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哈尔滨市2023级高二学年学业质量检测数学试卷
本试卷共19题，共150分，共4页。考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在草稿纸、试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 则A∩B=
A. {x|-1≤x≤3} B. {x|x≤5}
C. {0,1,2,3} D. {1,2,3}
2.已知命题 则→P是
3.已知角α终边上一点P(1,y), 若 则y的值为
A. 3 C. ±3
4.已知函数y=f(x)是奇函数且在区间[-5，-1)上单调递增，则函数y=f(x)在区间(1,5]上
A.单调递增，有最小值 B.单调递增，有最大值
C.单调递减，有最小值 D.单调递减，有最大值
5.《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其中将轴截面为等腰直角三角形的圆锥称为直角圆锥.若一个直角圆锥的侧面积是它的体积的. 倍，则该直角圆锥的母线长为
B. 3
6.将标有1，2，3，4的4个不同的小球分给甲、乙、丙3位同学，每位同学至少有1个球，则1号球分给甲的不同分配方式共有( )种
A. 6 B. 12 C. 24 D. 36
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7.已知随机变量X服从正态分布N(2，σ )，若 则P(38.已知样本数据a ，a ，a ，a 都为正数，其方差为 则样本数据 的平均数为
A. 21 B. 25 C. 80 D. 101
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知正数a, b满足a+b=1, 则
10.下列说法正确的是
A. 一组数据(x ,y )(i=1,2,3,4,5,6)的经验回归方程为 若 则
B.根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到 依据α=0.05的独立性检验 认为X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05
C.一个小球从原点出发，每次沿着数轴所在直线向左或向右移动1个单位，每次向左移动的概率为 ，向右移动的概率为 .那么小球第1次移动后位于 1且第5次移动后位于1 的概率为
D.若随机变量 则
11.有三个相同的箱子，分别编号1，2，3，其中1号箱内装有4个绿球、1个红球， 2号箱内装有2个绿球、3个红球，3号箱内装有5个绿球，这些球除颜色外完全相同.某人等可能从三个箱子中任取一箱并从中摸出一个球，事件A 表示“取到i号箱(i=1，2，3)”，事件B表示“摸到绿球”，事件C表示“摸到红球”，则
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.
12.已知复数z满足i(2-z)=1, 则
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的展开式中. 的系数为 .
14.已知函数f(x)的定义域为R, 且f(x+2)-1为奇函数, f(2x+1)为偶函数,f(1)=-2,则
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
已知等差数列{an}的前n项和 Sn满足
(1)求{an}的通项公式;
(2)若 求{b }的前n项和T .
16.(15分)
已知函数
(1)若函数f(x)在x=1处的切线斜率为3，求该切线方程；
(2)若a=-1时, f(x)≥mx恒成立, 求m的取值范围.
17.(15分)
一座城的文明，是一个地方的骄傲.为构建好符合时代要求的文明城市，某市举办了“创建文明城市”知识竞赛.共有 1000人参与此次竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，根据这100份答卷的打分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]
(1)求频率分布直方图中a的值，并估计参加该次竞赛的1000人中，打分不低于70分的人数；
(2)试估计这 100份样本的平均分和第三四分位数(同一组中的数据用该组区间的中间值代表，结果保留小数点后2位)；
(3)假设分数在[80，100]之间为优秀，在[60，80)之间为良好，现采用分层随机抽样的方法，从分数在[60，100]之间随机抽取9份答卷，再从这9份答卷中随机抽取2件，求至少有一份答卷成绩为优秀的概率.
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18.(17分)
用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若. 是f(x)的导函数, f"(x)是f'(x)的导函数, 则曲线. 在点(x,f(x))处的曲率
(1)求曲线 在(0,1)的曲率;
(2)求曲线.f(x)=e 曲率的最大值；
(3)函数 若h(x)不存在曲率为0的点，求实数m的取值范围.
19.(17分)
某学校举行了一场知识竞赛，有A、B两类题型，每道A类题有两道小题，每位同学答对这两题的概率分别为p 、p ，两道小题全对可得50分，否则得0分.B类题为25分，只有一个小题，每位同学答对的概率为 且答各小题之间相互独立.现有两种答题方案：
方案一：选择答一道A类题两道B类题；
方案二：选择答两道A类题.
(1)若 对于方案二，试探究 p 取何值时，满分的概率最高；
(2)若 求选择方案一学生得分的分布列；
(3)若 为了平衡难度，当选择方案二时，其中的一道A类题只需答对任意一道小题即可得50分，以得分的数学期望为依据，判断应选择哪种方案答题.
