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2024-2025学年湖南省株洲四中高一（下）期末数学试卷（B卷）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数与在复平面内对应的点关于虚轴对称，则( )
A. B. C. D.
2.在中，若，，，则．
A. B. C. D.
3.设是定义在上且周期为的偶函数，当时，，则( )
A. B. C. D.
4.如图，已知圆锥的轴截面是边长为的正三角形，则该圆锥的侧面积为( )
A.
B.
C.
D.
5.某项比赛共有个评委评分，若去掉一个最高分与一个最低分，则与原始数据相比，一定不变的是( )
A. 极差 B. 分位数 C. 平均数 D. 众数
6.我国古代数学典籍九章算术卷九“勾股”中有一测量问题：“今有立木，系索其末，委地三尺引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？”这个问题体现了古代对直角三角形的研究，现有一竖立的木头柱子，高米，绳索系在柱子上端，牵着绳索退行，当绳索与底面夹角为时绳索未用尽，再退行米绳索用尽绳索与地面接触，则绳索长为( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
7.如图，在四面体中，点在平面上的射影是，，若，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
8.函数的最大值和最小值是，，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知为复数，为虚数单位，则下列结论正确的是( )
A. 若，则 B.
C. 若，则为纯虚数 D. 若，则的最小值为
10.连续抛掷一枚硬币两次，事件表示“第一次硬币正面朝上”，事件表示“第二次硬币反面朝上”，事件表示“两次硬币都正面朝上”，事件表示“两次硬币朝上的情况不同”，则( )
A. 与相互独立 B. 与相互独立 C. 与相互独立 D. 与相互独立
11.已知正方体的棱长为，，，分别是棱，，的中点，下列结论正确的是( )
A.
B. 直线与直线所成角为
C. 三棱锥的体积为
D. 过，，三点的平面截该正方体所得的截面为六边形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若向量，且，则 ______．
13.一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的个红球，个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在，则袋中约有绿球______个
14.在平面四边形中，，分别为，的中点，若，，且，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，．
求的值；
若，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的面积．
条件：；条件：；条件：．
注：如果选择的条件不符合要求，第Ⅱ问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
16.本小题分
如图，四棱锥的各个顶点均在球的表面上，且，，平面．
证明：平面平面；
求四棱锥体积的最大值．
17.本小题分
某校数学建模社团招聘社长职位分笔试与面试两个环节，在笔试中有两轮答题：第一轮从类的个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得分，否则得分；第二轮从类的个问题中任选两题作答，每答对题得分，答错得分若两轮总分不低于分则进入面试环节小红和小明参加此次招聘活动，已知小红对，类每个问题的答对的概率均为在类的个问题中，小明只能答对个问题，在类的个问题中，小明每个问题答对的概率都为他们回答任一问题正确与否互不影响．
求小明在第一轮得分的概率；
求小红两轮总分得分的概率；
试判断小红和小明谁更有机会进入面试环节？
18.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，且满足．
求角；
已知的外接圆的圆心为，半径．
作角的平分线交于，，求的面积；
若，求的取值范围．
19.本小题分
如图，在矩形中，，，是边上的一点，将沿着折起，使点到达点的位置．
如图，若是的中点，点是线段的中点，求证：平面；
如图，若点在平面内的射影落在线段上．
求证：平面；
求点的位置，使三棱锥的外接球的体积最大，并求出最大值．
参考答案
1.
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8.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.因为，所以，
由余弦定理得，
又因为，所以
选择条件：因为，，
所以由余弦定理，可得，
整理得：，此时，该方程无实数根，
所以条件使不存在；
选择条件：因为，，
所以由正弦定理，得，
联立，解得，
由，得，即，解得或舍，
此时条件使存在且唯一，符合题意，
所以其面积为；
若选择条件：因为，所以，
由正弦定理，得，
由可得，即，解得或舍，
此时条件使存在且唯一，符合题意，
所以其面积为．
16.证明：由题，四边形在球的一个圆面的圆周上，因此，
又，因此，因此，
由平面，平面，得，
又，平面，平面，
因此平面，
又平面，因此平面平面．
作，由平面平面，平面平面，平面，
可得平面，
记四棱锥的体积为，
因此，
而，
由平面，因此，因此，
于是，当且仅当时，取等号，
由，得，，
由，得，
于是，当且仅当取等号，
因此．
因此四棱锥体积的最大值为．
17.对类的个问题进行编号：，，，，，第一轮从类的个问题中任选两题作答，
则有共种，
设小明只能答对个问题的编号为：，，，，
则小明在第一轮得分，有共种，
则小明在第一轮得分的概率为：；
设“两轮总分得分”为事件，
“第一轮答错一题得分，第二轮答对两题得分”为事件，
“如果第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分”．
则，
；
；
由知，小明在第一轮得分的概率为，
则小明在第一轮得分的概率为：，
依题意，两人能够晋级复赛，即两轮总积分不低于分
所以如果第一轮答对两题得分，第二轮答对一题得分时，
小红和小明晋级复赛的概率分别为：
；
；
如果第一轮答对两题得分，第二轮答对两题得分时，
小红和小明晋级复赛的概率分别为：
；；
如果第一轮答错一题得分，第二轮答对两题得分时，
小红和小明晋级复赛的概率分别为：
，；
如果第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分时，
小红晋级复赛的概率分别为：
；
所以小红晋级复赛的概率为：；
小明晋级复赛的概率为：；
因为，
所以小明更有机会进入面试环节．
18.因为，所以，
所以，
整理得到，
进而得到，
所以，提取公式得到，
因为为三角形内角所以，可以得到，
又由于，可以得到，
又因为为三角形的内角，所以；
因为，
所以根据正弦定理可得：，
又因为是角的角平分线，所以可以得到，
因为，
所以，
整理得到，
再根据余弦定理得到，
进而得到，
根据可得，
整理得到，
求得或舍去，
根据三角形的面积公式可得；
根据题意作图如下：
由题易知，，，
又因为，，
所以，
整理得到，
进而得到，
化简可得，
故可以求得，
又因为，所以得到，
所以
所以
即的取值范围为．
19.如图，取的中点，连接和，则是的中位线，
所以且，
又且，
所以且，
所以四边形是平行四边形，所以，
又平面，平面，
所以平面．
由平面，平面，得，
又已知，且，是平面内两条相交直线，
所以平面．
，由知平面，又平面，
所以，所以是，
由平面，平面，
所以，是．
如图，取的中点，则点到三棱锥各顶点的距离都相等，
所以是三棱锥外接球的球心．
如图，过点作于，连和，
因为平面，平面，
所以，又，是平面内两条相交直线，
所以平面，又平面，所以，
由和翻折关系知，所以，，三点共线，且，
设，则，，
又，所以，
，，
由，得，
所以，，
所以，
，
因为在时单调递增，
所以时，有最大值，
此时，点位于点的位置，
所以，，．
所以点位于点的时，三棱锥外接球的体积的最大值为．
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