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2024-2025学年天津市四校联考高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.函数的大致图象是( )
A. B.
C. D.
4.下列说法中，正确的是( )
A. 经验回归直线是由成对样本数据中的两点确定的
B. 如果两个变量的相关程度越强，则相关系数越接近于
C. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
D. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过
5.某次期末数学考试共道单项选择题每个题有个选项，某同学全都不会做，记该同学做对的题目数为，且服从二项分布，则以下说法错误的是( )
A. B.
C. D.
6.已知函数，则该函数的零点所在区间是( )
A. B. C. D.
7.某高中举行益智闯关团队赛，共个关卡现有包含甲、乙、丙在内的名选手组团参赛，若甲负责第一关，最后一关由名选手共同完成，且乙、丙不在同一关卡，则不同的参赛方案有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8.已知函数，正数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
9.已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.设随机变量服从正态分布，且，若，则______．
11.在的展开式中，常数项为______．
12.已知一种服装的销售量单位：百件与第周的一组相关数据统计如表所示，若两变量，的经验回归方程为，则______．
13.哪吒系列手办盲盒包含哪吒、敖丙、两个结界兽、四大龙王共个人物手办，小明随机购买个盲盒个盲盒内人物一定不同，求在包含哪吒且不包含敖丙的条件下，四大龙王有且仅有一位的概率为______，记小明抽到的龙王盲盒个数为，则 ______．
14.若在上有两个极值点，则的取值范围是______．
15.函数，若恰有三个零点，则实数的取值范围是______．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知甲盒中有个红球，个蓝球，乙盒中有个红球，个蓝球，这些球除了颜色外完全相同现从甲、乙两盒中各任取个球．
求取出的个球颜色相同的概率；
求取出的个球中共有个红球和个蓝球的概率；
记取出的个球中红球的个数为，求的分布列和数学期望．
17.本小题分
三棱台中，若平面，，，，，分别是，中点．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值；
求三棱锥的体积．
18.本小题分
已知函数在时取得极值．
Ⅰ若，
求函数的单调区间；
求曲线在点处的切线方程；
Ⅱ若且，求证：注：
19.本小题分
已知等差数列满足，已知数列的前项和为，且满足．
求数列，的通项公式；
设，求的前项和；
设，在和之间插入个数，使，，成等差数列；在和之间插入个数，，使，，，成等差数列；以此类推，在和之间插入个数，，，，使，，，，，成等差数列若，求．
20.本小题分
已知函数，．
Ⅰ若当时，恒成立，求实数的取值范围；
Ⅱ若关于的方程有两个不同实数根，，且．
求实数的取值范围；
求证：．
参考答案
1.
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13.
14.．
15.
16.记“取出的个球颜色相同”为事件，
则，
故取出的个球颜色相同的概率为；
记“取出的个球中共有个红球和个蓝球”为事件，
则，
故取出的个球中共有个红球和个蓝球的概率为；
易知的所有可能取值为，，，，
所以，，
，，
则的分布列为：
故．
17.证明：三棱台中，平面，，，
，，分别是，中点，
，，
四边形是平行四边形，
，
平面，，平面，
平面；
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，，，
设平面的法向量为，
则，
取，得，
直线与平面所成角的正弦值为；
．
18.Ⅰ函数，定义域为，则，
因为在处取得极值，则．
若，则，解得，
则，
令，则或，且当或时，，当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
即的递增区间有，，递减区间有；
由可得，，
所以，，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
Ⅱ证明：因为在处取得极值，所以，
即，所以，
因为，即，
整理得，
即，
即，
因为，所以，即，
即，所以．
19.设等差数列的公差为，由，，
可得，，解得，
可得，
由，可得，解得，
当时，由，可得，
相减可得，即有，
可得数列是首项和公比均为的等比数列，则；
，
可得的前项和；
，
由题意和等差数列的性质，可得，，，，
设，，
相减可得，
化为，
则．
20.Ⅰ若当时，恒成立，即恒成立，
即在上恒成立，
令，则，
所以当时，，单调递增，
当时，单调递减，
所以，
所以，即的取值范围是．
Ⅱ若关于的方程有两个不同实数根，，
即有两个不同实数根， 等价于与的图象有两个交点，
因为，
所以当和时，，单调递增，
当时，，单调递减，且当时，，
当时，，
所以，
作出函数的图象：
所以直线与数的图象有两个交点的的取值范围为；
证明：由知，，由知，，
所以，
设的根为，即，
所以，
从而，所以，
令，，
所以当时，，单调递增，从而，
从而．
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