资源简介

3.2　离散型随机变量的方差
课时目标
1.通过具体实例，理解离散型随机变量方差及标准差的概念.
2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.
1.离散型随机变量的方差
若离散型随机变量X的分布列如表：
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
则(xi－EX)2描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值EX的____________，而DX＝E(X－EX)2＝________________为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度.我们称DX为随机变量X的________，其算术平方根为随机变量X的__________，记作________.
微点助解
方差(标准差)越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小；反之，方差(标准差)越大，则随机变量的取值越分散.
2.离散型随机变量方差的性质
(1)设a，b为常数，则D(aX＋b)＝__________.
(2)Dc＝(其中c为常数).
[基点训练]
1.若随机变量X的分布列如表，则X的方差DX是(　 )
X －1 0 1
P
A.0 B.1
C. D.
2.若随机变量X满足DX＝0.8，则D(2X－3)＝(　 )
A.0.8 B.1.6
C.3.2 D.0.2
3.有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量ξ1，ξ2，已知Eξ1＝Eξ2，Dξ1>Dξ2，则自动包装机____的包装质量较好.
题型(一)　求离散型随机变量的方差
[例1]　设随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P
则DX等于(　 )
A. B.
C. D.
听课记录：
[例2]　某运动员投篮命中率p＝0.8，则该运动员在一次投篮中命中次数X的方差为________.
听课记录：
求离散型随机变量X的方差的步骤
(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值；
(2)求X取各个值的概率，写出分布列；
(3)根据分布列，由均值的定义求出EX；
(4)根据公式计算方差.
[针对训练]
1.有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机抽取3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X，则DX等于(　 )
A.3.36 B.
C.7.8 D.3.6
2.袋中有大小相同的三个球，编号分别为1,2,3，从袋中每次取出一个球，若取到球的编号为奇数，则取球停止，用X表示所有被取到的球的编号之和，则X的方差为________.
题型(二)　离散型随机变量方差的性质
[例3]　已知X的分布列如下：
X －1 0 1
P a
(1)求X2的分布列；
(2)计算X的方差；
(3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差.
听课记录：
　 求随机变量Y＝aX＋b方差的方法
求随机变量Y＝aX＋b的方差，一种方法是先求Y的分布列，再求其均值，最后求方差；另一种方法是应用公式D(aX＋b)＝a2DX求解.　
[针对训练]
3.[多选]已知随机变量X满足E(2X＋1)＝5，D(3X－1)＝9，则下列说法正确的是(　 )
A.EX＝2 B.EX＝
C.DX＝1 D.DX＝3
4.若随机变量X的分布列如表，且EX＝2，则D(2X－3)的值为(　 )
X 0 2 a
P p
A.9.2 B.5
C.4 D.1
题型(三)　离散型随机变量方差的实际应用
[例4]　甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.
(1)求ξ，η的分布列；
(2)比较甲、乙的射击技术.
听课记录：
均值仅体现了随机变量取值的平均水平，如果两个随机变量的均值相等，还要看随机变量的方差，方差大说明随机变量取值较分散，方差小说明取值比较集中.因此，在利用均值和方差的意义去分析解决问题时，两者都要分析.　
[针对训练]
5.有甲、乙两家公司都需要招聘求职者，这两家公司的聘用信息如表所示.
甲公司职位 A B C D
月薪/千元 5 6 7 8
获得相应职位概率 0.4 0.3 0.2 0.1
乙公司,
职位,A,B,C,D
月薪/千元,4,6,8,10
获得相应职位概率,0.4,0.3,0.2,0.1(1)若一人去应聘甲公司的C职位，另一人去应聘乙公司的C职位，记这两人被录用的人数和为η，求η的分布列.
(2)若小方和小芳分别被甲、乙两家公司录用，求小方月薪高于小芳月薪的概率.
(3)根据甲、乙两家公司的聘用信息，如果你是求职者，你会选择哪一家公司？请说明理由.
3.2　离散型随机变量的方差
?课前环节
1.偏离程度　 (xi－EX)2pi　方差　标准差　σX　2.(1)a2DX　(2)0
[基点训练]
1.选D　EX＝－1×＋0×＋1×＝0，则DX＝×(－1－0)2＋×(0－0)2＋×(1－0)2＝.
2.选C　因为DX＝0.8，所以D(2X－3)＝22×DX＝4×0.8＝3.2.
