资源简介

辽宁省辽西重点高中 2024~2025学年度下学期高二期末考试
数学试题
考生注意：
1.满分 150分，考试时间 120分钟.
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应
题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域
内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷 草稿纸上作答无效.
一 选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1．已知集合 A {1,2,3,4,5}， B {x∣x 2 A}，则 A B （ ）
A． 1 B． 1,2 C． 1,2,3 D． 1,2,3,4
2．若命题 p： k 2，命题 q：直线 y kx 1与抛物线 y = x2无公共点，则 q是 p的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
1
3．若 a 1，则 4a 的最小值为（ ）
a 1
A．4 B．6 C．8 D．无最小值
4．如图，在圆锥PO中，AB是底面圆的直径，C在底面圆周上，AB 4, BAC 30 ,M 是BC的中点，PM
与圆锥底面所成角的大小为60o，则圆锥 PO的体积为（ ）
A．12 3π B．12π C． 4 3π D． 4π
5．已知V ABC不是直角三角形，三内角 A,B,C的对边依次为 a,b,c，且满足 a2 b2 3c2 ，则
1 1 1

tanA tanB tan A B （ ）
A．0 B．1 C．2 D．不是定值

6 a ．已知向量 ， b满足 | a | 1，b (1, 2) ， | a b | 5，则向量 a在向量 b上的投影向量坐标为（ ）
1 , 1 1 2 1 1 1 2 A． B． ,10 5
C． , D． ,
5 5 10 5 5 5
试卷第 1页，共 4页
7 z
2
i2025．已知 ，则 z （ ）
1 i
A．1 2i B．1 2i C． i D．1
8．对于任意 x R， xf x 1 x 1 f x 1，且 f 2 3，则 f 2025 （ ）
A． 1 B．1 C．2025 D．4049
二 多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
4y 1
9．已知抛物线C : x2 2 py( p 0)的焦点为 F，点M1 x1, y1 在抛物线上， M F 11 ，设直线 ln 为抛物4
*
线C在点Mn xn , yn n N 处的切线，过点M n作 ln 的垂线交抛物线于另一点M n 1 xn 1, yn 1 ，若 x1 1，则
下列说法正确的是（ ）
1 1
A． p B．直线M nM n 1的斜率为 2 xn
x 1 x M F 4n 1C． n 1 2x n D． n n 4
10．经过 A(1,0)， B 0,1 2 2两点的曲线C : ax by xy 1如图所示，关于曲线C，下列说法正确的是（ ）
A． a b 2
B．曲线C经过的整数点个数为 3个
2 3 2 3
C． x, y的取值范围均为 ,3 3
D．若点 P在曲线C上，则以OP为半径的圆的面积的最大值为 2π
11．下列说法正确的是（ ）
2 4A． 1 2x 1 x 的展开式中 x3的系数为12
B．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为
y 0.4x a，若其中一个散点坐标为 a,5.4 ，则 a 9
C．将两个具有相关关系的变量 x、 y的一组数据 x ,y1 1 、 x ,y2 2 、L 、 xn , yn 调整为 x1, y1 3 、
试卷第 2页，共 4页
n n 2 xi x yi y yi yi
x , y 3 、L 、 x , y 3 ，决定系数 R2不变（附：b i 1 ，a 2 2 n n n 2 y b x R
2
， i 1n ）2
xi x yi y
i 1 i 1
D．已知A、 B为随机事件，且P A 0.5， P B 0.4，则若 P B A 0.5，则 P B A 0.3
三 填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
12．已知x ， x2是函数 f x cos3x cos2x， x 0, 1 的两个零点，则 x1 x2 ．
13．甲同学有 3 本故事书和 1 本科普书，乙同学有 1 本故事书和 3 本科普书，若甲、乙两位同学各取
出 i i 1，2，3 本书进行交换，记交换后甲同学有故事书的本数为 X，X 的均值为 Ei X ，则
E1 X E3 X .
14．如图所示，在长方体 ABCD A1B1C1D1中，AD AB 9, AA1 10，以 AB为棱作半平面 ABMH 分别和棱
CC1,DD1相交于点M ,H，二面角M AB C的平面角为 .在三棱柱 BCM ADH和四棱柱
BMC1B1 AHD1A1中分别放入半径为 r1, r2的球，在 的变化过程中， r1 r2的最大值为 .
四 解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出必要的文字说明 证明过程及演算步骤.
15．设函数 f (x) a sin 2x (a 1)(sin x cos x)，其中a R．
(1)当 a 0时，求函数 f (x)的最小正周期及单调递增区间；
(2)记函数 y | f (x) |
π
,0 在 上的最大值为M ．
2
（i）求M 关于 a的表达式；
π
（ⅱ）证明：当a 1时， f (x) 3M 在 ,0 上恒成立． 2
16．已知 an 是等差数列， bn 是各项都为正数的等比数列，且 a1 1，b1 2， a3 b2 1，5 a2 b3 .
(1)求 an ， bn 的通项公式；
a ,n为奇数
(2)若 c nn ，求数列 cn 的前 2n项和 S .
bn ,n
2n
为偶数
17．如图，已知四棱台 ABCD A1B1C1D1 的上、下底面分别是边长为 2 和 4 的正方形， A1A 4 ，且
A1A 底面 ABCD ，点 P，Q 分别在棱 DD1，BC 上.
试卷第 3页，共 4页
(1)若 P 是 DD1 的中点，证明: AB1 PQ ；

