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第二章 轴对称　综合评价卷
时间:60分钟　满分:100分
班级: 　学号: 　姓名: 　成绩: 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.下列四种图案中,可以看作轴对称图形的是( )
A B C D
2.下列说法正确的是( )
A.等腰三角形的对称轴是底边的中线
B.等腰三角形顶角的平分线是它的一条对称轴
C.等腰三角形任意两个角相等
D.三角形的三条高所在的直线一定交于一点
3.将一张正方形纸片按如图所示的步骤,通过折叠得到图④,在CA,CB上各取一点连成虚线,沿该虚线剪去一个角,剩余部分展开铺平后得到的图形可能是( )
A B C D
4.四边形ABCD的边长如图所示,∠BAD=90°,∠ABC=120°,E为边AD上一动点(不与A,D两点重合),连接BE,将△ABE沿直线BE折叠,点A的对应点为点F,则点C与点F之间的距离不可能是( )
A.3 B.4 C.5 D.8
5.如图所示,AD平分∠BAC,交BC于点D,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.若S△ABC=12,DF=2,AC=3,则AB的长是( )
A.2 B.4 C.7 D.9
6.在联欢会上,有A,B,C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上,他们在玩抢凳子游戏,要求在他们中间放一个木凳,谁先抢到凳子谁获胜,为使游戏公平,则凳子应放的位置是△ABC的( )
A.三边中线的交点处 B.三条角平分线的交点处
C.三边垂直平分线的交点处 D.三边上高所在直线的交点处
7.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,DE是AB的垂直平分线,DE=4,
∠B=30°,则BC等于( )
A.12 B.10 C.8 D.6
8.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,根据尺规作图的痕迹判断,以下结论错误的是( )
A.∠BDE=∠BAC B.∠BAD=∠B
C.DE=DC D.AE=AC
9.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,ACA.3 B.4 C.5 D.6
10.如图所示,在Rt△ABC中,∠B=45°,AB=AC,D为BC中点,直角∠MDN绕点D旋转,DM,DN分别与边AB,AC交于E,F两点,有下列结论:
①△DEF是等腰直角三角形;②AE=CF;③△BDE≌△ADF;④BE+CF=EF.其中正确结论的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题(每小题3分,共24分)
11.等腰三角形的一个内角是120°,则它的底角是 .
12.小明在纸上画了一个边长为5 cm的等边三角形ABC,并将一把宽为2 cm的直尺按如图所示方式放在所画的△ABC上,使得直尺一条边与△ABC的边BC在同一条直线上,另一条边交边AB于点E,则AE=
cm.
13.如图所示,在△ABC中,以点A为圆心,线段AB的长为半径画弧,交BC于点D,连接AD.若AB=5,则AD的长为 .
14.如图所示,在△ABC中,AC的垂直平分线交BC于点D,交AC于点E,∠B=∠ADB.若AB=4,则DC的长是 .
15.如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=6,AD=10.以点B为圆心,任意长为半径作弧,分别交BA,BC于点P,Q;再分别以P,Q为圆心,大于PQ的长为半径作弧,两弧在∠ABC内交于点M.连接BM并延长,交AD于点E,则DE的长为 .
16.如图所示,在等腰三角形ABC中,AB=AC=10,S△ABC=24,l是△ABC的对称轴,D是AB上一动点,在l上存在一点P,能使PB+PD的值最小,这个最小值为 .
17.如图所示,∠AOB=30°,点M,N分别是射线OB,OA上的动点,点P为∠AOB内一点,且OP=4,则△PMN周长的最小值为 .
18.如图所示,直线l为线段AB的垂直平分线,交AB于点M,在直线l上取一点C1,使得MC1=MB,且AC1⊥BC1,得到第一个三角形ABC1;在射线MC1上取一点C2,使得C1C2=BC1,得到第二个三角形ABC2;在射线MC1上取一点C3,使得C2C3=BC2,得到第三个三角形ABC3……依次这样进行下去,则第2 024个三角形ABC2 024中,∠AC2 024B的度数为 .