3.解析：均值仅体现了随机变量取值的平均水平，如果两个随机变量的均值相等，还要看随机变量的取值如何在均值的周围变化，方差大说明随机变量取值较分散，方差小说明取值较集中，由题意，可得乙的包装质量较好.
答案：乙
?课堂环节
[题型(一)]
[例1]　选C　由题意知，EX＝1×＋2×＋3×＋4×＝，故DX＝2×＋2×＋2×＋2×＝.
[例2]　解析：依题意知，X服从两点分布，X的分布列为
X 1 0
P 0.8 0.2
故EX＝0.8，DX＝(1－0.8)2×0.8＋(0－0.8)2×0.2＝0.16.
答案：0.16
[针对训练]
1.选A　由题知X＝6,9,12.P(X＝6)＝＝，P(X＝9)＝＝，P(X＝12)＝＝.∴X的分布列为
X 6 9 12
P
∴EX＝6×＋9×＋12×＝7.8，
DX＝(6－7.8)2×＋(9－7.8)2×＋(12－7.8)2×＝3.36.
2.解析：X的分布列为
X 1 3 5
P
则EX＝1×＋3×＋5×＝，
DX＝.
答案：
[题型(二)]
[例3]　解：(1)由分布列的性质知＋＋a＝1，故a＝.从而X2的分布列为
X2 0 1
P
(2)法一　由(1)知a＝，
所以EX＝(－1)×＋0×＋1×＝－.
故DX＝2×＋2×＋2×＝.
法二　由(1)知a＝，
所以EX＝(－1)×＋0×＋1×＝－.
EX2＝0×＋1×＝，
所以DX＝EX2－(EX)2＝.
(3)因为随机变量Y＝4X＋3，
所以EY＝4EX＋3＝2，DY＝42DX＝11.
[针对训练]
3.选AC　E(2X＋1)＝2EX＋1＝5，则EX＝2，故A正确，B错误；D(3X－1)＝9DX＝9，则DX＝1，故C正确，D错误.
4.选C　由题意可得＋p＋＝1，解得p＝.因为EX＝2，所以0×＋2×＋a×＝2，解得a＝3.所以DX＝(0－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝1.
所以D(2X－3)＝4DX＝4.
[题型(三)]
[例4]　解：(1)由题意得0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1.因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2，所以乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.所以ξ的分布列为
ξ 10 9 8 7
P 0.5 0.3 0.1 0.1
η的分布列为
η 10 9 8 7
P 0.3 0.3 0.2 0.2
(2)由(1)得Eξ＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2，Eη＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7.所以Dξ＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96，
Dη＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.
由于Eξ>Eη，Dξ[针对训练]
5.解：(1)根据题意可知，随机变量η的可能取值有0,1,2，
则P(η＝0)＝0.8×0.8＝0.64，P(η＝1)＝2×0.2×0.8＝0.32，P(η＝2)＝0.2×0.2＝0.04，
所以随机变量η的分布列为
η 0 1 2
P 0.64 0.32 0.04
(2)小方月薪高于小芳月薪的概率P＝0.4×0.4＋0.3×0.4＋0.2×(0.4＋0.3)＋0.1×(0.4＋0.3)＝0.49.
(3)入职甲公司，月薪的均值为EX＝0.4×5＋0.3×6＋0.2×7＋0.1×8＝6，
方差DX＝0.4×(5－6)2＋0.3×(6－6)2＋0.2×(7－6)2＋0.1×(8－6)2＝1.
入职乙公司，月薪的均值为EY＝0.4×4＋0.3×6＋0.2×8＋0.1×10＝6，
方差DY＝0.4×(4－6)2＋0.3×(6－6)2＋0.2×(8－6)2＋0.1×(10－6)2＝4，
乙公司月薪高于甲公司的概率为P＝0.3×0.4＋0.2×(0.4＋0.3＋0.2)＋0.1＝0.4，
即EX＝EY，DX3．2
离散型随机变量的方差
(强基课—梯度进阶式教学)
课时目标
1.通过具体实例，理解离散型随机变量方差及标准差的概念．
2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．

CONTENTS
目录
1
2
3
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
课时跟踪检测
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
1．离散型随机变量的方差
若离散型随机变量X的分布列如表：
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
偏离程度
方差
标准差
σX
微点助解
方差(标准差)越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小；反之，方差(标准差)越大，则随机变量的取值越分散．
2．离散型随机变量方差的性质
(1)设a，b为常数，则D(aX＋b)＝_______.
