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阶段质量评价(五)　概率与统计案例
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.随机变量X的分布列如表，则m＝(　 )
X 1 2 3 4
P m
A. B.
C. D.
2.已知某回归方程为Y＝2－3X，则当X增加1个单位时，Y平均(　 )
A.增加3个单位 B.增加个单位
C.减少3个单位 D.减少个单位
3.已知P(A|B)＝，P(B)＝，则P(AB)＝(　 )
A. B.
C. D.
4.甲、乙两个箱子里各装有5个大小形状都相同的球，其中甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和3个白球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则取出的球是红球的概率为(　 )
A. B.
C. D.
5.已知随机变量ξ服从正态分布N(3，σ2)，且P(0<ξ<3)＝0.4，则P(ξ>6)＝(　 )
A.0.1 B.0.2
C.0.4 D.0.6
6.为了解喜爱足球是否与性别有关，随机抽取了若干人进行调查，抽取女性人数是男性的2倍，男性喜爱足球的人数占男性人数的，女性喜爱足球的人数占女性人数的，若本次调查得出“有99.5%的把握认为喜爱足球与性别有关”的结论，则被调查的男性至少有(　 )
附：χ2＝.
α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 5.635 7.879 10.828
A.11人 B.12人
C.13人 D.14人
7.一个质地均匀的正四面体木块，四个面上分别写有数字1,1,2,3，现随机将木块抛掷一次，记朝下一面出现的数字为随机变量 ξ ，则ξ的数学期望为(　 )
A. B.
C.2 D.
8.设0X 0 1 2
P b
A.DX增大 B.DX减小
C.DX先减小后增大 D.DX先增大后减小
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.已知离散型随机变量X的分布列如下：
X 0 1 2
P a 4a 5a
下列选项正确的是(　 )
A.a的值为0.1 B.EX＝0.44
C.EX＝1.4 D.DX＝1.4
10.下列结论正确的是(　 )
A.若随机变量X服从两点分布，P(X＝1)＝，则EX＝
B.若随机变量Y的方差DY＝3，则D(2Y＋1)＝6
C.若随机变量ξ服从二项分布B，则P(ξ＝3)＝
D.若随机变量η服从正态分布N(1，σ2)，P(η<2)＝0.82，则P(0<η<2)＝0.64
11.沃柑，因其口感甜柔、低酸爽口，且营养成分高，成为大家喜欢的水果之一，目前主要种植于我国广西、云南、四川、湖南等地.得益于物流的快速发展，沃柑的销量大幅增长，同时刺激了当地农民种植沃柑的热情.根据对广西某地的沃柑种植面积情况进行调查，得到统计表如下：
年份t 2019 2020 2021 2022 2023
年份代码X 1 2 3 4 5
种植面积Y /万亩 8 14 15 20 28
附： ≈47.33.
根据上表，下列结论正确的是(　 )
A.该地区这5年沃柑的种植面积的方差为212
B.种植面积Y与年份代码X的样本相关系数约为0.972
C.Y关于X的线性回归方程为Y＝4.6X＋3.2
D.预测该地区沃柑种植面积最早在2027年能突破40万亩
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上)
12.高三毕业时，小红、小鑫、小芸等五位同学站成一排合影留念，已知小红、小鑫二人相邻，则小鑫、小芸相邻的概率是________.
13.中国排球超级联赛总决赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠军，比赛就此结束.现甲、乙两支球队进行总决赛，因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为.据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入500万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加100万元.则总决赛中获得门票总收入恰好为4 500万元的概率是________.
14.为了提高学生的数学应用能力和创造力，某学校组织了“数学建模”知识竞赛活动，学生的竞赛成绩X服从正态分布N(80，σ2)，且P(70≤X≤90)＝.现有参加了竞赛活动的3名学生，则恰有1名学生的竞赛成绩超过90分的概率为________.
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2棵.设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各棵大树是否成活互不影响，求移栽的4棵大树中：
(1)至少有1棵成活的概率；
(2)两种大树各成活1棵的概率.
16.(15分)党的十九大提出实施乡村振兴战略以来，农民收入大幅提升，2024年9月23日某市举办中国农民丰收节庆祝活动，粮食总产量有望连续十年全省第一.据统计该市2019年至2023年农村居民人均可支配收入的数据如下表：
年份 2019 2020 2021 2022 2023
年份代码X 1 2 3 4 5
人均可支配收入Y/万元 1.30 1.40 1.62 1.68 1.80
(1)根据上表统计数据，计算Y与X的样本相关系数r，并判断Y与X是否具有较高的线性相关程度(若0.30<|r|<0.75，则线性相关程度一般，若|r|≥0.75，则线性相关程度较高，r精确到0.01)；
(2)该市某次会议政府工作报告提出，2024年农村居民人均可支配收入力争不低于1.98万元，求该市2024年农村居民人均可支配收入相对2023年增长率的最小值(用百分比表示).
