符号和不属于符号具有方向性，左边是元素右边是集合。
a∈A
a A
总结新知
学习集合与元素的概念后，为了方便书写，数学中规定了一些常用数集及其记法：
Q
R
N
Z
N* 或 N＋
0,1,2,3，…
1,2,3，…
0,±1,±2,
±3，…
整数+分数
有理数
无理数
学习新知
【练习】 用符号“∈”或“ ”填空。
(1) 2 N.
(2) _______ Q.
(3) 0 {0}.
(4) b {a,b,c}.
【总结提升】求解此类问题必须要做到以下两点：
①熟记常见的数集的符号；
②正确理解元素与集合之间的“属于”关系。
总结新知
判断元素与集合关系的两种方法
如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可，此时应先明确集合是由哪些元素构成的。
对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应先明确已知集合的元素具有什么特征，即该集合中元素要满足哪些条件。
直接法:
推理法:
若元素a属于集合A，则元素a就具有集合A的特征；若a不属于集合A，则元素a就不具有集合A的特征。
集合的表现方式
集合的概念
学习新知
从上面的例子看到，我们可以用自然语言描述一个集合。除此之外，还可以用什么方式表示集合呢？
1.列举法：
“地球上的四大洋”组成的集合可以表示为：
｛太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋｝
将集合中的元素一一列举出来，并用大括号{ }括起来的方法叫做列举法。
元素
无序、互异
元素与元素之间用逗号隔开
应用新知
由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因此一个集合可以有不同的列举方法。例(1)的集合还可以写成：
总结新知
通过思考以上问题大家能总结归纳出列举法的概念吗？
把集合的元素一一列举出来，并用大括号“{ }” 括起来表示集合的方法叫做列举法。
一一列举
列举法
{ }
元素
互异性
确定性
无序性
元素间要用逗号隔开。
学习新知
是一个元素
是一个集合
学习新知
2.描述法：
你能用自然语言描述集合{0，3，6，9}吗？
你能用列举法表示不等式 x-7<3 的解集吗
不等式x-7<3的解集是x<10，因为满足x<10的实数有无数个，所以x-7<3的解集无法用列举法表示。但是，我们可以利用解集中元素的共同特征，即∶x是实数，且x<10，把解集表示为{x∈R|x<10}。
设A是一个集合，我们把集合A中，所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为：
我们称这种方法为描述法。
P(x)表示该集合中的元素x所具有的性质
x为该集合的代表元素
学习新知
学习新知
又如，整数集Z又可以分为奇数集和偶数集，对于每一个 ,如果它能表示为 的形式，那么x除以2的余数为1，它是一个奇数；反之，如果x是一个奇数，那么x除以2的余数为1，它能表示为
的形式．所以 是所有奇数的一个共同特征，于是奇数集可以表示为：
你能用这样的方法表示偶数集吗？
应用新知
学习新知
学习新知
学习新知
总结新知
思考：除字母表示法和自然语言之外，还能用什么方法表示集合？
方法四：描述法
在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫作描述法。
方法二：自然语言表示法
用文字语言表示集合，例如“所有的正方形”组成的集合等；
方法一：字母表示法
用大写的英文字母表示集合，例如常见的数集N，Q，所有的正方形组成的集合记为A等；
方法三：列举法
把集合中的全部元素一一列举出来，并用大括号“｛｝”括起来表示集合，这种表示集合的方法叫作列举法。直观比如：自然数集N={0,1,2,3,4,5,6……}；
总结新知
思考：你能说出列举法和描述法的优缺点吗？
题型强化训练
集合的概念
能力提升
题型一： 集合含义有关问题
1.集合中元素的互异性容易忽略，求解问题时要特别注意。
2.解决与集合含义有关问题的关键有三点：一是确定集合的类型是点集、数集，还是其它类型的集合；二是确定元素的一般特征；三是根据元素的限制条件（满足的条件）构造关系式解决相应问题。
能力提升
考虑集合元素三要素：确定性 无序性 互异性。
题型二： 元素与集合的关系
能力提升
解题思路：集合的相等条件是什么？
只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。
题型三： 两个集合相等
【练习3】下列集合中表示同一集合的是
A．M＝{(3，2)}，N＝{(2，3)}
B．M＝{2，3}，N＝{3，2}
C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}
D．M＝{2，3}，N＝{(2，3)}
能力提升
题型三： 两个集合相等
选项A中的集合M是由点(3，2)组成的点集，集合N是由点(2，3)组成的点集，故集合M与N不是同一个集合；
选项C中的集合M是由一次函数y＝1－x图象上的所有点组成的集合，集合N是由一次函数y＝1－x图象上的所有点的纵坐标组成的集合，即N＝{y|x＋y＝1}＝R，故集合M与N不是同一个集合；
选项D中的集合M是数集，而集合N是点集，故集合M与N不是同一个集合；对于选项B，由集合中元素的无序性，可知M，N表示同一个集合。