三、解答题(共46分)
19.(6分)如图所示,已知∠ADC+∠ABC=180°,DC=BC.
试说明:点C在∠DAB的平分线上.
20.(8分)如图所示的是由16个小正方形组成的正方形网格图,现已将其中的两个涂黑.请你用四种不同的方法分别在下图中再涂黑三个空白的小正方形,使整个图形成为轴对称图形.
21.(10分)如图所示,已知在等边三角形ABC中,D是AC的中点,E是BC延长线上的一点,且CE=CD,DM⊥BC,垂足为M,试说明:M是BE的
中点.
22.(10分)观察发现:劳动人民在生产、生活中创造了很多取材简单又便于操作的方法,正如木匠师傅的“木条画直角法”.如图①所示,他用木条能快速画出一个以点A为顶点的直角,具体作法如下:
①木条的两端分别记为点M,N,先将木条的端点M与点A重合,任意摆放木条后,另一个端点N的位置记为点B,连接AB;
②木条的端点N固定在点B处,将木条绕点B顺时针旋转一定的角度,端点M的落点记为点C(点A,B,C不在同一条直线上);
③连接CB并延长,将木条沿点C到点B的方向平移,使得端点M与点B重合,端点N在CB延长线上的落点记为点D;
④用另一根足够长的木条画线,连接AD,AC,则画出的∠DAC是直角.
推理论证:(1)如图①所示,小亮尝试揭示此操作的数学原理,请你补全横线上的依据:
因为AB=BC=BD,
所以△ABC与△ABD是等腰三角形.
所以∠BCA=∠BAC,∠BDA=∠BAD.(依据1)
所以∠BCA+∠BDA=∠BAC+∠BAD=∠DAC.
因为∠DAC+∠BCA+∠BDA=180°,(依据2)
所以2∠DAC=180°.
所以∠DAC=90°.
依据1: ;依据2: .
拓展探究:(2)小亮进一步研究发现,用这种方法作直角存在一定的误差,用平时学习的尺规作图的方法可以减少误差.如图②所示,点O在直线l上,请用无刻度的直尺和圆规在图②中作出一个以O为顶点的直角,记作∠POQ,使得直角边OP在直线l上,P在O左侧,Q在直线l上方.(保留作图痕迹,不写作法)
①
②
23.(12分)如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,∠BAC的平分线分别交BC,CD于点E,F.
(1)试说明:△CEF是等腰三角形;
(2)若点E恰好在线段AB的垂直平分线上,猜想线段AC与线段AB的数量关系,并说明理由;
(3)在(2)的条件下,若CE=2,AC=2.5,求△ABE的面积.