(2)若 DP
1
DD1，PQ / / 平面 ABB A4 1 1
，求二面角 P QD A 的余弦值.
x2 y2 2 2 18．已知椭圆C : 2 2 1 a b 0 经过点a b
b, b
3
．

(1)求C的离心率．
(2)设A， B分别为C的左、右顶点， P，Q为C上异于A， B的两动点，且直线 BQ的斜率恒为直线 AP的
斜率的 5倍．
①当b的值确定时，证明：直线 PQ过 x轴上的定点；
②按下面方法构造数列 bn ：当b bn时，直线 PQ过的定点为M bn 1,0 ，且b1 2，证明：
n 1 b1 1 b2 1 bn 1 n
2 3 b 1 b 1 b 1 2 n N
*
2 3 n 1
19．牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法—牛顿法.如图，r是函数 f x 的零点，
牛顿用“作切线”的方法找到了一串逐步逼近 r的实数 x0，x ，… xn 1，xn，在点 x0 , f x0 f x1 处作 的切线，
则 f x 在 x x0处的切线与 x轴交点的横坐标是x1，同理 f x 在 x1, f x1 处的切线与 x轴交点的横坐标是
x 2，一直继续下去，得到数列 xn n N ，从图中可以看到，x x x x1较 0接近 r， 2较 1接近 r，……，当 n
很大时， xn r 很小，我们就可以把 xn的值作为 r的近似值，即把 xn作为函数 f x 的近似零点.现令
f x 2x 1 3 .
(1)当 x0 1时，求 f x 0的近似解x x1， 2；
(2)在（1）的条件下，求数列 xn 的前 n项和 Sn；
(3)当 x 0时，令 g x 1 x ln f x 1 1 ，若 m 0时， g x m有两个不同实数根 ， .3 2 4
求证： 1 4m m 1 .
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2024-2025 学年度下学期高二年级期末考试 数学
参考答案、提示及评分标准
1．C 因为集合 A 1,2,3,4,5 ，所以由 x 2 1,2,3,4,5 ，可得B 1,0,1,2,3 ，
所以 A B 1,2,3 .
2．A 命题 q：直线 y kx 1与抛物线 y = x2无公共点，把 y kx 1代入即 x2 kx 1 0无解，
k2 4 0 2 k 2，又命题 p： k 2，所以 q是 p的充分不必要条件
1 1 1
3．C 若a 1，则4a 4 a 1 4 2 4 a 1 4 8，
a 1 a 1 a 1
1 3 1
当且仅当4 a 1 ，即a 时，等号成立，所以4a 的最小值为 8．
a 1 2 a 1
4．D 因为有PO 平面 ABC，所以 PMO为PM 与圆锥底面所成角，即 PMO 60
1
又因为 AB是底面圆的直径，所以OC OB OA AB 2，
2
又M 是BC的中点，所以OM BC ，
由已知 AB 4, BAC 30 ，
1 1
可得BC ABsin BAC 4 2，所以OM AC 3 .
2 2
又PO 平面 ABC,OM 平面 ABC，所以PO OM .
PO PO
由 tan PMO 3，解得OP 3，
OM 3
1 1
V PO S 3 π 22所以圆锥PO的体积 e O 4π，
3 3
5．A 由余弦定理以及a2 b2 3c2 可得：
cosC sinC
2abcosC 2c2 sin Asin BcosC sin2 C ，
sinC sin Asin B
又在三角形中有sin A B sinC ，即sin A B sin Acos B cos Asin B，
cosC sin Acos B cos Asin B cos B cos A
所以
sinC sin Asin B sin B sin A
1 1 1
故 0 .
tan A tan B tanC
6．A 因为 | a | 1，b (1,2)， | a b | 5 ，
1
所以a2 2a b b 2 1 2a b 5 5，则a b ，
2
答案第 1 页，共 11 页
1
a b 1 1 1
所以向量 a 在向量b 上的投影向量坐标为 b 2

