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2024-2025学年北京市中国人民大学附中高一（下）期末数学试卷
第Ⅰ卷（共100分）
一、单选题：本大题共10小题，共40分。
1.( )
A. B. C. D.
2.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数的对应点的坐标是( )
A. B. C. D.
3.若为第三象限角，则下列各式的值为负数的是( )
A. B. C. D.
4.在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点，，则( )
A. B. C. D.
5.将函数的图象向左平移个单位后与函数的图象重合，则函数为( )
A. B. C. D.
6.设向量满足若，则的坐标可以为( )
A. B. C. D.
7.在中，，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.在四边形中，“”是“四边形是平行四边形”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.已知函数，其中，若，在区间上的最大值与最小值的和为，则( )
A. B. C. D.
10.在同一平面内，对于及半径为的圆，若的顶点，，满足，，，则称被圆完全覆盖已知，，再从条件，条件，条件，条件这四个条件中选择一个作为已知条件；条件；条件；条件其中，满足可能被一个半径为的圆完全覆盖的所有条件是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，共20分。
11.已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为______．
12.若，则 ______．
13.智能机器人已开启快递代取服务，某机器人现从某点出发开始工作，先沿正北方向前行，然后沿北偏西方向继续前行了，则此时机器人与出发点的距离为______
14.某正方形网格纸是由个边长为的小正方形构成，点，，，的位置如图所示，动点在正方形网格纸内包含边界，记当时， ______；当时，若动点在小正方形的顶点上，则满足的点的个数为______．
15.已知函数，其中给出下列四个结论：
函数是奇函数；
，；
，使得在内至少有个零点；
，，都有．
其中，所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.已知向量，，，．
求；
若与垂直，求实数的值；
若，求的最小值及其相应的值．
17.已知函数，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为．
求的值；
求的单调递增区间；
若在上的值域为，求的值．
18.在中，为钝角，．
求；
若，，为边上一点，再从条件，条件，条件这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积．
条件：；
条件：；
条件：的周长为．
注：如果选择的条件不符合要求，第问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
19.对任意正整数，定义集合，，，，，设，定义：，．
_____填“”或“”；_____填“”或“”；
设，，，，证明：；
设，，，，求；
证明：对任意，，存在，满足：，且．
第Ⅱ卷（共50分）
四、单选题：本大题共4小题，共20分。
20.在空间中，直线直线，直线，满足：，，，，则直线，位置关系为( )
A. 垂直 B. 平行 C. 相交 D. 异面
21.如图，在三棱锥中，点，分别为棱，的中点．若点在线段上，且满足平面，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
22.在手工课上，小明将一张半径为的半圆形纸片折成了一个圆锥无裁剪无重叠，接着将一个光滑的彩球放置于圆锥底部，制作成一个冰淇淋模型，如图已知该彩球的表面积为，则该冰淇淋模型的高圆锥顶点到球面上点的最远距离为( )
A.
B.
C.
D.
23.如图，已知两个四棱锥与的公共底面是边长为的正方形，顶点、在底面的同侧，棱锥的高，、分别为、的中点，与交于点，与交于点则四棱锥的体积为( )
A. B.
C. D.
五、填空题：本大题共3小题，共15分。
24.以棱长为的正方体各面的中心为顶点，构成一个正八面体，再以这个正八面体各面的中心为顶点构成一个小正方体，那么该小正方体的棱长为______．
25.如图，在棱长为的正方体中，是的中点，点为正方形内含边界动点，若，则的最小值是______．
26.正方体的棱长为，是棱上的一个动点，平面与棱交于点．
给出下列三个结论：
四棱锥的体积为定值；
四边形可能是正方形；
若在棱上存在点，使得平面，则线段；
其中所有正确结论的序号是______．
当点不是棱的端点时，设，，记和四边形的面积分别为，，则的取值范围是______．
三、解答题：本题共1小题，共15分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
27.如图，在四棱锥中，面，且，，，，是的中点，．
求证：平面；
Ⅱ设平面平面，判断并证明与平面的位置关系；
Ⅲ判断四棱锥是否存在外接球，如果存在，直接指出球心的位置，并写出球的体积；如果不存在，请说明理由．
参考答案
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14.
15.
16.因为，，，，
所以．
因为与垂直，所以，
即，所以，解得．
．
当时，取得最小值为，
所以的最小值为．
17.由题意得．
，
根据相邻两条对称轴之间的距离为，
可得的周期，即，解得，所以，
令，
解得的单调递增区间为，；
当时，，
因为在上的值域是为
所以在上的值域为，可得，解得．
18.根据，可得．
在三角形中，根据正弦定理得．
由于，，
因此．
又因为，因此．
如果选条件：．
在三角形中，根据正弦定理可得，因此可得．
由于为钝角，因此．
在三角形中，由于，根据余弦定理，
可得．
解得或舍．
因此 ．
如果选条件：如图所示，
根据正弦定理有，又因为，
从而此时三角形不唯一；
如果选条件：三角形的周长为．
在三角形中，根据正弦定理，可得．
由于为钝角，因此．
由于三角形的周长为，所以．
在三角形中，根据余弦定理可得，解得．
所以 ．
19.解：因为，，，，，
所以；．
证明：设，，
所以有：，，，，，，，，
则，，，，，，
所以．
解：设，
则有：，，，，．
，
所以必为偶数，因此．
当时，，但，不可能；
当时，，但，不可能；
所以，．
又因为，所以同理得，．
所以，．
证明：设，，
有：，，，，，．
任取，令，，
则，；
所以；
同理，；
而中有个元素，，
所以必存在中的两个不同元素，，使得：，．
令，则，且，，结论得证．
20.
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22.
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25.
26.
27.证明：如图，连接，
因为，，，所以，
因为，为中点，所以，
因为面，面，所以，
因为，、平面，所以平面；
Ⅱ平面，证明如下：
因为，平面，平面，所以平面，
因为平面，平面平面，所以，
因为平面，平面，所以平面；
Ⅲ四棱锥存在外接球，球心为线段中点，理由如下：
由得，又，所以、、、四点共圆，
四边形的外接圆圆心为线段中点，
故若四棱锥存在外接球，则球心在过线段中点且与平面垂直的垂线上，
又面，所以球心为线段中点，
故外接球半径，外接球体积为．
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