参考公式和数据：样本相关系数r＝， (xi－)(yi－)＝1.28，(yi－)2≈0.17, ≈1.3.
17.(15分)某校在一次庆祝活动中，设计了一个“套圈游戏”，规则如下：每人3个套圈，向M，N两个目标投掷，先向目标M掷一次，套中得1分，没有套中不得分，再向目标N连续掷两次，每套中一次得2分，没套中不得分，根据累计得分发放奖品.已知小明每投掷一次，套中目标M的概率为，套中目标N的概率为，假设小明每次投掷的结果相互独立，累计得分记为X.
(1)求小明恰好套中2次的概率；
(2)求X的分布列及均值.
18.(17分)为了提高生产效率，某企业引进一条新的生产线，现要定期对产品进行检测.每次抽取100件产品作为样本，检测新产品中的某项质量指标数，根据测量结果得到如下频率分布直方图.
(1)质量指标数不在17.5和22.5之间的产品为次等品，试估计产品为次等品的概率；
(2)技术评估可以认为，这种产品的质量指标数X服从正态分布N(μ，1.222)，其中μ近似为样本的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)，计算μ值，并计算质量指标数落在(17.56,22.44)内的概率.
参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ19.(17分)某数学兴趣小组为研究本校学生数学成绩与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从学校抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下：
语文成绩 总计
优秀 不优秀
数学成绩 优秀 50 30 80
不优秀 40 80 120
总计 90 110 200
(1)能否有99%的把握认为数学成绩与语文成绩有关联？
(2)在人工智能中常用L(B|A)＝表示在事件A发生的条件下事件B发生的优势，在统计中称为似然比.现从该校学生中任选一人，A表示“选到的学生语文成绩不优秀”，B表示“选到的学生数学成绩不优秀”，请利用样本数据，估计L(B|A)的值.
(3)现从数学成绩优秀的样本中，按分层随机抽样的方法选出8人组成一个小组，从抽取的8人里再随机抽取3人参加数学竞赛，求这3人中，语文成绩优秀的人数X的分布列及均值.
阶段质量评价(五)
1．选D　由分布列性质得＋m＋＋＝1，解得m＝.
2．C
3．选C　因为P(A|B)＝，P(B)＝，所以P(AB)＝P(A|B)P(B)＝×＝.
4．选B　设事件A表示“从甲箱中随机取出一红球放入乙箱中”，事件B表示“从甲箱中随机取出一白球放入乙箱中”，设事件C表示“从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，取出的球是红球”，则有P(A)＝，P(C|A)＝＝，P(B)＝，P(C|B)＝＝，所以P(C)＝P(A)P(C)＋P(B)P(C|B)＝×＋×＝，故选B.
5．选A　因为μ＝3，且P(0<ξ<3)＝0.4，所以P(3<ξ<6)＝0.4，又P(ξ>3)＝0.5，所以P(ξ>6)＝P(ξ>3)－P(3<ξ<6)＝0.1.
6．选B　设男性人数为k，依题意，得2×2列联表如下：
喜爱足球 不喜爱足球 总计
男性 k
女性 2k
总计 3k
则χ2＝＝.
因为本次调查得出“有99.5%的把握认为喜爱足球与性别有关”的结论，所以χ2≥7.879，即≥7.879，解得k≥11.818 5，而k∈N＋，因此kmin＝12.
7．选B　ξ的可能取值为1,2,3，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝，P(ξ＝3)＝，则ξ的数学期望为1×＋2×＋3×＝，故选B.
8．选A　根据随机变量分布列的性质可知＋＋b＝1，所以b＝，所以EX＝0×＋1×＋2b＝(1＋2a)，
所以DX＝2×＋2×＋2×＝－a2＋a＋＝－(a－1)2＋，因为09．选AC　由离散型随机变量分布列的性质知a＋4a＋5a＝1，∴a＝0.1，∴P(X＝0)＝0.1，P(X＝1)＝0.4，P(X＝2)＝0.5，∴EX＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.5＝1.4，DX＝(0－1.4)2×0.1＋(1－1.4)2×0.4＋(2－1.4)2×0.5＝0.196＋0.064＋0.18＝0.44.