1,2 1,2 2 , .
b 5 10 10 5
故选：A
7．A
【分析】由复数的除法运算、乘方运算得到 z ，再由共轭复数得到 z .
2 2 1 i2025
【详解】 z i i 1 2i ，所以 ，
1 i z 1 2i1 i 1 i
f x 1 f x 1 f x 1 1
8．D 由 xf x 1 x 1 f x 1，当 x N* 时，可得 ，
x 1 x x x 1 x x x 1
f 3 f 2 1 1

3 2 2 3
f 4 f 3 1 1

4 3 3 4

赋值可得： f 5 f 4 1 1 ，

5 4 4 5



f 2025 f 2024 1 1
2025 2024 2024 2025
f 2025 f 2 1 1
利用累加法可得： ，
2025 2 2 2025
f 2025 3 1 1 4049
代入 f 2 3可得： f 2025 4049，
2025 2 2 2025 2025
p 1 1
9．ACD 对于选项 A，因为 M1F y1 y1 ，解得 p ，所以选项 A 对，
2 4 2
因为 x2 y，即 y = x2，则 y 2x，
*
所以抛物线在点Mn xn , yn n N 处的切线方程为 y yn 2xn x xn ，
1
直线M M n n 1的斜率为 ，所以选项 B 错； 2xn
1
y yn x xn 1y x2 x x2
1
由 2xn ，消 得到 n 0，
2xn 2
y x
2
1 1
则 xn xn 1 ，得到 xn 1 xn ，所以选项 C 正确；
2xn 2xn
2
1 1 1
对于选项 D，因为 y 2n 1 xn 1
2
xn xn 1 yn 1 yn 1，
2x
2 2
n 4xn 4xn
答案第 2 页，共 11 页
得到 yn 1 yn 1，所以当n 2 n N 时， yn y1 y2 y1 y3 y2 yn yn 1 y1 n 1 ，
2 1 4n 1
又 y y n1 x1 1，所以 n ，则 MnF yn ，故选项 D 正确．
4 4
2 2 a 1
10．CD 对于 A，将 A(1,0)，B 0,1 代入方程ax by xy 1，可得 ，故 A 错误；
b 1
2 2
对于 B，由 A 可知曲线C : ax by xy 1，当 x 0时， y2 1，解得 y 1；
2
当 x 1时，1 y y 1，解得 y 1或 0 或 1；同理可得当 x 1时， y 1或 0 或 1；
当 x m， m 2
2 2
，m Z时，m y my 1，即 y2 my m2 1 0，
由 m
2 4 m2 1 4 3m2 0，则方程无解，
综上可得曲线C 经过的整数点有 0,1 ， 0, 1 ，(1, - 1) ， 1,0 ， 1,1 ， 1, 1 ，
1,0 ， 1,1 ，共8个，故 B 错误；
对于 C，将曲线C 的方程等价转化为关于 y 的一元二次方程 y2 xy x2 1 0，
2 3 2 3
则 x
2 4 x2 1 4 3x2 0，解得 x ，
3 3
2 3 2 3
同理可得 y ，故 C 正确；
3 3
x2 y2
对于 D， x2 y2 1 xy 1，当且仅当 x y 时，等号成立，
2
2 2 x
2 y2
由 2 2x y 1，则 x y 2，即OP 的最大值为 2 ，所以圆的面积最大值为2π，故 D 正确.
2
4 r r
11．ACD 对于 A 选项， 1 x 的展开式通项为C4 x 0 r 4,r N ，
4 4 4
因为 1 2x2 1 x 1 x 2x2 1 x ，
4
Cr r 1 x 的展开式通项为 4 x 0 r 4,r N ，令 r 3，
2 4 2 k k k k 22x 1 x 的展开式通项为2x C4 x 2C4 x 0 k 4,k N ，令 k 2 3，可得 k 1，
3 1
因此，展开式中 x3的系数为C4 2C4 4 2 4 12，A 对；
对于 B 选项，将点 a,5.4 的坐标代入回归直线方程得 0.4a a 5.4，解得a 9，
但回归直线不一定过样本点，B 错；
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对于 C 选项，设原数据对应的回归直线方程为 y bx a，
则新数据对应的回归直线方程为 y bx a 3，新数据的样本中心点为 x, y 3 ，
n 2 n 2
yi 3 yi 3 yi yi
2 2
新数据的决定系数为R i 1 i 1 Rn n ，C 对； 2 2
yi 3 y 3 yi y
i 1 i 1
对于 D 选项，P A 0.5，P B 0.4，若P B A 0.5，
则P B P A P B A P A P B A ，即0.4 0.5 0.5 0.5P B A ，
所以P B A 0.3，D 对．
2π 3x 2x 3x 2x 5x x
12． 根据和差化积公式得 f x cos3x cos2x 2sin sin 2sin sin ，
5 2 2 2 2
5x x
则令 2sin sin 0，
2 2
x x π
当 sin 0时，因为 x 0,π ，则 0, ，此时无解，
2 2 2
5x 5x 5π
当 sin 0 ，因为 x 0,π ，则 0, ，
2 2 2
5x 2π 4π
则 π或2π，解得 x 或 x ，
2 5 5
4π 2π 2π
则 x1 x2 .
5 5 5
13．4 当 i 1时， X 的可能取值为 2，3，4，
C1C1 9 2C
1C1 3
则P X 2 3 3 , P1 1 X 3
1 3
C C 1 1
，
4 4 16 C4C4 8
C1C11 1 1 9 3 1 5P X 4 1 1 ，所以E1 X 2 3 4 ； C4C4 16 16 8 16 2
当 i 3时， X 的可能取值为 0，1，2，
C3 1 3 23C3 1 2C C 3
则P X 0 , P X 1 3 3 3 3 ， C4C4 16 C
3
4C
3
4 8
C2C1C2C1 9 1 3 9 3
P X 2 3 1 3 1 3 3 ，所以E3 X 0 1 2 ； C4C4 16 16 8 16 2
5 3
则E1 X E3 X 4，
2 2
14．19 6 5 如图所示，这两个球在长方体左侧面上的投影分别为球的两个大圆，且都与直线 AH 相
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切，

