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22.3 实际问题与二次函数
1.某种商品的价格是200元,准备进行两次降价,若每次降价的百分率都是x,两次降价后的价格y(元)随每次降价的百分率的变化而变化,则y与x之间的关系式为( )
A. B. C. D.
2.一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件.根据销售统计，该件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为( )
A.5元 B.10元 C.2元 D.6元
3.如图1是莲花山景区一座抛物线形拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时水面宽为 ( )

A. B. C. D.
4.如图，农民伯伯在自家院子靠墙边建一块矩形菜地，墙的最大长度为，另三边用总长的栅栏围成.若菜地的最大面积为，则a的值是( )
A.10 B.20 C.30 D.10或30
5.如图1,这是某公园一座抛物线型拱桥,按图2所示建立平面直角坐标系,得到函数,在正常水位时,水面宽为30米,当水位上升7米时,水面宽为( )
A.5米 B.米 C.10米 D.米
6.如图是抛物线形拱桥,当拱顶高离水面2m时,水面宽4m,水面下降2.5m,水面宽度增加( )
A.1m B.2m C.3m D.6m
7.如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1 m处达到最高点C，高度为3 m，水柱落地点D离池中心A处4 m，则水管的顶端B距水面的高度为( )
A.2 B. C. D.
8.一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离处起跳投篮,球沿一条抛物线运动,当球运动的水平距离为时,达到最大高度,然后准确落入篮筐内,已知篮圈中心距离地面高度为,下列说法正确的是( )
A.篮球出手时离地面的高度是 B.篮圈中心的坐标是
C.此抛物线的顶点坐标是 D.此抛物线的解析式是
9.烟花厂为春节特别设计制作一种新型礼炮,这种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是,若这种礼炮在点火升空到最高点引爆,则从点火升空到引爆需要的时间是____________.
10.行驶中的汽车刹车后,由于惯性的作用,还会继续向前滑行一段距离,这段距离称为“刹车距离”.某车的刹车距离与车速之间有下述的函数关系式：,请推测刹车时该汽车的最大刹车距离为______km.
11.某旅社有客房144间,每间房的日租金为200元时,每天都客满,经市场调查发现,如果每间房的日租金每增加10元时,则每天客房出租数会减少6间,不考虑其他因素,旅社将每间客房的日租金提高到______元时,客房的日租金总收入最高.
12.兰州牛肉拉面，被誉为中华第一面.如图，这是一个面碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底O为原点建立平面直角坐标系，已知碗口宽，碗深，则当汤面的最大竖直高度为时，碗中汤面的水平宽度为__________.（碗的厚度不计）
13.周末,小明跟父母去宁强网红打卡地玩耍,小明的爸爸在树荫下将吊床绑在距离为米的树与树之间(米),两边拴绳的地方A、B距地面的高度均为米(米),吊床形状近似呈抛物线形,此时吊床最低点C离地面的高度为米.已知,,图中所有的点都在同一平面内.以树与地面的交点O为原点,地面上所在直线为x轴,所在直线为y轴建立平面直角坐标系如图所示.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当吊床上某处离地面高度为米时,求吊床上该处离右边树的距离.
14.冬天来临,气候寒冷,市场上保暖产品热销。綦江区某商场提前谋划,从10月中旬开始销售一种每件进价为50元的保暖内衣,物价部门规定每件保暖内衣售价不得高于80元,商场销售部负责人通过对销售数据的分析,发现这种保暖内衣每月的销售量y(件)与每件的售价x(元)满足函数关系：.
(1)商场每月想从这种保暖内衣销售中获利2250元,该如何给这种保暖内衣定价？
(2)请问这种保暖内衣售价定为多少元时可获得最大月利润？最大月利润是多少？
答案以及解析
1.答案：B
解析：若每次降价的百分率都是x,由题意得,
故选：B.
2.答案：A
解析：设每件需降价x元，每天获得的利润为y，
则，
，
当时，y取最大值，最大值为3600，
即要使每天获得的利润最大，每件需降价5元，
故选A.
3.答案：C
解析：依题意得：当时，，
当水位上升时，则此时，
则：，
解得：或，水面宽为：，
故选C.
4.答案：A
解析：设，则，劳动教育基地的面积为y，
根据题意得：，
∵墙的最大长度为，∴，
∵y最大值，∴，即或（不合题意舍去），
∴.
故选：A.
5.答案：D
解析：∵米,∴当时,.
当水位上升7米时,,把代入得,,
解得,此时水面宽米.
故选：D.
6.答案：B
解析：如图,建立平面直角坐标系,设横轴x通过AB,纵轴y通过AB中点O且通过C点,
则O为原点,抛物线以y轴为对称轴,且经过A,B两点,OA和OB为AB的一半2米,抛物线顶点C坐标为,
设顶点式,把A点坐标代入得,
∴抛物线解析式为,
当水面下降2.5米,把代入抛物线解析式得出：,
解得：,
,所以水面下降2.5m,水面宽度增加2米,
故选B.
7.答案：D
解析：以A为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立直角坐标系，如图所示：
则：，，
设抛物线的解析式为，将代入，得：，
，
当时，，
高度为；
故选：D.
8.答案：D
解析：由图和题意可得,抛物线的顶点坐标为,故C错误；
设抛物线的函数解析式为,
∵篮圈中心在抛物线上,将它的坐标代入上式,
得,
∴,
∴,故D正确；
当时,,
∴球出手处离地面,故A错误；
由图示知,篮圈中心的坐标是,故B错误；
∴说法正确的是D,
故选：D.
9.答案：4s
解析：∵,
∴当时,h取得最大值,
∴从点火升空到引爆需要的时间为4s.
故答案为：4s.
10.答案：0.00625
解析：,
∵,
∴当时,s取得最大值,最大值为0.00625,
即刹车时该汽车的最大刹车距离为,
故答案为0.00625.
11.答案：220
解析：设每间客房的日租金提高元,则每天客房出租数会减少间.
设客房日租金总收入为y,则,
即：,
∵,且,
∴.
当时,客房的日租金总收入最高.
这时每间客房的日租金为(元).
故答案为：220.
12.答案：20
解析：根据题意得抛物线经过点，
设抛物线表达式为，代入得，
解得，
∴抛物线表达式为，
当汤面的最大竖直高度为时，
令，
解得：，
碗中汤面的水平宽度为，
故答案为：20
13.答案：(1)
(2)米或米
解析：(1)根据题意得,,,
设抛物线的函数表达式为,
将点代入,
得,
解得,
∴抛物线的函数表达式为.
(2)将代入得,
解得,,
当时,(米),
当时,(米),
∴吊床上该处离右边树的距离为米或米.
14.答案：(1)商场每月想从这种商品销售中获利2250元,此时这种商品的定价为75元
(2)售价定为80元时可获得月最大利润,最大利润是2400元
解析：(1)由题意可得,
,
解得,(不符题意,舍去),
答：商场每月想从这种商品销售中获利2250元,此时这种商品的定价为75元；
(2)设利润为w元,
由题意可得：,
∴当时,w随x的增大而增大,
∵物价部门规定每件售价不得高于80元,
∴,
∴当时,w取得最大值,此时,
答：售价定为80元时可获得月最大利润,最大利润是2400元.

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