10．选AD　由条件可知，P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝，EX＝0×＋1×＝，故A正确；D(2Y＋1)＝4DY＝12，故B错误；若随机变量ξ服从二项分布B，则P(ξ＝3)＝C×3×＝，故C错误；根据对称性可知，正态曲线关于x＝1对称，所以P(0<η<2)＝1－2[1－P(η<2)]＝0.64，故D正确．
11．选BC　根据题意，得＝＝3，＝＝17，s＝×[(－9)2＋(－3)2＋(－2)2＋32＋112]＝44.8，A错误；由题意得xiyi＝1×8＋2×14＋3×15＋4×20＋5×28＝301，x＝12＋22＋32＋42＋52＝55，y＝82＋142＋152＋202＋282＝1 669，
所以r＝
＝≈≈0.972，B正确；所以＝＝＝4.6，＝－＝17－4.6×3＝3.2.所以Y关于X的线性回归方程为Y＝4.6X＋3.2，C正确；令Y＝4.6X＋3.2≥40，得X≥8，所以最小的整数为8,2 018＋8＝2 026，所以该地区沃柑种植面积最早在2026年能突破40万亩，D错误．
12．解析：设事件A表示“小红、小鑫二人相邻”，事件B表示“小鑫、小芸相邻”，
则P(A)＝＝，P(AB)＝＝，
∴小鑫、小芸相邻的概率为
P(B|A)＝＝＝.
答案：
13．解析：根据题意知，该比赛共比赛了6场，前5场比赛比分是2∶3，且第6场比赛是领先队获胜，故其概率为C5＝.
答案：
14．解析：由学生的竞赛成绩X服从正态分布N(80，σ2)，知正态曲线关于x＝80对称，
由P(70≤X≤90)＝，得P(80≤X≤90)＝×＝，所以P(X>90)＝－P(80≤X≤90)＝.
记A＝“恰有1名学生的竞赛成绩超过90分”，则P(A)＝C××2＝.
答案：
15．解：设Ak表示第k棵甲种大树成活，k＝1,2，Bl表示第l棵乙种大树成活，l＝1,2，
则A1，A2，B1，B2相互独立，
且P(A1)＝P(A2)＝，P(B1)＝P(B2)＝.
(1)至少有1棵成活的概率为1－P(1 2 12)＝1－P(1)P(2)P(1)P(2)
＝1－22＝.
(2)两种大树各成活1棵的概率为
P＝C×××C××
＝×＝.
16．解：(1)由题可知＝＝3，
∴(xi－)2＝(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2＝10，
∴r＝
≈＝≈0.98>0.75，
∴Y与X具有较高的线性相关程度．
(2)设增长率为p，则1.8(1＋p)≥1.98，
解得p≥0.1，∴pmin＝0.1＝10%，
故该市2024年农村居民人均可支配收入相对2023年增长率的最小值为10%.
17．解：(1)记“小明恰好套中2次”为事件A，
分3种情况：第一次，第二次套中；第一次，第三次套中；第二次，第三次套中，则
P(A)＝×2××＋××＝，
故小明恰好套中2次的概率为.
(2)由题意可得，X的可能取值为0,1,2,3,4,5，
P(X＝0)＝××＝，
P(X＝1)＝××＝，
P(X＝2)＝×2××＝，
P(X＝3)＝×2××＝，
P(X＝4)＝××＝，
P(X＝5)＝××＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4 5
P
所以EX＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝.
18．解：(1)由1×(a＋0.09＋0.22＋0.33＋0.24＋0.08＋a)＝1，解得a＝0.02，
所以样本中质量指标数不在17.5和22.5之间的频率为0.02×(1＋1)＝0.04，
所以产品为次等品的概率估计值为0.04.
(2)依题意μ＝17×0.02＋18×0.09＋19×0.22＋20×0.33＋21×0.24＋22×0.08＋23×0.02＝20.
所以X～N(20,1.222)，
所以P(17.5619．解：(1)据表中数据计算得χ2＝≈16.498>6.635，有99%的把握认为数学成绩与语文成绩有关．
(2)∵L(B|A)＝＝＝＝＝＝，
∴估计L(B|A)的值为.
(3)按分层随机抽样，语文成绩优秀的5人，语文成绩不优秀的3人，随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝＝，
P(X＝3)＝＝＝，
∴X的分布列为
X 0 1 2 3
P
EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝.

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