r 9tan
π
1
设 HAD ，由 tan ，得 r 21 ，同理 rtan 2 2 ，得 r2 5 1 tan ， 2 9 r 1 21 tan 2 10 r 2
2
10 9x
由已知可得 tan 0, .令 tan x，则 r1 r2 5 1 x ，
9 2 1 x
9x 9 9 3
记 f x 5 1 x , x 0，则 f x 5 5 02 ，由 2 得 x 1 .
1 x 1 x 1 x 5
3 3
当 x 0, 1 时 f x 0, f x 单调递增，当 x 1, 时 f x 0, f x 单调递减，
5 5
3
所以 f x f 1 19 6 5 ， max
5
3
经检验，当 tan 1时， r1 r2 的最大值为19 6 5 .
2 5
π
15．解：（1）当a 0时， f (x) (sin x cos x) 2 sin x
4
T 2π
π π 3π π 5π
2kπ x 2kπ 可得：2kπ x 2kπ
2 4 2 4 4
π 5π
f (x)的单调递增区间为 2kπ , 2kπ ,k Z
4 4
π π
（2）（i）令 t sin x cos x 2 sin x ，则 x
4
,0 可得 t [ 1,1]．
2
f (x) a t2 1 (a 1)t at2 (a 1)t a
令 g(t) at2 (a 1)t a
当 a 0时， g(t) t [ 1,1]，故M 1 1 a．
1 a
当 a 0时， (a 1)2 4a2 0，对称轴 t对 , g(1) a 1, g( 1) 1 a
2a
答案第 5 页，共 11 页
1
①当a 1时， t对 1, , g( 1) 0, g(1) 0
2
1 a 1 a 5a
2 2a 1
M g g
2a 2a 4a
②当 1 a 0时， t 1，故 g(t)在 1,1对 上单调递减
M |1 a | 1 a
1
③当0 a 时， t对 1，故 g(t)在[ 1,1]上单调递减
3
M |1 a | 1 a
1 1 1 a 1 a
④当a 时， t对 ,1 ，故 g(t)在 1, 上单调递减，在 ,1 上单调递增．
3 2 2a 2a
1 a
2
1 a 5a 2a 1
M g g
2a 2a 4a
5a2 2a 1
a 1
4a
1
综上，M 1 a 1 a
3
5a2 2a 1 1
a
4a 3
（ⅱ） f (x) 2acos2x (a 1)(cos x sin x)
f (x) | 2acos2x (a 1)(cos x sin x) | 2a 2 | a 1|
当 a 1时，2a 2 | a 1| (2 2)a 2
15a2 6a 3 7a a 3 3 7a 3 3
3M
4a 2 4 4a 2 2 2
7a 3 3
而 (2 2)a 2
2 2
f (x) 3M ．
16．解：（1） a bn 是等差数列， n 是各项都为正数的等比数列，设公差为d ，公比为q q 0 ，由
a1 1，b1 2，a3 b2 1，5 a2 b3，
1 2d 2q 1
可得 ，解得：d q 22 （负的舍去），
5 1 d 2q
a 2n 1 b 2n则 n ， n
答案第 6 页，共 11 页
2n 1,n为奇数
（2）cn n
2 ,n为偶数
∴ S2n c1 c c
2 4 2n
3 2n 1 c2 c4 c2n 1 5 4n 3 2 2 2
n 1 4n 3 4 1 4n 4
2n2 n 4n 1 .
2 1 4 3
17．证明：（1）以A 为坐标原点， AB, AD, AA1所在直线分别为 x, y, z轴建立空间直角坐标系，
则 A 0,0,0 ，B1 2,0,4 ，D 0,4,0 ，D1 0,2,4 ，
设Q 4,m,0 ，其中m BQ，0 m 4，
若 P 是DD1的中点，则P 0,3,2 ， AB1 2,0,4 ，
PQ 4,m 3, 2 ，∴ AB PQ 8 8 0， 1
∴ AB AB PQ1 PQ，即 1 ．
（2）因为 A 0,0,0 ，D1 0,2,4 ，D 0,4,0 ，
1 1 7
DD 0, 2,4 ，则DP DD1 0, 2,4 ，故P 0, ,11 ，
4 4 2
7
设Q 4,m,0 ，其中0 m 4， PQ 4,m , 1 ，
2
由于平面 ABB1A1的法向量为 AD 0,4,0 ，
7 7
故PQ AD 0,4,0 4,m , 1 0，故m ，
2 2
7
因此Q 4, ,0 ,
2
1
则PQ 4,0, 1 ，DQ 4, ,0 ,
2
设平面PQD的一个法向量为m x, y, z ，
答案第 7 页，共 11 页
m PQ 4x z 0