=第二章 轴对称　综合评价卷
时间:60分钟　满分:100分
班级:　　　　　　学号:　　　　　　姓名:　　　　　　成绩:　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.下列四种图案中,可以看作轴对称图形的是(C)
A B C D
2.下列说法正确的是(D)
A.等腰三角形的对称轴是底边的中线
B.等腰三角形顶角的平分线是它的一条对称轴
C.等腰三角形任意两个角相等
D.三角形的三条高所在的直线一定交于一点
3.将一张正方形纸片按如图所示的步骤,通过折叠得到图④,在CA,CB上各取一点连成虚线,沿该虚线剪去一个角,剩余部分展开铺平后得到的图形可能是(B)
A B C D
4.四边形ABCD的边长如图所示,∠BAD=90°,∠ABC=120°,E为边AD上一动点(不与A,D两点重合),连接BE,将△ABE沿直线BE折叠,点A的对应点为点F,则点C与点F之间的距离不可能是(D)
A.3 B.4 C.5 D.8
5.如图所示,AD平分∠BAC,交BC于点D,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.若S△ABC=12,DF=2,AC=3,则AB的长是(D)
A.2 B.4 C.7 D.9
6.在联欢会上,有A,B,C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上,他们在玩抢凳子游戏,要求在他们中间放一个木凳,谁先抢到凳子谁获胜,为使游戏公平,则凳子应放的位置是△ABC的(C)
A.三边中线的交点处 B.三条角平分线的交点处
C.三边垂直平分线的交点处 D.三边上高所在直线的交点处
7.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,DE是AB的垂直平分线,DE=4,
∠B=30°,则BC等于(A)
A.12 B.10 C.8 D.6
8.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,根据尺规作图的痕迹判断,以下结论错误的是(B)
A.∠BDE=∠BAC B.∠BAD=∠B
C.DE=DC D.AE=AC
9.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,ACA.3 B.4 C.5 D.6
10.如图所示,在Rt△ABC中,∠B=45°,AB=AC,D为BC中点,直角∠MDN绕点D旋转,DM,DN分别与边AB,AC交于E,F两点,有下列结论:
①△DEF是等腰直角三角形;②AE=CF;③△BDE≌△ADF;④BE+CF=EF.其中正确结论的个数是(C)
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题(每小题3分,共24分)
11.等腰三角形的一个内角是120°,则它的底角是　30°　.
12.小明在纸上画了一个边长为5 cm的等边三角形ABC,并将一把宽为2 cm的直尺按如图所示方式放在所画的△ABC上,使得直尺一条边与△ABC的边BC在同一条直线上,另一条边交边AB于点E,则AE=
　1　cm.
13.如图所示,在△ABC中,以点A为圆心,线段AB的长为半径画弧,交BC于点D,连接AD.若AB=5,则AD的长为　5　.
14.如图所示,在△ABC中,AC的垂直平分线交BC于点D,交AC于点E,∠B=∠ADB.若AB=4,则DC的长是　4　.
15.如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=6,AD=10.以点B为圆心,任意长为半径作弧,分别交BA,BC于点P,Q;再分别以P,Q为圆心,大于PQ的长为半径作弧,两弧在∠ABC内交于点M.连接BM并延长,交AD于点E,则DE的长为　4　.
16.如图所示,在等腰三角形ABC中,AB=AC=10,S△ABC=24,l是△ABC的对称轴,D是AB上一动点,在l上存在一点P,能使PB+PD的值最小,这个最小值为　　.
17.如图所示,∠AOB=30°,点M,N分别是射线OB,OA上的动点,点P为∠AOB内一点,且OP=4,则△PMN周长的最小值为　4　.
18.如图所示,直线l为线段AB的垂直平分线,交AB于点M,在直线l上取一点C1,使得MC1=MB,且AC1⊥BC1,得到第一个三角形ABC1;在射线MC1上取一点C2,使得C1C2=BC1,得到第二个三角形ABC2;在射线MC1上取一点C3,使得C2C3=BC2,得到第三个三角形ABC3……依次这样进行下去,则第2 024个三角形ABC2 024中,∠AC2 024B的度数为　　.
三、解答题(共46分)
19.(6分)如图所示,已知∠ADC+∠ABC=180°,DC=BC.
试说明:点C在∠DAB的平分线上.
解:如图所示,过点C作CE⊥AB,CF⊥AD,垂足分别为E,F,
所以∠BEC=∠DFC=90°.
因为∠ADC+∠ABC=180°,
∠ADC+∠CDF=180°,
所以∠ABC=∠CDF.
在△CBE和△CDF中,
所以△CBE≌△CDF(AAS),所以FC=EC,
所以点C在∠DAB的平分线上.
20.(8分)如图所示的是由16个小正方形组成的正方形网格图,现已将其中的两个涂黑.请你用四种不同的方法分别在下图中再涂黑三个空白的小正方形,使整个图形成为轴对称图形.
解:如图所示,答案不唯一,合理即可.
