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2024-2025学年福建省龙岩市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设函数，若，则( )
A. B. C. D.
2.已知随机变量，且，则( )
A. B. C. D.
3.已知，，，为空间中四点，任意三点不共线，且，若，，，四点共面，则的值为( )
A. B. C. D.
4.现有张卡片，分别写上数字，，，，，从这张卡片中随机抽取张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则( )
A. B. C. D.
5.如图，在平行六面体中，已知，，则直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
6.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.一个箱子里有个球，分别标号为，，，，每次取一个球，若有放回的取三次，记至少取出一次的球的个数为，则( )
A. B. C. D.
8.设函数，若存在为自然对数的底数，使成立，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. 在上单调递增 B. 有两个极值点
C. 有一个零点 D. 点是曲线的对称中心
10.近年来我国新能源汽车行业蓬勃发展，新能源汽车不仅对环境保护具有重大的意义，而且还能够减少对不可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向“保护环境，人人有责”，在政府和有关企业的努力下，某地区近几年新能源汽车的购买情况如表所示：
年份
新能源汽车购买数量万辆
则关于的( )
参考公式：，，．
参考数值：，．
A. 线性回归系数 B. 线性回归系数
C. 相关系数 D. 相关系数
11.已知正三棱柱的底面边长为，，点满足，其中，，下列选项正确的是( )
A. 当时，三棱锥的体积为定值
B. 当时，有且仅有一个点，使得平面
C. 当时，的最小值为
D. 当时，的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，若，则的值为______．
13.投篮测试中，每人投次，至少投中次才能通过测试已知某同学每次投篮投中的概率为，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为______．
14.已知函数恰有一个零点，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求曲线在处的切线方程；
求函数的极大值．
16.本小题分
某疾病预防中心随机调查了名岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，调查数据如表所示．
不吸烟者 吸烟者 总计
不患慢性气管炎者
患慢性气管炎者
总计
是否有的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关？
现从不患慢性气管炎者的样本中，按分层抽样的方法选出人，从这人里再随机选取人，求这人中，不吸烟者的人数的数学期望．
附：，．
17.本小题分
如图，在三棱锥中，，，平面．
求证：平面平面；
若，为线段的中点，点为线段的动点，且二面角的余弦值为，求．
18.本小题分
已知函数．
求函数的单调区间；
若，证明：；
已知对于任意，直线与曲线有唯一公共点的实数的值组成的集合为，求证：．
19.本小题分
已知甲袋装有一个黑球和一个白球，乙袋也装有一个黑球和一个白球，四个球除颜色和编号外，其它均相同现从甲乙两袋中各取一个球交换放入对方袋中，重复进行次这样的操作，记甲袋中黑球的个数为．
若进行一次交换后，从甲袋中任取一个球，求这个球是黑球的概率；
求的数学期望；
信息传递与整合模拟是一种用于研究信息在系统中如何流动、组合以及形成新信息的方法编号的黑白小球实验可以在一定程度上对信息传递与整合进行简单的信息模拟现有个不同的袋子，每个袋子装有一黑一白两个小球，这些小球除颜色和编号外，其它均相同，袋中的黑白小球代表该信息源所拥有的基础信息单元若将每个黑球和白球看作不同的信息单元，每个袋子代表一个信息源现将袋中的所有球取出串成圆环，可模拟信息在个信息源之间传递与整合的过程，圆环上小球的排列顺序和组合方式反映了信息的组织和整合形式若这串圆环上的小球黑白相间且同个袋子中的黑白两球相邻，这样产生了种不同的信号求证：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.由于函数，因此．
又导函数，因此，
因此函数在处的切线为：，
即．
由于导函数．
由；由或，
因此的单调递减区间为，单调递增区间为，，
所以是的极大值点．
所以的极大值为．
16.零假设：患慢性气管炎与吸烟无关，
，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即有的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关；
根据分层抽样的定义可知，选出的人中不吸烟者人，吸烟者人，
所以的所有可能取值为，，，，
则，，，，
所以．
17.证明：平面，平面，，
又，，，平面，
平面，平面，
平面平面．
过在平面内作，
以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图：
，，，
，，，
为中点，，
设，，
设平面的法向量为，
则，，
令，，，，，
即，
由知平面，
为平面的一个法向量，
设平面与平面所成角为，
，
解得或，
由知，当为中点，即时，
，平面，
又二面角的余弦值为，
二面角为锐角，
，，
，
，
．
18.，
由可得，
由可得，
所以函数的减区间为，增区间为．
证明：设，则
，
令，，
由于，所以，
从而，
即，则在上单调递增，
所以，即，
因为，且在上单调递增，
所以，即．
证法一：设，
令，，设，
则，
，
所以，即存在使，
所以对于任意的及，直线与曲线有公共点，
令，
以下证明，当，对任意，函数在区间上至多有一个零点，
，
当时，，此时函数在区间内单调递减，
所以，函数在区间内至多有一个零点，
当时，关于的方程，即有两个不同的实数根，
分别记为，，不妨设，可得，
函数在区间和内单调递减，在区间内单调递增，
所以函数的极小值，
，
而，
又，
所以，
所以在区间内至多有一个零点，得证．
证法二：由已知得，设，，
，
则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
，
当时，，即，即在上单调递减，
当无限趋向于且时，无限趋向于正无穷大，
当无限趋向于正无穷大时，无限趋向于，
当时，直线与曲线有唯一公共点．
19.假设一次交换后甲的黑球为个，个、个的事件分别为，，，
再从甲口袋任取一个球为黑球的记为事件．
则
．
依题意可得可能取值为，，对应的概率分别为，，，
则，故E．
当时，，，，所以．
又；；．
．
故有．
证明：依题意，
要证，只要证，
即证，两边取自然对数有，
即证．
令，
当时，，
当时，
，
由得
，
令，则，
在上单调递增，，
，即，
，，
令，则，此时，
是单调递减数列，，
综上，即．
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