故 1 ，取 y 8，则m 1,8,4 ，
m DQ 4x y 0
2
由于平面 ADQ的一个法向量为 AA1 0,0,4
m AA 16 4
故 cos m, AA1
1 ,
m AA 4 1 64 16 91
结合图形可知二面角P QD A的平面角为锐角，
4
∴二面角P QD A的余弦值为 ．
9
2 2 b2 8b2 b2 1
18．解：（1）因为椭圆 C 经过点 b, b ，所以 1，故 ， 3 a2 9b
2 a2 9
b2 2 2
所以 C 的离心率 e 1 ；
a2 3
x2 y2
（2）①由（1）知 C 的方程为 1， A 3b,0 ，B 3b,0 .
9b2 b2
由对称性可知直线 PQ的斜率不可能为 0，设P x1, y1 ，Q x2 , y2 ，设 PQ的方程为 x ty m．
x ty m
2
由 x2 y2 ，可得 t 9 y2 2tmy m2 9b2 0，
1
9b
2 b2
Δ 4t2m2 4 t2 9 m2 9b2 36 t2b2 m2 9b2所以 0，即m2 t2b2 9b2 ，
2tm m2 9b2 9b2 m2
且 y1 y2 2 ， y1y ．所以 ty y y t 9 2 1 2 1
y2
t2 9 2m
kBQ y x 3b ty1 m 3b y2 ty1y2 m 3b y2 1 2
则
kAP x2 3b y1 ty2 m 3b y1 ty1y2 m 3b y1
9b2 m2
y1 y2 m 3b y2
2m
3b m 3b m y1 3b m y2 3b m
5
9b2 2
，
m 3b m 3b m y1 3b m y2 3b m y1 y2 m 3b y1
2m
解得m 2b，则 PQ的方程为 x ty 2b，
即直线 PQ过 x 轴上的定点 2b,0 .
答案第 8 页，共 11 页
②由①可知，b 2b ，又bn 0，b1 2n 1 n ，
所以 bn
n
是首项为 2，公比为 2 的等比数列，所以bn 2 ，
bn 1 2
n 1 2n 1 1 b1 1 b2 1 bn 1 n
b 1 2n 1 1 2n 1 2 2 b 1 bn 1 2 3 1 bn 1 1 2
b nn 1 2 1 1 1 1 1 1 1
b 1 2n 1
n 1 1 2 4 2
n 2 2 3 2n 2n 2 2 3 2n
b1 1 b2 1 bn 1 n 1 1 1 1
b2 1 b
2 n
3 1 bn 1 1 2 3 2 2 2
1 1
（1 ）
n n n 1 1 n 1
6 2
2 1 2 3 3 2n 2 3
1
2
n 1 b1 1 b2 1 b n
1 n
n *N .
2 3 b2 1 b3 1 bn 1 1 2
19．解：（1）由题意可得在 x x0处的切线方程为 y f x0 f x0 x x0 ，令 y 0，得
f x0
x1 x0 ，
f x0
f x1
同理可得在 x x 处的切线方程为 y f x f x x x ，令 y 0，得 x2 x1 1 1 1 1 ，
f x1
3 2
所以对于函数 f x 2x 1 ， f x 6 2x 1 ，
1
f
f x f 1 33 1 f x 1 0 1 2 1 2
3 1
故 x1 x0 1 1 2 ， x2 x 1
；
f x0 f 1 6 3 2 f x1 2 1 2 6 2
2 6
f
2
3
f xn 2xn 1 2 1
（2）由（1）可知存在递推关系 xn 1 xn xn x 2 n ，
f xn 6 2xn 1 3 6
1 2 1 1 2 1
构造等比数列 xn 1 xn xn ，
2 3 6 2 3 2
1 1 2
所以数列 xn 是以 x1 1为首项， 为公比的等比数列，
2 2 3
n 1 n 1
1 2 2 1
故 xn xn ，
2 3 3 2
答案第 9 页，共 11 页
n
2
1 n
所以数列 xn 的前n项和 3
1 2 n
S ； n n 3 3 2 2 3 21
3
1 x 1
（3）由题意可得 g x x ln f x ln x x 0 ，则 g x ln x 1，
3 2
1 1 1
令 g x 0，得 x ，当 x 0, 时， g x 0；当 x , 时， g x 0，
e e e
1 1 1 1
所以 g x 在 0, 单调递减，在 , 单调递增，所以 g x g ，
e min

