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吉林省、黑龙江省六校联考2024-2025学年高一下学期7月期末考试
数学试题
一、单选题
1．若，为互斥事件，则
A． B．
C． D．
2．已知锐角三角形边长分别为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在直角梯形中，，则直角梯形的直观图的面积为（ ）

A．8 B． C．1 D．
4．平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关，在下图两种分布形态中，分别对应平均数和中位数之一，则可能的对应关系是（ ）
A．为中位数，为平均数，为平均数，为中位数
B．为平均数，为中位数，为平均数，为中位数
C．为中位数，为平均数，为中位数，为平均数
D．为平均数，为中位数，为中位数，为平均数
5．空间中有两个不同的平面和两条不同的直线，则下列说法错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
6．2024年巴黎奥运会奖牌榜前8名的金牌数依次为40，40，20，18，16，15，14，13，则这组数据的上四分位数为（ ）
A．40 B．30 C．15 D．14.5
7．类比思想是学习数学的一种重要的思想方法，是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的一种思维方法．在平面几何中，有如下命题“正三角形的高为是内任意一点，到三边的距离分别为，则为定值”．证明如下：设正三角形边长为，高到三边的距离分别，则：，即：，化简得，，（定值）．类比此命题及证明方法，在立体几何中可解决以下问题，正四面体中，，若点是正四面体内任意一点，点到平面，平面，平面，平面APC的距离分别为，则（ ）
A． B． C． D．
8．某班准备从全班50人中选一人参加学校活动，投票结果甲乙丙三人票数并列第一，现决定抽签的方式在甲乙丙中确定最终人选，抽签规则如下，班主任掷骰子确定三人抽签顺序，抛掷一枚均匀的骰子，每个点数对应一种抽签顺序，然后甲乙丙按照相应顺序依次从装有大小形状完全相同的两白一红三个小球的盒子里不放回的各自取一球，取到红球即胜出，则甲胜出的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．设复数，其中是虚数单位，是的共轭复数，下列判断中正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．以下叙述不正确的是（ ）
A．若事件两两独立，则
B．若，则事件两两独立
C．若，则事件两两互斥
D．若事件两两互斥，则
11．已知平面直角坐标系中三个点，则下列说法正确的是（ ）
A．若四边形为平行四边形，则点坐标为
B．以为圆心，作一个半径为1的圆，点为该圆上的任意一点，，若为正值，则的最小值为4
C．若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为
D．与的角平分线所在直线平行的一个向量的坐标为
三、填空题
12．如图，四个边长均相等的等边三角形有一条边在同一条直线上，边上有10个不同的点，，记，若，则等边三角形的边长为 .

13．甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中，若，就称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为 .
14．如图，在直角梯形中，，，以边所在的直线为轴，其余三边旋转一周所形成的面围成一个几何体．一只蚂蚁在形成的几何体上从点绕着几何体的侧面爬行一周回到点，则蚂蚁爬行的最短路程为 ．

四、解答题
15．为了了解某工厂生产的产品情况，从该工厂生产的产品中随机抽取了一个容量为400的样本，测量它们的尺寸（单位：mm），并将数据分为七组，其频率分布直方图如图所示．

(1)求值；
(2)根据频率分布直方图，求400件样本中尺寸在内的样本数；
(3)已知利用分层随机抽样从第一、二组共抽出十二个数据，从第一组，第二组抽出的数据的标准差分别为1和，平均值分别为93和94.5，求抽出数据的均值和方差．
参考公式：若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：；记总的样本平均数为，样本方差为，则．
16．如图，在多面体中，，，，平面平面.

(1)证明：平面.
(2)已知，平面平面，是线段的中点.
①证明：四边形为矩形.
②求多面体的体积.
17．如图四边形中，

(1)若的面积为，且为锐角，求的长度．
(2)试问是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由，
(3)求四边形面积的最大值．
18．如图，在四棱锥中，平面，底面为梯形，，平面平面，且，.
(1)若平面与平面相交于直线，求证：；
(2)求与所成的角；
(3)求二面角的余弦值．
19．法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点．托里拆利确定费马点的方法如下：
①当三个内角均小于时，满足的点为费马点；
②当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．
请用以上知识解决下面的问题：
已知的内角、、所对的边分别为、、，点为的费马点，且
(1)求角；
(2)求；
(3)已知在中，若点为平面上任意一点，求的最小值．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D C A B B D A AD AB
题号 11
答案 BD
12．3
13．
14．12
15．（1）由图知，可得；
（2）由图知400件样本中尺寸在内的样本数为件；
（3）由分层抽样的等比例性质，第一、二组抽取数据分别为4、8个，
所以抽出数据的均值为，
抽出数据的方差为.
16．（1）证明：因为，
所以，所以.
因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面.
因为平面，所以.
因为，
平面，平面，且，
所以平面.

（2）①证明：因为，且为线段的中点，所以.
因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面.
所以，
由（1）可知平面，则，，
因为，，且，所以.
因为，所以四边形是矩形.
②解：因为，且为线段的中点，所以，
由①知，
因为平面，平面，且，
所以平面，
由①知，
因为，，所以.
则四棱锥的体积.
故多面体的体积.
17．（1）由题设，又，可得，
又为锐角，则，故；
（2）由题设，，
又，则，，
所以，为定值；
（3）由，
令，则，
又，则，
所以，
当，即时，最大，此时，
所以四边形面积的最大值.
18．（1）因为，平面，平面，所以平面，
因为平面，平面平面，故.
（2）过点在平面内作，垂足为点，如下图所示：
因为平面平面，平面平面，平面，
，故平面，
因为平面，所以，
因为平面，平面，所以，
因为，、平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为，故与所成的角为或其补角，
又因为，则为等腰直角三角形，则，
即与所成的角为.
（3）取的中点，连接，
因为，，，故，
所以，四边形为平行四边形，所以，，
由平面，平面，则，
而，平面，于是平面，
又平面，则，过作于，连接，
显然，、平面，因此平面，
而平面，则，即是二面角的平面角，
由，，得，
则，，，
所以二面角的余弦值是.
19．（1）因为，又，
所以，
因为，则，故，
因为，所以，
又，则，故为等腰直角三角形，所以.
（2）由，知，
由费马点定义知，，
设，，，，，，
由得：，
整理得，
则.
（3）在中，，，
以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，
则、、，设点，
则，，
所以，
则的几何意义是点到点、、的距离之和，
因为，，则为等腰直角三角形，故，
易知，故，
所以，的“费马点”为点，故的最小值为.

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