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D D B D B A A
题号 9 10 11
答案 ABD BC ACD
12. 13.12 14.2022
4.【详解】奇函数图像关于原点对称，所以在关于原点对称区域内单调性相同，函数y=f(x)是奇函数且在区间[-5，-1)上单调递增，则函数y=f(x)在区间(1，5]上单调递增，由于区间为半开半闭区间，所以存在最大值.故选 B.
5.【详解】设圆锥底面半径为r，则高也为r 所以 母线长为
故选 D
6.【详解】由题可先将1 号球分给甲，再将情况进行分类：
第一类，甲只有一个球，则另外三个球分给乙和丙两位同学，有( 种方法，第二类，甲有两个球，则需要将3 个球分发给3位同学的方法数有. 种，所以共有 6+6=12种分法.故选 B.
7.【详解】随机变量X的密度曲线关于x=2对称，
P(X>0)+P(X>3)=P(X<4)+P(X>3)=P(X<4)+P(X≥4)+P(3所以 故选 A
8.【详解】设a , a , a , a 平均数为a,因为 得 由 故 则样本数据 的平均数为 故选 A
11.【详解】由题意可知 ,A正确，B错误； C正确；
正确; 故选 ACD.
14.【详解】f(x+2)-1为奇函数, 所以f(x)关于点(2,1)对称, f(2x+1)为偶函数, 所以f(x)关于直线x=1对称, 故f(x)的周期为4, f(2)=f(4)=1, f(1)+f(3)=2, f(2025)=f(1)=-2
所以∑f(i)=506(f(1)+f(2)+f(3)+f(4))+f(2025)=506×4=2=2022 ,故答案为2022.
15.(本小题满分13分)
(1) 由 可得
由 可得d=2,
故
(2) 由 (1) 得
故 11分
则 13分
16.(本小题满分15分)
解： 所以a=-2·· 2分
,切点为(1,4). 4分
切线方程为y-4=3(x-1),即3x-y+1=0. 6分
8分
设 9分
设 ∴h(x)在(0,+∞)上单调递增……………………11分
∵h(1)=0, x∈(0,1)时h(x)<0即g'(x)<0, g(x)在(0,1)上单调递减
x∈(1,+∞)时h(x)>0即g'(x)>0, g(x)在(1,+∞)上单调递增
17.(本小题满分15分)
答:(1) 由频率分布直方图可知, (0.004+a+0.018+0.022+0.022+0.028)×10=1, 解得a=0.006, …2分该校学生满意度打分不低于 70分的人数为: 1000×(0.28+0.22+0.18)=680…………………………………………………………4分
(2)平均数为：x=45×0.04+55×0.06+65×0.22+75×0.28+85×0.22+95×0.18=76.2; …………………………6分
所以0.04+0.06+0.22+0.28=0.6,0.04+0.06+0.22+0.28+0.22=0.82,
所以75%的分位数为
(3) 由频率分布直方图可知, 打分在[60,80)和[80,100]内的频率分别为0.5和0.4,
所以打分在[60,80)和[80,100]内的频率之比为5:4所以在打分[60，80)中抽取的人数为 人；
在打分[80，100]中抽取的人数为 人.设“至少有一份答卷成绩为优秀”为事件A，
则 至少有一份答卷成绩为优秀1318…
18.(本小题满分17分)
【解】(1) 因为 则f'(x)=e , f"(x)=e ,
所以
(2) 因为 则
所以
令
贝 6分
当 时，g'(t)>0, g(t)单调递增,
当 时, g'(t)<0, g(t)单调递减,
所以 所以曲率K最大值为
因为h(x)不存在曲率为0的点, 所以h"(x)=0在(0,+∞)无实数解, 令
令 求导得 函数φ(x)在(0,+∞)上单调递增,
而 则存在 使 即 此时
当x∈(0,x )时, t'(x)<0; 当 时, t'(x)>0,
函数t(x)在(0,x )上单调递减, 在( 上单调递增，
因此 由 得
则 所以m的取值范围是(-∞,1).
19.(本小题满分17分)
(1)记选择方案二学生的得分为X
当且仅当 时取等，
此时满分概率为
(2)在方案一中，记A类题得分为Y ，B类题得分为Y ，选择方案一学生得分为Z
由题可知Z可能的取值为0、25、50、75、100
Z的分布列为
Z 0 25 50 75 100
P
(3) 方法一:
记A、B类题得分分别为事件A、B，当A类题只需答对一道得50分为事件A'
由 可得
E(Z)=E(A+2B)=E(A)+2E(B),E(X)==E(A)+E(A')
故E(Z)-E(X)=2E(B)-E(A'). 11分
13分
所以
= 0p
所以E(Z)方法二：
由 可得 9分
若选择方案一，学生得分Z 可能的取值分别是0、25、50、75、100
q )
所以 11分
若选择方案二，学生得分X 可能的取值分别是0、50、100
所以 13分
所以 q
=5
所以E(Z)

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