(2)Dc＝____ (其中c为常数)．
a2DX
0
基点训练
1．若随机变量X的分布列如表，则X的方差DX是(　 )
√
2．若随机变量X满足DX＝0.8，则D(2X－3)＝(　 )
A．0.8 B．1.6
C．3.2 D．0.2
解析：因为DX＝0.8，所以D(2X－3)＝22×DX＝4×0.8＝3.2.
√
3．有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量ξ1，ξ2，已知Eξ1＝Eξ2，Dξ1>Dξ2，则自动包装机____的包装质量较好．
解析：均值仅体现了随机变量取值的平均水平，如果两个随机变量的均值相等，还要看随机变量的取值如何在均值的周围变化，方差大说明随机变量取值较分散，方差小说明取值较集中，由题意，可得乙的包装质量较好．
乙
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
[例1]　设随机变量X的分布列为
题型(一)　求离散型随机变量的方差
√
[例2]　某运动员投篮命中率p＝0.8，则该运动员在一次投篮中命中次数X的方差为______．
解析：依题意知，X服从两点分布，X的分布列为
X 1 0
P 0.8 0.2
0.16
求离散型随机变量X的方差的步骤
(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值；
(2)求X取各个值的概率，写出分布列；
(3)根据分布列，由均值的定义求出EX；
(4)根据公式计算方差．　　
方法技巧
针对训练
√
解析：由题知X＝6,9,12.
2．袋中有大小相同的三个球，编号分别为1,2,3，从袋中每次取出一个球，若取到球的编号为奇数，则取球停止，用X表示所有被取到的球的编号之和，则X的方差为________．
解析：X的分布列为
[例3]　已知X的分布列如下：
题型(二)　离散型随机变量方差的性质
求随机变量Y＝aX＋b方差的方法
求随机变量Y＝aX＋b的方差，一种方法是先求Y的分布列，再求其均值，最后求方差；另一种方法是应用公式D(aX＋b)＝a2DX求解．　　
方法技巧
针对训练
√
√
解析： E(2X＋1)＝2EX＋1＝5，则EX＝2，故A正确，B错误；
D(3X－1)＝9DX＝9，则DX＝1，故C正确，D错误．
4．若随机变量X的分布列如表，且EX＝2，则D(2X－3)的值为(　 )
√
[例4]　甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.
题型(三)　离散型随机变量方差的实际应用
解：(1)由题意得0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1.因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2，所以乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.所以ξ的分布列为
ξ 10 9 8 7
P 0.5 0.3 0.1 0.1
(2)由(1)得Eξ＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2，Eη＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7.所以Dξ＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96，
Dη＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.
由于Eξ>Eη，Dξ均值仅体现了随机变量取值的平均水平，如果两个随机变量的均值相等，还要看随机变量的方差，方差大说明随机变量取值较分散，方差小说明取值比较集中．因此，在利用均值和方差的意义去分析解决问题时，两者都要分析．　　
方法技巧
5．有甲、乙两家公司都需要招聘求职者，这两家公司的聘用信息如表所示.
针对训练
(1)若一人去应聘甲公司的C职位，另一人去应聘乙公司的C职位，记这两人被录用的人数和为η，求η的分布列．
(2)若小方和小芳分别被甲、乙两家公司录用，求小方月薪高于小芳月薪的概率．
(3)根据甲、乙两家公司的聘用信息，如果你是求职者，你会选择哪一家公司？请说明理由．
解：(1)根据题意可知，随机变量η的可能取值有0,1,2，
则P(η＝0)＝0.8×0.8＝0.64，P(η＝1)＝2×0.2×0.8＝0.32，P(η＝2)＝0.2×0.2＝0.04，
所以随机变量η的分布列为
η 0 1 2
P 0.64 0.32 0.04
(2)小方月薪高于小芳月薪的概率P＝0.4×0.4＋0.3×0.4＋0.2×(0.4＋0.3)＋0.1×(0.4＋0.3)＝0.49.
(3)入职甲公司，月薪的均值为EX＝0.4×5＋0.3×6＋0.2×7＋0.1×8＝6，
方差DX＝0.4×(5－6)2＋0.3×(6－6)2＋0.2×(7－6)2＋0.1×(8－6)2＝1.
