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2024-2025学年吉林省长春八中高一（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
2.某集团公司青年、中年、老年职员的人数之比为：：，从中抽取名职员作为样本，若每人被抽取的概率是，则该单位青年职员的人数是( )
A. B. C. D.
3.在三棱锥中，底面，，，，则点到平面的距离是( )
A. B. C. D.
4.某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处遇到绿灯的概率分别是，，，则汽车在这三处共遇到两次绿灯的概率为( )
A. B. C. D.
5.已知为虚数单位，复数满足，则( )
A. B. C. D.
6.在中，内角，，所对的边分别为，，，且，则的面积的最大值为( )
A. B. C. D.
7.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为( )
A. B. C. D.
8.如图，三棱锥中，和都是等边三角形，，，为棱上一点，则的值为( )
A. B.
C. D.
9.如图，圆锥的母线长为，点为母线的中点，从点处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到点，这条绳子的长度最短值为，则此圆锥的表面积为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
10.从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么不互斥的两个事件是( )
A. “至少有一个黑球”与“都是黑球”
B. “至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
C. “恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”
D. “至少有一个黑球”与“都是红球”
11.设，是两条不重合的直线，，是两个不同的平面下列四个命题中，正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
12.某次物理考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这名学生中，成绩位于内的学生成绩方差为，成绩位于内的同学成绩方差为，则( )
A.
B. 估计该年级成绩在分及以上的学生成绩的平均数为
C. 估计该年级学生成绩的中位数约为
D. 估计该年级成绩在分及以上的学生成绩的方差为
三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。
13.直三棱柱的所有顶点都在球的球面上，，，，，则球的体积是 ．
14.如图，无人机在离地面高的处，观测到山顶处的仰角为、山脚处的俯角为，已知，则山的高度为______
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
今年中国共产党迎来了建党周年，为了铭记建党历史、缅怀革命先烈、增强爱国主义情怀，某区组织了党史知识竞赛活动在最后一轮晋级比实中，甲、乙、丙三所学校回答一道有关红色革命根据地建立时间的问题，已知甲校回答正确这道题的概率为，甲、丙两所学校都回答正确这道题的概率是，乙、丙两所学校都回答正确这道题的概率是若各学校回答这道题是否正确是互不影响的．
求乙、丙两所学校各自回答正确这道题的概率；
求甲、乙、丙三所学校中不少于所学校回答正确这道题的概率．
16.本小题分
已知平行六面体，，，，，设，，．
求的长度；
求异面直线与所成的角的余弦值．
17.本小题分
已知中三个内角，，所对的边为，，，且，．
若，求的值；
当取得最大值时，求的值．
18.本小题分
某居民小区为了提高小区居民的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内读书者进行年龄调查，随机抽取了一天中名读书者进行调查，将他们的年龄分成段：，，，，，，得到的频率分布直方图如图所示．
估计在这名读书者中年龄分布在区间上的人数；
求这名读书者年龄的平均数和中位数；
从年龄在区间上的读书者中任选两名，求这两名读书者年龄在区间上的人数恰为的概率．
19.本小题分
三棱柱中，平面，是的中点，与交于点，在线段上，且，，，，．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求证：平面；
Ⅲ求直线与平面所成的角的正弦值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.乙的概率为，丙的概率为．
．
16.解：
，
所以
．
所以的长度为．
，，
所以，
，
，
，，
且异面直线所成角的范围是，
所以异面直线与所成角的余弦值为．
17.解：在中，由正弦定理得，则，
因为，所以，
则；
当且仅当，即时取到最大值．
18.解：由频率分布直方图知，年龄在区间上的频率为，
所以名读书者中年龄分布在区间上的人数为；
名读书者年龄的平均数为，
设名读书者年龄的中位数为，则，
解得：，
即名读书者年龄的中位数为岁；
由频率分布直方图知：年龄在区间上的读书者有人，分别记为，，
年龄在区间上的读书者有人，分别记为，，，，
从上述人中选出人，则有、，，，，，，，、，，，，，，，共种情况，
其中恰有人在的情况有，，，，，，，，共种情况，
所以恰有人在的概率．
19.解：Ⅰ平面，平面，
，
在中，，，，
，
则，
，，
又平面，平面，，
平面．
Ⅱ由Ⅰ知，，，
如图，以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则有，，，，，，
设，则，，
，，解得，
即，，
若令，可解得，，
存在，，使得，
向量与，共面，
又，平面，
平面．
Ⅲ，，，，，
设平面的一个法向量，直线与平面所成的角为，
由得，整理得，
令，得平面的一个法向量，
所以．
故直线与平面所成的角的正弦值为．
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