e e e
又当 x 0 时， g x 0；当 x 时， g x ，且 g 1 0，
1
所以当m ,0 时， g x m有两个不同实数根，
e
1 1
又 ,0 ,0 ，所以 g x m确实有两个不同实数根 ， ，
4 e
1 1
且 0, , ,1 ， ln ln m，
e e
先证明右半部分： m 1，
考虑 g x 在 x 1处的切线方程： y g 1 g 1 x 1 y x 1
当 y m时， x m 1，因为1 ，所以 y m与切线的交点的横坐标大于 ，
1
即 m 1，又 0, ，故 m 1；
e
再证明左半部分： 1 4m ，
2
观察不等式1 4m的结构，联想到一元二次方程的两根之差 x1 x2 x1 x2 4x x ， 1 2
即构造方程 x2 x m 0来描述不等式的左边，
故尝试将 g x x ln x放缩为二次函数，即将 ln x放缩成 x 1，
故令h x ln x x 1 ln x x 1 x 0 ，
1 1 x
则 h x 1 ，当 x 0,1 时，h x 0；当 x 1, 时，h x 0，
x x
所以h x 在 0,1 上单调递增，在 1, 上单调递减，所以h x h 1 0，
即 ln x x 1，当且仅当 x 1时取等号，
2
1 1
所以当 x 0,1 时， g x x ln x x x 1 x2 x x ，
2 4
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1 1
故当 m 0时，方程 x2 x m有两个不同的实数根，记为 t1, t2 ，且 t1 t2 ，
4 2
1 1 1 1
t1 t2 1,t1t2 m，又 g ln 2 ，故0 1，所以 t1 1 0，
2 2 4 2
因为 ln t
2
1 t1 0
2 t21 t1 t1 t1 1 ，所以得到 t1，
2
同理可得 t2，所以 t ， 2 t1 t1 t2 4t1t2 1 4m
综上所述， 1 4m m 1.
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