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河南省信阳高级中学北湖校区
2024-2025学年高一下期期末测试
数学答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B B C D B A B C ABD ABD ACD
12．或2
13．
14．
15．(1)，，
(2)
【分析】（1）根据空间向量的线性运算求解即可；
（2）利用空间向量的数量积定义计算，再根据空间向量数量积的运算分别求，，，根据向量夹角余弦公式求解，即可异面直线AC与所成角的余弦值，根据同角三角函数关系求正切值即可.
【详解】（1），
，
；
（2）因为，
，
又，，
所以，
，
，
设异面直线AC与所成角为，
则，
所以，故，
所以异面直线AC与所成角的正切值为.
16．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由方程变形可得，列方程组，解方程即可；
（2）数形结合，结合直线图象可得出关于实数的不等式，解之即可；
（3）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值.
【详解】（1）由，即，
则，解得，所以直线过定点.
（2）因为直线不过第四象限，结合图形可知，直线的斜率存在，所以，
此时，直线的方程可化为，记点，则，

由图可得，解得，因此，实数的取值范围是.
（3）已知直线，且由题意知，

令，得，得，
令，得，得，
则，
所以当时，取最小值，
此时直线的方程为，即.
17．(1)0.008；平均数为，中位数；
(2).
【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，利用小矩形面积和为1求出，再估算平均数和中位数.
（2）利用分层抽样求出落在两个区间内的人数，再利用列举法求出古典概率.
【详解】（1）依题意，，解得，
数学成绩的平均数为
由频率分布直方图知，分数在区间、内的频率分别为0.34，0.62，
所以该校数学成绩的中位数，则，解得；
（2）抽取的5人中，分数在内的有（人），在内的有1人，
记在内的4人为a，b，c，d，在内的1人为A，
从5人中任取3人，，共10个，
选出的3人中恰有一人成绩在中，有，共6种，
所以选出的3人中恰有一人成绩在中的概率是.
18．(1)证明见解析
(2)
(3)线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为，且
【分析】（1）在平面图形中证得，，取的中点，连接，利用线面垂直的判定性质推理得证.
（2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法求解.
（3）由（2）中信息，利用点到平面的距离的向量公式计算得解.
【详解】（1）在图1中，由，，得，则，
所以，由，得，即，
在图2中，，取的中点，连接，由为的中点，
得，则，由，得，而，
平面，则平面，又平面，所以.
（2）由已知及（1）得平面平面，平面平面，，
于是平面，直线两两垂直，
以为坐标原点，直线分别为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量为，
则，令，则，
所以平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则，令，则，
所以平面的法向量为，
则，
由图知二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为.
（3）假设线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为，
在中，，所以，
因为三棱锥的体积为，设点到平面的距离为，
所以，所以，所以点到平面的距离为，
令，由（2）得，，
又平面的法向量为，
则点到平面的距离为，解得，
线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为，且.
19．(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
【分析】（1）对用平方差公式展开，再整理得到，把它代入公式（余弦定理形式）求，结合的范围得出的值.
（2）（i）将写成，展开.利用外心性质得到和的值.再根据已知条件和类似公式（余弦定理）求出关于的式子，进而得出.
（ii）由正弦定理相关式子得出外接圆半径.根据角度关系和面积公式求出和，得到表达式.根据三角形是锐角三角形确定范围，换元后得到关于的二次函数，根据二次函数性质求范围.
【详解】（1）由题意得，即，
由余弦定理得，又，所以.
（2）（i）由，
因为O为外接圆圆心，即外心，所以，，
由余弦定理得，，
所以
（ii）设外接圆半径为R，则，且，即，
因为，，所以，
，
所以，
由为锐角三角形知，，令，
则，
，，即为所求.河南省信阳高级中学北湖校区
2024-2025学年高一下期期末测试
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知，，是虚数单位，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，满足，，且，则的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
3．如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，则四边形的周长为（ ）
A． B． C．10 D．8
4．已知的内角，，的对边分别为，，，且，，若有两解，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
A．事件互斥 B．事件与事件相互独立
C． D．
6．下列选项中，正确的个数是（ ）
①数据$1、3、5、7、9、11、13$的第80百分位数为12，
②若且，则，为实数；
③若直线的方向向量，平面的法向量，则
④若样本数据的方差为2才则的标准羞为8
⑤如果向量与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么一定共线。
A．1 B．2 C．3 D．4
7．在三棱锥中，M是平面内一点，且，则（ ）
A． B．1 C．2 D．3
8．已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分.
9．我国载人航天技术飞速发展，神舟十四号于年月日发射成功．某学校举行了一次航天知识竞赛活动，有名学生参加学校决赛，把他们的成绩均为整数分成六组得到如下频率分布直方图．则下面结论正确的是（ ）
A．直方图中的值为
B．在参加学校决赛的名学生中，成绩落在区间内的有人
C．如果规定分以上学生为一等奖，估计有的学生获得一等奖
D．根据此频率分布直方图可计算出这名学生成绩的上四分位数为分
10．10．对于 $V A B C$ ，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，下列说港正确的有
A．若，则为等腰三角形
B．若，则为等腰三角形
C．命题＂若，则＂是真命题
D．＂为锐角三角形＂是＂＂的充分不必要条件
11．如图所示，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，点为侧棱上的动点，为线段中点.则下列说法正确的是（ ）
A．存在点，使得平面
B．周长的最小值为
C．三棱锥的外接球的体积为
D．平面与平面的夹角正弦值的最小值为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知直线与平行，则实数的取值是 .
13．如图，甲站在水库底面上的点处，乙站在水坝斜面上的点处，已知库底与水坝斜面所成的二面角为，测得从，到库底与水坝斜面的交线的距离分别为，，若，则甲，乙两人相距 ．
14．已知正方体的棱长为3，动点在内，满足，则点的轨迹长度为 .
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（13分）在如图所示的平行六面体中，，，，，，设，，．
（1）用，，表示，，；
（2）求异面直线AC与所成角的正切值．
16．（15分）已知直线．
（1）求直线所过定点；
（2）若直线不经过第四象限，求实数的取值范围；
（3）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程．
17．（15分）为了做好下一阶段数学的复习重心，某中学研究本校高三学生在市联考中的数学成绩，随机抽取了500位同学的数学成绩作为样本（成绩均在内），将所得成绩分成7组：，，，，，，，整理得到样本频率分布直方图如图所示：
（1）求的值，并估计本次联考该校数学成绩的平均数和中位数；（同一组中的数据用该组数据的中间值作为代表，中位数精确到0.1）
（2）从样本内数学分数在，的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出3人进行数学学习经验的分享，求选出的3人中恰有一人成绩在中的概率.
18．（17分）如图1，在四边形中，，，，如图2，把沿折起，使点到达点处，且平面平面，为的中点.
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值；
（3）判断线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
19．（17分）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且，.
（1）求A；
（2）若为锐角三角形，其外接圆圆心为O.
（i）证明：.
（ii）记和的面积分别为，，求的取值范围.

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