故选B．
能力提升
题型四： 元素与集合的关系
【练习4】若集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}只有一个元素，试求实数k的值，并
用列举法表示集合A．
【答案】实数k的值为0或1.当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}．
【解析】若集合A只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0只有1个实根或有两个
相等的实根。
当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，x＝2.此时集合A＝{2}．
当k≠0时，则关于x的一元二次方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实根，
只需Δ＝64－64k＝0，即k＝1.
此时方程的解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}，满足题意。
综上所述，实数k的值为0或1.当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}．
题后反思
集合与方程的综合问题的解题思路
弄清方程与集合的关系，往往是用集合表示方程的解集，集合中的元素就是方程的实数根。
当方程中含有参数时，一般要根据方程实数根的情况来确定参数的值或取值范围，必要时要分类讨论。
求出参数的值或取值范围后还要检验是否满足集合中元素的互异性。
小结及随堂练习
集合的概念
集合
的
概念
课堂总结
课堂总结1
一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。
集合的概念
确定性：它的每一个元素必须是确定的；互异性：同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中的元素无顺序,可以任意排列调换。
集合中元素的性质
N：自然数集（非负整数集）； N＋或N﹡：正整数集(非零自然数集)；
Z：整数集； Q：有理数集； R：实数集。
常用数集
自然语言 列举法 描述法
集合的表示
课堂总结2
1.集合中元素的三个特性:
确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属不属于这个集合就确定了．这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合。
互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的。
无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合．这个性质通常用来判断两个集合的关系。
课堂总结2
2．元素a与集合A之间只有两种关系：a∈A，a A.
元素间用分隔号“，”；
元素不重复；
元素无顺序；
列举法可表示有限集，也可以表示无限集。
若集合中的元素个数比较少，则用列举法比较简单；
若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示。
3．在用列举法表示集合时应注意
课堂总结2
4．在用描述法表示集合时应注意
弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式；
当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真(元素具有怎样的属性)，而不能被表面的字母形式所迷惑。
课堂总结3
常用数集 意义 记作
自然数集 全体非负整数组成的集合 N
正整数集 全体正整数组成的集合 N* 或 N+
整数集 全体整数组成的集合 Z
有理数集 全体有理数组成的集合 Q
实数集 全体实数数组成的集合 R
作业
集合的概念
教材第5页 --- 习题1.1 --- 第1,2题
练习（第5页）
1．判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由：
（1）与定点A，B等距离的点；
（2）高中学生中的游泳能手。
（1）是，即线段 AB 的垂直平分线。
（2）不是，因为游泳能手与不是能手没有具体的划分标准。
练习（第5页）
习题1.1 （第5页）
习题1.1 （第5页）
习题1.1 （第5页）
（4）｛指南针，活字印刷，造纸术，火药｝
习题1.1 （第5页）
习题1.1 （第5页）
5．集合论是德国数学家康托尔于19世纪末创立的。当时，康托尔在解决涉及无限量研究的数学问题时，超过“数集”限制，提出了一般性的“集合”概念。希尔伯特赞誉其为“数学思想的惊人产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一”，罗素描述其为“可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作”。请你查阅相关资料，用简短的报告阐述你对这些评价的认识。

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