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2024-2025学年江苏省宿迁市某校高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共7小题，每小题5分，共35分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.复数的共轭复数是( )
A. B. C. D.
3.已知，为非零实数，向量，为非零向量，则，是“存在非零实数，，使得”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.若，则的最大值为( )
A. B. C. D.
5.在锐角三角形中，内角，，的对边分别为，，，已知，则角的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知，是两个平面，，是两条直线，则下列命题正确的是( )
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，则
7.如图，在直三棱柱中，底面为直角三角形，，，，点是线段上一动点，则的最小值是( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共4小题，共24分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
8.设，是夹角为的单位向量，由平面向量基本定理知：对平面内任一向量，存在唯一有序实数对，使得，我们称有序数对为向量的“仿射坐标”若向量和的“仿射坐标”分别为，，则下列说法正确的是( )
A.
B. 若，则的“仿射坐标”为
C. 若，则
D. 若，则
9.在中，角，，所对边长为，，，，角的平分线交于，且，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则的外接圆半径是
C.
D.
10.设为虚数单位，复数，则下列命题正确的是( )
A. 若为纯虚数，则实数的值为
B. 若在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是
C. 实数是为的共轭复数的充要条件
D. 若，则实数的值为
11.如图，已知菱形的边长为，，将沿翻折为三棱锥，点为翻折过程中点的某一位置，则下列结论正确的是( )
A. 无论点在何位置，总有
B. 点存在两个位置，使得成立
C. 当平面平面时，异面直线与所成角的余弦值为
D. 当时，为上一点，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，分别是的内角，，的对边，且，则周长的最小值为______．
13.在直角三角形中，已知为斜边上的高，，，现将沿着折起，使得点到达点，且平面平面，则三棱锥的外接球的表面积为______．
14.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名他发现：“平面内到两个定点、的距离之比为定值且的点的轨迹是圆”后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系中，，，点满足，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知平面向量，．
若与垂直求；
若向量，若与共线，求．
16.本小题分
如图，直角梯形中，，，，，以为轴将梯形旋转后得到几何体，如图，其中，分别为上下底面直径，点，分别在圆弧，上，直线平面．
证明：平面平面；
若直线与平面所成角的正切值等于，求到平面的距离；
若平面与平面夹角的余弦值为，求．
17.本小题分
已知函数．
求的单调递增区间；
若函数在区间上有三个零点，求实数的取值范围．
18.本小题分
在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型点在棱上，满足，点在棱上，满足，要求同学们按照以下方案进行切割：
试在棱上确定一点，使得平面，并说明理由；
过点，，的平面交于点，沿平面平将四棱锥模型切割成两部分，在实施过程中为了方便切割，需先在模型中确定点的位置；
Ⅰ请求出的值；
Ⅱ若正四棱锥模型的棱长均为，求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
在中，，，对应的边分别为，，，．
求；
奥古斯丁路易斯柯西，法国著名数学家柯西在数学领域有非常高的造诣很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用已知三维柯西不等式：，，，，，，，当且仅当时等号成立．
在的条件下，若．
(ⅰ)求：的最小值；
(ⅱ)若是内一点，过作，，的垂线，垂足分别为，，，设的面积为，求的最小值．
参考答案
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13.
14.
15.解：因为，，
所以，
因为与垂直，
所以，
整理得：，解得；
因为，，，
所以，
因为与共线，
所以存在唯一实数，使得，
所以，解得，
所以，，
所以．
16.证明：设平面与几何体的上底面交于点，即平面平面，
因为平面平面，平面平面，
所以，
因为平面，平面，平面平面，所以，
所以，
又，所以，
由题意知，平面，
因为平面，所以，
又，所以平面，
又平面，
所以平面平面．
解：连接，
由知平面，
所以就是直线与平面所成角，即，
因为，所以，，即是等腰直角三角形，
所以，，即是等边三角形，
所以，
因为平面平面，
所以点到平面的距离为，
因为平面，
所以到平面的距离等价于点到平面的距离，设为，
所以，
所以，
而，
所以，
故到平面的距离为．
解：分别取，的中点，，连接，，，则，，
因为，、平面，，、平面，
所以平面平面，
若平面与平面夹角的余弦值为，则平面与平面夹角的余弦值也为，
因为是的中点，，，
所以，，
又，所以平面，
因为平面，所以平面平面，
连接，过点作于点，
因为平面平面，平面，所以平面，
过点作于点，连接，则即为平面与平面夹角，也即，
所以，
设，则，
因为，所以，
因为，
所以，，
在中，由射影定理知，，
所以，
在中，，
所以，
在中，，整理得，
解得，即，
所以．
17.解：，
，
，
，
，
令，，
解可得，，，
即的单调递增区间为，，
由在区间上有三个零点，
可得与在区间上有三个交点，
结合正弦函数的图象可知，．
18.解：由已知得，点在棱上，满足 ，点在棱上，满足 ，
所以，取上靠近的四等分点为，
则必有 ，
则根据三角形相似，
必有，使得平面；
Ⅰ 延长，与延长交于，连接，并延长与的延长线交于，
连接，交于，由可得，即为的中点，
由，可得为的中点，
由可得为的中点，
在等腰三角形中，为的中点，取的中点，连接，
则，，
所以，，即 ，
Ⅱ因为面，，
所以面，又因为，
所以平面面，
即与面平面所成角为平面，
因为，所以，
即直线与平面所成角的正弦值为．
19.解：在中，，
由正弦定理得，，
又，，
整理得：，即，
又，
，，
，又，；
，
当且仅当为正三角形时取等号
即：的最小值为．
．
又，
，
，，，，，，，当且仅当时等号成立．
有，当且仅当，即时等号成立．
所以；
由余弦定理，得，
，即，
则，
令，则．
，
，当且仅当时等号成立，
，
令，则在上递减，
当即时，有最大值，
此时有最小值此时与可以同时取到．
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