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广西钦州市第十三中学2024-2025学年高一下学期期末热身考试数学试卷（七）
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，
2.四答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需
改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。四答非选择题时,将答案写在签题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结来后,将本试卷和答题卡一并交回
一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）
1．已知函数的图象关于点对称，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，重庆欢乐谷的摩天轮被称为“重庆之眼”，其旋转半径为50米，最高点距离地面120米，开启后按逆时针方向旋转，旋转一周大约18分钟.将摩天轮看成圆面，在该平面内，以过摩天轮的圆心且垂直于地平面的直线为y轴，该直线与地平面的交点为坐标原点建立平面直角坐标系，某人在最低点的位置坐上摩天轮的座舱，摩天轮开始启动，并记该时刻为，则此人距离地面的高度与摩天轮运行时间t（单位：分钟）的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
3．若向量，满足，且，，则（ ）．
A．2 B． C．1 D．
4．已知与为两个单位向量，下列四个命题正确的是（ ）
A．与相等B．如果与平行，那么与相等C．与共线 D．如果与平行，那么或
5．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
6．化成和差的形式为（ ）
A． B．
C． D．
7．若复数，则z的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
8．已知复数，若，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
二、多选题（共3小题，每小题5分，共15分）
9．设是给定的平面，A，B是不在内的任意两点，则（ ）
A．在内存在直线与直线AB平行 B．在内存在直线与直线AB相交
C．在内存在直线与直线AB垂直 D．存在过直线AB的平面与垂直
10．已知是复数，则下列说法一定正确的有（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则至少有一个是虚数
11．下列式子中成立的有（ ）
A． B．
C． D．
第II卷（非选择题）
三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）
12．化简： ．
13．下列五个正方体图形中，是正方体的一条对角线，点，，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是 ．（写出所有符合要求的图的序号）

14．已知复数为虚数单位，).若为实数，则的值为 ； .
四、解答题（共6小题，共70分）
15．水下考古，潜水员身背氧气瓶潜入湖底进行考察，氧气瓶形状如图，其结构为一个圆柱和一个圆台的组合（设氧气瓶中氧气已充满，所给尺寸是氧气瓶的内径尺寸）、潜水员在潜人水下的过程中速度为，每分需氧量与速度平方成正比（当速度为时，每分需氧量）；在湖底工作时，每分需氧量为；返回水面时，速度也为，每分需氧量为．若下潜与上浮时速度不能超过，潜水员在湖底最多能工作多少时间？（氧气瓶体积计算精确到1L，a，p为常数）

16．设分别是方程的两个虚数根.
（1）求的取值范围及的值；
（2）若，求的值.
17．求证：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
18．阅读下列一段文字，并回答问题．
二元一次方程组，
用向量表示为． ①
用向量的加法与数乘法则，可将①式化为． ②
即， ③
由平面向量基本定理“如果和是同一平面内两个不共线的向量，那么对该平面内任意一个向量，存在唯一的一对实数，，使”知，若向量，不共线，那么存在唯一的一对实数使得成立．
这样，从向量角度认识方程组，这里向量，不共线，就是方程组的对应系数，方程组有唯一解．
那么，能用向量方法解释方程组有无穷解及方程组无解的情况吗？
19．比较下列各组函数值的大小：
(1)和；
(2)和；
(3)和．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B D D A C A C CD BD
题号 11
答案 ABC
12． 13．①③⑤ 14．4；.
15．氧气瓶中氧气的体积
，
设潜入水下的过程中的每分钟需氧量为，则，
因为当速度为时，每分需氧量，所以，
所以来回途中需氧量为，
则在湖底的工作时间为，
因为，当且仅当时取等号，
所以当时，的最大值为，
当时，，
因为，所以，
所以
，
即当时，在湖底的工作时间取最大值，为，
所以，当时，潜水员在湖底最多能工作，
当时，潜水员在湖底最多能工作
16．（1），；（2）5.
17．（1）因为左边，
右边，
所以左边=右边，原等式成立.
（2）因为左边右边，
所以，原等式成立.
（3）因为左边右边，
所以，原等式成立.
（4）因为左边右边，
所以，原等式成立.
18．设，，，
当时，
即时，方程组有无穷解；
当时，方程组无解；
即向量与共线，向量与不共线(或与不共线)时，方程组无解.
19．(1)
(2)
(3)

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