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2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市松雷中学高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.已知空间中不同平面，，，不同直线，，则下列说法错误的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，，则 D. 若，，，则
3.已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4.将直径为，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
5.甲、乙两人独立地攻克一道难题，已知两人能攻克的概率分别是，，则下列概率计算正确的是( )
A. 该题被攻克的概率为 B. 该题未被攻克的概率为
C. 该题至少被一人攻克的概率为 D. 该题至多被一人攻克的概率为
6.下列说法正确的是( )
A. 数据，，，，的第百分位数是
B. 若一组样本数据，，，，，的平均数为，则
C. 用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大
D. 若，，，的标准差为，则，，，，的标准差是
7.空中有一气球近似看成一个点，其在地面的射影是点，在点的正西方点测得它的仰角为，同时在点的南偏东的点，测得它的仰角为，若、两点间的距离为米，那么测量时气球到地面的距离是( )
A. 米
B. 米
C. 米
D. 米
8.如图，在中，，为的中点，过点的直线分别与边、交于、两点，且，，则的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，正方体的棱长为，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为( )
A. 过，，三点的平面截正方体所得截面图形是梯形
B. 三棱锥的体积为
C. 三棱锥的外接球表面积为
D. 一质点从点出发沿正方体表面绕行到的中点的最短距离为
10.佛山公里徒步自年首次推出条路线实现“五龙汇聚”，参与人数逐年增加，到年，现场参与人数为万人，这不仅是一场全民健身的狂欢，更是佛山城市品牌的一次璀璨展示下面分别为年佛山公里徒步参与人数的扇形统计图图、年佛山公里徒步参与人数的条形统计图图，单位：万人，已知年高明线的参与人数是年的倍，则( )
A. 年佛山公里徒步总的参与人数是万
B. 年顺德线的参与人数超过了年南海线与顺德线的参与人数总和
C. 五条线的参与人数年与年相比增加人数最少的是三水线
D. 五条线的参与人数年与年相比增长率最高的是南海线
11.在一次随机试验中，彼此互斥的事件，，，发生的概率分别是，，，，则下列说法错误的是( )
A. 与是互斥事件，也是对立事件
B. 与是互斥事件，也是对立事件
C. 与是互斥事件，但不是对立事件
D. 与是互斥事件，也是对立事件
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，的夹角为，，则 ______．
13.长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约的人近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过，这些人的近视率约为现从每天玩手机不超过的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为______．
14.如图，在平面四边形中，，，，，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，．
Ⅰ求的坐标；
Ⅱ求；
Ⅲ若，且，求实数的值．
16.本小题分
年，国家统计局海南调查总队为制定自贸港民生政策，从海南省某城乡区随机抽取户居民的单户收入作为样本数据，将这户居民的单户收入，单位：万元分成六段：、、、，并作出如图所示的频率分布直方图，其中．
求、的值；
若要对单户收入高于第百分位数的居民进行个税统计，则应对单户收入多少以上的居民进行统计？
已知落在上的样本数据的平均数是，方差是，上的样本数据的平均数是，方差是求这两组数据的总平均数和总方差．
参考公式：分层随机抽样抽取的两层的样本量为、，若这两层的平均数和方差分别为、与、，记总的样本平均数为，样本方差为，则；．
17.本小题分
蔬菜批发市场销售某种蔬菜，在一个销售周期内，每售出吨该蔬菜获利元，未售出的蔬菜低价处理，每吨亏损元．统计该蔬菜以往个销售周期的市场需求量，绘制右图所示频率分布直方图．
Ⅰ求的值，并求个销售周期的平均市场需求量以各组的区间中点值代表该组的数值：
Ⅱ若经销商在下个销售周期购进了吨该蔬菜，设为该销售周期的利润单位：元，为该销售周期的市场需求量单位：吨求与的函数解析式，并估计销售的利润不少于元的概率．
18.本小题分
如图，已知是等边三角形，，，平面，点为的中点．
求证：平面；
求平面与平面夹角的余弦值．
19.本小题分
中，角，，所对的边分别为，，，且．
求证：；
若是锐角三角形，求的取值范围；
若的角平分线交于，且，求．
参考答案
1.
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14.
15.Ⅰ向量，．
则；
Ⅱ，则；
Ⅲ，，
因为，
所以，解得．
Ⅰ结合向量的坐标运算法则，即可求解；
Ⅱ结合向量模公式，即可求解；
Ⅲ结合向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查向量的坐标运算，属于基础题．
16.由题意知，，
所以，又，解得，．
由频率分布直方图知，区间的频率为，区间的频率为，
故前组的频率之和为，前组的频率之和为，
故第百分位数在第组内，
则第百分位数为，
故应对单户收入万元以上的居民进行个税统计．
样本数据在区间的样本数为，
在区间内的样本数为，
所以，
．
17.解：Ⅰ，解得，
个销售周期的平均市场需求量为：．
Ⅱ由题意得，当，，
当时，
所以与的函数解析式为．
设销售利润不少于元的时间记为．
当，，
当，，所以，
所以．
18.证明：取的中点，连接，，
因为平面，平面，所以平面平面，
因为为等边三角形，所以，
又平面平面，平面，所以平面，
因为，点为中点，
所以，且，
又，所以，，所以四边形是平行四边形，
所以，所以平面．
解：由可知平面，
因为，，所以，
故以为坐标原点，、、所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设正的边长为，则，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，，所以，
设平面的法向量，则，
令，则，，所以，
设平面与平面夹角为，
则，，
故平面与平面夹角的余弦值为．
19.解：证明：因为，
由正弦定理有：，
所以，
则，
则，
则，
又因为，所以，
所以有或舍，即，
所以；
因为是锐角三角形，，所以，
所以，解得，
所以
，
由，则，
则的取值范围为．
因为为的平分线，且，
所以，所以，
在中，，，
由正弦定理有：，即，
则，
则，
则，解得或舍，
则．
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