入职乙公司，月薪的均值为EY＝0.4×4＋0.3×6＋0.2×8＋0.1×10＝6，
方差DY＝0.4×(4－6)2＋0.3×(6－6)2＋0.2×(8－6)2＋0.1×(10－6)2＝4，
乙公司月薪高于甲公司的概率为P＝0.3×0.4＋0.2×(0.4＋0.3＋0.2)＋0.1＝0.4，
即EX＝EY，DX即两家公司月薪的均值相同，但甲公司月薪的波动性小，乙公司的月薪波动性更大，且甲公司月薪高于乙公司月薪的概率更大，故选甲公司．
课时跟踪检测
A级——综合提能
1．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值EX甲＝EX乙，方差分别为DX甲＝11，DX乙＝3.4.由此可以估计(　 )
A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐
B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐
C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同
D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较
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3．已知随机变量X的分布列如下：
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4．已知随机变量ξ的分布列如下：
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5．[多选]随机变量X的分布列如下：
X －1 0 1 2
P 0.1 0.1 a 0.5
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解析：由题意得0.1＋0.1＋a＋0.5＝1，得a＝0.3，所以A错误．
P(|X|＝1)＝P(X＝1)＋P(X＝－1)＝0.3＋0.1＝0.4，所以B正确．
EX＝－1×0.1＋0×0.1＋1×0.3＋2×0.5＝1.2，所以C正确．
DX＝0.1×(－1－1.2)2＋0.1×(0－1.2)2＋0.3×(1－1.2)2＋0.5×(2－1.2)2＝0.96，所以D错误．故选BC.
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6．随机变量X的分布列如下，则D(2X－1)＝_____.
X 0 1 2
P 0.3 p 0.3
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8．若X的分布列为
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9．在一个袋中装有大小、形状完全相同的3个红球、2个黄球．现从中任取2个球，设随机变量X为取得红球的个数．
(1)求X的分布列；
(2)求X的数学期望EX和方差DX.
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则X的分布列为
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10．甲、乙两种品牌手表，它们的日走时误差分别为X和Y(单位：s)，其分布列为
甲品牌的日走时误差分布列
X －1 0 1
P 0.1 0.8 0.1
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乙品牌的日走时误差分布列
Y －2 －1 0 1 2
P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
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解：(1)由已知可得，EX＝－1×0.1＋0×0.8＋1×0.1＝0，EY＝－2×0.1－1×0.2＋0×0.4＋1×0.2＋2×0.1＝0.
(2)由(1)知，EX＝0，所以DX＝(－1－0)2×0.1＋(0－0)2×0.8＋(1－0)2×0.1＝0.2.
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又EY＝0，所以DY＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋(0－0)2×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2.
所以EX＝EY，DX所以两品牌手表的误差平均水平相当，但是甲品牌的手表走时更稳定．
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12．[多选]甲、乙两名射击运动员在同样条件下进行射击比赛，甲、乙命中的环数分别是X，Y，X，Y的分布列如下表，则下列结论正确的是(　 )
X(环) 8 9 10
P 0.2 0.6 0.2

Y(环) 8 9 10
P 0.3 0.4 0.3
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A．两人的平均成绩一样
B．甲的平均成绩比乙高
C．甲发挥比乙稳定
D．乙发挥比甲稳定
√
√
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解析：依题意，得EX＝0.2×8＋0.6×9＋0.2×10＝9，EY＝0.3×8＋0.4×9＋0.3×10＝9，DX＝0.2×(8－9)2＋0.6×(9－9)2＋0.2×(10－9)2＝0.4，DY＝0.3×(8－9)2＋0.4×(9－9)2＋0.3×(10－9)2＝0.6，显然EX＝EY，A正确，B不正确；
DX1
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13．随机变量ξ的分布列如下表所示，则方差Dξ的取值范围是________.