21.(10分)如图所示,已知在等边三角形ABC中,D是AC的中点,E是BC延长线上的一点,且CE=CD,DM⊥BC,垂足为M,试说明:M是BE的
中点.
解:连接BD,如图所示.
因为在等边三角形ABC,D是AC的中点,
所以∠DBC=∠ABC=×60°=30°,∠ACB=60°.
因为CE=CD,
所以∠CDE=∠E.
因为∠ACB=180°-∠ACE=∠CDE+∠E,
所以∠E=30°,
所以∠DBC=∠E=30°,
所以BD=ED.
又因为DM⊥BC,
所以M是BE的中点.
22.(10分)观察发现:劳动人民在生产、生活中创造了很多取材简单又便于操作的方法,正如木匠师傅的“木条画直角法”.如图①所示,他用木条能快速画出一个以点A为顶点的直角,具体作法如下:
①木条的两端分别记为点M,N,先将木条的端点M与点A重合,任意摆放木条后,另一个端点N的位置记为点B,连接AB;
②木条的端点N固定在点B处,将木条绕点B顺时针旋转一定的角度,端点M的落点记为点C(点A,B,C不在同一条直线上);
③连接CB并延长,将木条沿点C到点B的方向平移,使得端点M与点B重合,端点N在CB延长线上的落点记为点D;
④用另一根足够长的木条画线,连接AD,AC,则画出的∠DAC是直角.
推理论证:(1)如图①所示,小亮尝试揭示此操作的数学原理,请你补全横线上的依据:
因为AB=BC=BD,
所以△ABC与△ABD是等腰三角形.
所以∠BCA=∠BAC,∠BDA=∠BAD.(依据1)
所以∠BCA+∠BDA=∠BAC+∠BAD=∠DAC.
因为∠DAC+∠BCA+∠BDA=180°,(依据2)
所以2∠DAC=180°.
所以∠DAC=90°.
依据1:　　　　　　　　　　　;依据2:　 .
拓展探究:(2)小亮进一步研究发现,用这种方法作直角存在一定的误差,用平时学习的尺规作图的方法可以减少误差.如图②所示,点O在直线l上,请用无刻度的直尺和圆规在图②中作出一个以O为顶点的直角,记作∠POQ,使得直角边OP在直线l上,P在O左侧,Q在直线l上方.(保留作图痕迹,不写作法)
①
②
解:(1)等边对等角　三角形内角和定理
(2)如图所示.
23.(12分)如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,∠BAC的平分线分别交BC,CD于点E,F.
(1)试说明:△CEF是等腰三角形;
(2)若点E恰好在线段AB的垂直平分线上,猜想线段AC与线段AB的数量关系,并说明理由;
(3)在(2)的条件下,若CE=2,AC=2.5,求△ABE的面积.
解:(1)因为CD⊥AB,
所以∠CDB=90°,
所以∠B+∠BCD=90°.
因为∠ACB=90°,
所以∠ACD+∠BCD=90°,
所以∠ACD=∠B.
因为AE平分∠BAC,
所以∠CAE=∠BAE.
因为∠ACD+∠CAE=180°-∠AFC=∠CFE,
∠B+∠BAE=180°-∠AEB=∠CEF,
所以∠CFE=∠CEF,
所以CF=CE,
即△CEF是等腰三角形.
(2)AB=2AC.
理由如下:
因为点E在线段AB的垂直平分线上,
所以AE=BE,
所以∠BAE=∠B.
因为∠CAE=∠BAE,∠ACB=90°,
所以易得3∠B=90°,
所以∠B=30°,
所以在Rt△ABC中,AB=2AC.
(3)过点E作EM⊥AB于点M(图略).
因为AC=2.5,
所以AB=2AC=5.
因为AE平分∠CAB,∠ACB=90°,CE=2,
所以EM=CE=2,
所以△ABE的面积=AB·EM=×5×2=5.

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