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2024-2025学年福建省福州市部分学校教学联盟高二（下）期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则下列式子一定成立的是( )
A. B. C. D.
3.已知等差数列的前项和为，，则( )
A. B. C. D.
4.若“”是“”的一个充分不必要条件，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.已知事件，满足，，，则( )
A. B. C. D.
6.已知定义在上的函数满足为偶函数，，则下列说法错误的是( )
A. 的图象关于中心对称
B. 的周期为
C.
D. 当时，，则的值为
7.已知，若的展开式中所有项的二项式系数和为，则( )
A. B. C. D.
8.互不相等的正实数，，，，，，，是，，，的任意顺序排列，设随机变量，满足：则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
10.已知盒子中有个白球和个黑球，盒子中有个白球和个黑球先从盒子随机取出一球放入盒子，设“从盒子取出的球是白球”为事件，“从盒子取出的球是黑球”为事件；再从盒子中随机取一球，设“从盒子取出的球是白球”为事件，“从盒子取出的球是黑球”为事件，下列说法正确的是( )
A. ，是互斥事件 B. ，是独立事件
C. D.
11.设函数，则以下说法正确的是( )
A. 是偶函数
B. 在区间上单调递增，在上单调递减
C. 有且仅有一个零点
D. 存在使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.随机变量的分布列如右，则 ______．
13.用模型拟合一组数据，若，，设，得变换后的线性回归方程为，则______．
14.定义域为的偶函数在上单调递减，且，若关于的不等式的解集为，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
人工智能的广泛应用，给人们的生活带来了便捷随着的开源，促进了技术的共享和进步某校社团十分关注学生的使用，若将经常使用的人称为“达人”，偶尔使用或不使用的人称为“非达人”从该社团随机抽取名学生进行调查，得到如下数据：
达人 非达人 合计
男
女
合计
补全列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为“达人”与性别有关联？
现从抽取的“达人”中，按性别采用分层抽样的方法抽取人，然后从人中随机抽取人，记人中女“达人”的人数为，求的分布列与数学期望．
附：．
16.本小题分
已知定义域都为的函数与满足：是奇函数，是偶函数，．
求函数与的解析式；
若在上恒成立，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知数列的前项和为，，且，．
求数列的通项公式．
若，数列的前项和为，
求；
若，求的最大值．
18.本小题分
已知函数，．
求的极小值；
若，．
讨论的单调性；
当时，设的极大值是，求证：．
19.本小题分
如图，，，，四人围成一圈玩成语接龙游戏，游戏开始时随机抽取一个成语，第次由接龙，下一次接龙的人由掷硬币决定，规则如下：随机掷枚硬币，如果枚硬币都是反面朝上，则第次由接龙；如果枚硬币中仅有枚正面朝上，则第次由接龙；如果枚硬币中仅有枚正面朝上，则第次由接龙；如果枚硬币都是正面朝上，则第次由接龙记第次接龙的人为或或或，再次掷枚硬币决定下一次的接龙人，若掷出的硬币中有枚硬币正面朝上，则按顺时针方向数，下一次由后面的第个人接龙若，则下一次由接龙此后每次接龙以此类推．
分别求出第次由，，，接龙的概率；
记前次中由接龙的次数为，求的分布列及期望；
记第次由接龙的概率为，证明．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.根据题意，填写列联表如下：
达人 非达人 合计
男
女
合计
零假设：“达人”与性别无关，
，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此认为成立，即认为“达人”与性别无关．
在“达人”中按性别分层抽样抽取人，其中男“达人”抽取人，
女“达人”抽取人，的所有可能取值为，，．
则，，．
所以，的分布列如下：
的数学期望．
16.因为，是奇函数，是偶函数，
所以，，
则，
可得，
联立方程，
解得，．
因为，即，
又因为，
令，则，
可得，
整理可得，
原题意等价于在上恒成立，
所以，
又因为，
当且仅当，即时，等号成立，
可得，即，
所以实数的取值范围为．
17.数列的前项和为，，且，．
当时，，
两式相减可得：，
因为，所以，所以是首项为，公差为的等差数列，
可得；
所以数列的通项公式为．
由知，可得，
由，可得，
两式相减得，
所以数列的前项和为；
因为，
所以数列是递减数列，
又因为，所以的最大值为．
18.的定义域为，，
令得，令得，令得，故的极小值为；
，定义域为，
，
若，则，令得，
令得，故在上单调递增，在上单调递减，
若，令得或，
当时，，此时恒成立，
故在上单调递增，
当时，，
令得或，
令得，
故在上单调递减，在，上单调递增；
当时，，令得或，令得，
故在上单调递减，在，上单调递增，
综上，当时，在上单调递增，在上单调递减，
当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在，上单调递增，
当时，在上单调递减，在，上单调递增；
证明：由可得当时，在上单调递减，在，上单调递增；
故时，取得极大值，故，
，
因为，所以，令得，解得，
即，令得，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故．
19.记为掷出的硬币中有枚正面朝上的概率，
，
第次由接龙的概率，第次由接龙的概率，第次由接龙的概率，第次由接龙的概率；
由题易知，随机变量的所有可能取值可能为，，，
前次中接龙的次数为，则易知，次都是接龙，概率为，
前次中接龙的次数为，即第，次均没有接龙，
分三种情况：第次接龙且第次没有接龙；第次接龙且第次没有接龙；第次接龙且第次没有接龙，
所以概率为：，
前次中接龙的次数为的概率为，
随机变量的分布列为如下：
将表格数据代入期望公式可得；
证明：记第次由，，，接龙的概率分别为，，，，
则，
，
，
，
得，
因为
所以，
所以，
下证若，则，
得，
得，代入，
得，
得，
所以，
因此，若，则，
得，
所以，
因此，若，则，因此若，则，
因为，
即，得证．
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