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15．为弘扬中华优秀传统文化，营造良好的文化氛围，增强文化自觉和文化自信，某区组织开展了中华优秀传统文化知识竞答活动，该活动有单人赛和PK赛，每人只能参加其中的一项．据统计，中小学生参与该项知识竞答活动的人数共计4.8万，其中获奖学生情况统计如下：
奖项 组别 单人赛 PK
赛获奖
一等奖 二等奖 三等奖 中学组 40 40 120 100
小学组 32 58 210 100
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(1)从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自中学组的概率；
(2)从中学组和小学组获奖者中各随机抽取1人，以X表示这2人中PK赛获奖的人数，求X的分布列和数学期望；
(3)从获奖学生中随机抽取3人，设这3人中来自中学组的人数为ξ，来自小学组的人数为η，试判断Dξ与Dη的大小关系．(结论不要求证明)
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2课时跟踪检测(五十四)　离散型随机变量的方差
A级——综合提能
1.有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值EX甲＝EX乙，方差分别为DX甲＝11，DX乙＝3.4.由此可以估计(　 )
A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐
B.乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐
C.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同
D.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较
2.已知随机变量X的方差为DX＝3，则D＝(　 )
A.9 B.3
C. D.
3.已知随机变量X的分布列如下：
X －1 0 1
P a
则DX的值是(　 )
A. B.
C. D.
4.已知随机变量ξ的分布列如下：
ξ m n
P a
若Eξ＝2，则Dξ的最小值等于(　 )
A.0 B.2
C.1 D.
5.[多选]随机变量X的分布列如下：
X －1 0 1 2
P 0.1 0.1 a 0.5
则下列说法正确的是(　 )
A.a＝0.2 B.P(|X|＝1)＝0.4
C.EX＝1.2 D.DX＝2.4
6.随机变量X的分布列如下，则D(2X－1)＝________.
X 0 1 2
P 0.3 p 0.3
7.甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮.已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，.在前3次投篮中，乙投篮的次数为ξ，则ξ的方差为________.
8.若X的分布列为
X 1 2 3 4
P
则D等于________.
9.在一个袋中装有大小、形状完全相同的3个红球、2个黄球.现从中任取2个球，设随机变量X为取得红球的个数.
(1)求X的分布列；
(2)求X的数学期望EX和方差DX.
10.甲、乙两种品牌手表，它们的日走时误差分别为X和Y(单位：s)，其分布列为
甲品牌的日走时误差分布列
X －1 0 1
P 0.1 0.8 0.1
乙品牌的日走时误差分布列
Y －2 －1 0 1 2
P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
(1)求EX和EY；
(2)求DX和DY，并比较两种品牌手表的性能.
B级——应用创新
11.[多选]设0ξ 0 1 2
P 0.5 0.5－x x
则当x在内增大时(　 )
A.Eξ减小 B.Eξ增大
C.Dξ减小 D.Dξ增大
12.[多选]甲、乙两名射击运动员在同样条件下进行射击比赛，甲、乙命中的环数分别是X，Y，X，Y的分布列如下表，则下列结论正确的是(　 )
X(环) 8 9 10
P 0.2 0.6 0.2
Y(环) 8 9 10
P 0.3 0.4 0.3
A.两人的平均成绩一样
B.甲的平均成绩比乙高
C.甲发挥比乙稳定
D.乙发挥比甲稳定
13.随机变量ξ的分布列如下表所示，则方差Dξ的取值范围是________.
ξ 0 1 2
P a b
14.某公司计划在2025年年初将100万元用于投资，现有两个项目供选择.
项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和；
项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，.
针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.
15.为弘扬中华优秀传统文化，营造良好的文化氛围，增强文化自觉和文化自信，某区组织开展了中华优秀传统文化知识竞答活动，该活动有单人赛和PK赛，每人只能参加其中的一项.据统计，中小学生参与该项知识竞答活动的人数共计4.8万，其中获奖学生情况统计如下：
奖项组别 单人赛 PK赛获奖
一等奖 二等奖 三等奖
中学组 40 40 120 100
小学组 32 58 210 100
(1)从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自中学组的概率；
(2)从中学组和小学组获奖者中各随机抽取1人，以X表示这2人中PK赛获奖的人数，求X的分布列和数学期望；
(3)从获奖学生中随机抽取3人，设这3人中来自中学组的人数为ξ，来自小学组的人数为η，试判断Dξ与Dη的大小关系.(结论不要求证明)
课时跟踪检测(五十四)
1．选B　由EX甲＝EX乙，DX甲＞DX乙知B正确．
2．选C　D＝DX＝.
3．选C　由a＋＋＝1，解得a＝，所以EX＝－1×＋0×＋1×＝，DX＝2×＋2×＋2×＝.
