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2024-2025学年吉林省长春市农安县高一（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，且，则( )
A. 或 B. C. D.
3.一个公司共有名员工，要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为的样本已知某部门有名员工，那么从这一部门抽取的员工人数为( )
A. B. C. D.
4.已知随机事件和互斥，和对立，且，，则( )
A. B. C. D.
5.如表记录了上海某个月连续天的空气质量指数：
时间
空气质量指数
则这些空气质量指数的分位数为( )
A. B. C. D.
6.空间中有两个不同的平面，和两条不同的直线，，则下列说法中正确的是( )
A. 若，，，则 B. 若，，，则
C. 若，，，则 D. 若，，，则
7.在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则( )
A. B. C. D.
8.已知是边长为的等边三角形，为圆的直径，若点为圆上一动点，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知两组数据，第一组：，，，，，，：第二组，，，，，，，则下列说法正确的是( )
A. 两组数据的平均数相同 B. 两组数据的中位数相同
C. 两组数据的极差相同 D. 两组数据的方差相同
10.如图，该几何体是正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该几何体底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为，正四棱柱的高为，则下列选项中正确的是( )
A. 正四棱锥的高为
B. 该几何体的表面积为
C. 该几何体的体积为
D. 一只小蚂蚁从点沿几何体的表面爬行到点，它所经过的最短路程为
11.如图，在正方体中，是线段上的一点，则下列说法正确的是( )
A.
B. 平面
C. 异面直线与所成的角的取值范围是
D. 二面角的正弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.把水平放置的四边形按照斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中，，则四边形的面积为______．
13.“直线垂直于平面内无数条直线”是“”的______条件．
14.甲、乙、丙三人进行篮球传球训练，第次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则第次传球传给乙的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在中，，为线段的中点，且，，为实数，记，．
请用和表示；
求．
16.本小题分
某市为了研究高三学生在全市质检中的语文成绩的情况，从全市名学生中随机抽取了名学生的成绩作为样本成绩均在内，将所得的成绩分成七组：，，，，，，，得到频率分布直方图如图所示．
求的值，并估计该市语文成绩落在区间内的学生人数；
估计本次考试全市语文成绩的中位数精确到和平均数同一组中的数据用该区间的中点值作代表．
17.本小题分
如图，在三棱柱中，，，平面平面，平面平面．
求证：平面；
求证：．
18.本小题分
如图，在梯形中，，，，，分别为，的中点，且，是线段上的一个动点．
求；
求的取值范围．
19.本小题分
某景区为了吸引游客，计划建设一个五边形区域的游览区，如图所示，其中三角形区域为观赏区，四边形区域为游乐场活动区，，，，，，为游览区的主要道路不考虑宽度，且，，，，．
求四边形的面积；
求游览区的主要道路的总长度的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.必要不充分
14.
15.在中，，为线段的中点，记，，
则
；
由题意可得：
，
又，
则，，
则．
16.由题意知，解得，
所以该市语文成绩落在区间的频率为，估计该市语文成绩落在区间
内的学生人数是；
由频率分布直方图得，分数在区间，的频率分别为，，
因此该校语文成绩的中位数在之间，
所以，解得，
语文成绩的平均数为．
17.证明：因为，，所以，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又因为平面，所以，
同理可得平面，
又因为平面，所以，
又因为，，平面，所以平面；
取为的中点，连接，，由知，平面，
又因为平面，所以，
又，所以，
所以，
又因为，，，
所以，所以，所以，
又因为，所以，所以，
因为，所以，
又因为平面，平面，所以，
又，所以，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以，
又因为，，平面，所以平面，
又因为平面，所以．
18.建立以为原点，所在直线为轴正半轴，所在直线为轴正半轴的坐标系，
则，，设，
则，，，
；
由，则，即，
又，，，
则，
，
又为锐角，；
设，
，
，
，
，．
19.如图，连接，
在中，由余弦定理得
，则，
因为，则，又，
所以，
在中，，，，
由正弦定理可得，
所以，又，则，
所以，所以，
所以，，
所以．
设，由，得，
在中，由正弦定理．
又因为，
所以，，
所以
，
又，所以，
当，即时，取得最大值，
又，
则，
所以游览区的主要道路的总长度的最大值为．
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