4．选A　由题意得a＝1－＝，所以Eξ＝m＋n＝2，即m＋2n＝6.又Dξ＝(m－2)2＋(n－2)2＝(6－2n－2)2＋(n－2)2＝2(n－2)2，所以当n＝2时，Dξ取最小值0.
5．选BC　由题意得0.1＋0.1＋a＋0.5＝1，得a＝0.3，所以A错误．P(|X|＝1)＝P(X＝1)＋P(X＝－1)＝0.3＋0.1＝0.4，所以B正确．EX＝－1×0.1＋0×0.1＋1×0.3＋2×0.5＝1.2，所以C正确．DX＝0.1×(－1－1.2)2＋0.1×(0－1.2)2＋0.3×(1－1.2)2＋0.5×(2－1.2)2＝0.96，所以D错误．故选BC.
6．解析：依题意，得p＝1－0.3－0.3＝0.4，于是EX＝0×0.3＋1×0.4＋2×0.3＝1，DX＝(0－1)2×0.3＋(1－1)2×0.4＋(2－1)2×0.3＝0.6，所以D(2X－1)＝4DX＝2.4.
答案：2.4
7．解析：由题意可知，乙投篮的次数ξ的取值为0,1,2.则P(ξ＝0)＝×＝，P(ξ＝1)＝×＋×＝，P(ξ＝2)＝×＝.
故ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
则Eξ＝0×＋1×＋2×＝，
所以Dξ＝2×＋2×＋2×＝.
答案：
8．解析：由已知得EX＝1×＋2×＋3×＋4×＝，DX＝2×＋2×＋2×＋2×＝，
所以D＝DX＝.
答案：
9．解：(1)X的可能取值为0,1,2.
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
则X的分布列为
X 0 1 2
P
(2)由(1)中分布列可得
EX＝0×＋1×＋2×＝，
DX＝2×＋2×＋2×＝.
10．解：(1)由已知可得，EX＝－1×0.1＋0×0.8＋1×0.1＝0，
EY＝－2×0.1－1×0.2＋0×0.4＋1×0.2＋2×0.1＝0.
(2)由(1)知，EX＝0，所以DX＝(－1－0)2×0.1＋(0－0)2×0.8＋(1－0)2×0.1＝0.2.
又EY＝0，所以DY＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋(0－0)2×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2.
所以EX＝EY，DX所以两品牌手表的误差平均水平相当，但是甲品牌的手表走时更稳定．
11．选BD　012．选AC　依题意，得EX＝0.2×8＋0.6×9＋0.2×10＝9，EY＝0.3×8＋0.4×9＋0.3×10＝9，DX＝0.2×(8－9)2＋0.6×(9－9)2＋0.2×(10－9)2＝0.4，DY＝0.3×(8－9)2＋0.4×(9－9)2＋0.3×(10－9)2＝0.6，显然EX＝EY，A正确，B不正确；DX13．解析：由题意可知，a＋b＝1－＝，
则0≤a≤，0≤b≤，
故Eξ＝×0＋a＋2b＝a＋2b＝＋b，
从而Dξ＝ (ξi－Eξ)2，
Pi＝－2＋.因为0≤b≤，
所以由二次函数性质可知，≤Dξ≤，故方差Dξ的取值范围是.
答案：
14．解：设投资项目一、二获利分别为X，Y万元，
则X的可能取值有30，－15，且
P(X＝30)＝，P(X＝－15)＝，
Y的可能取值有50，－30,0，且
P(Y＝50)＝，P(Y＝－30)＝，
P(Y＝0)＝，
所以EX＝30×＋(－15)×＝20，
EY＝50×＋(－30)×＋0×＝20，
所以EX＝EY，DX＝(30－20)2×＋(－15－20)2×＝350，
DY＝(50－20)2×＋(－30－20)2×＋(0－20)2×＝1 400，则DX这说明虽然项目一、项目二获得利润的均值相等，但项目一更稳妥，因此，选择项目一比较好．
15．解：(1)设事件A表示“抽到的学生获得一等奖”，事件B表示“抽到的学生来自中学组”，
则抽到的1个学生获得一等奖，学生来自中学组的概率为P(B|A)＝，
由题表知，P(AB)＝，P(A)＝，
则P(B|A)＝.
(2)由题意知，X可能取值为0,1,2，
则P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
所以EX＝0×＋1×＋2×＝.
(3)由题设知ξ＋η＝3，
所以Dξ＝D(3－η)＝(－1)2·Dη＝Dη.

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