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2024-2025学年安徽省合肥一中高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知向量，且，则实数的值为( )
A. B. C. D.
3.某校为了解同学们对“天宫课堂”这种授课模式的兴趣，决定利用分层抽样的方法从高一、高二、高三学生中选取：人进行调查，已知该校高一年级学生有人，高二年级学生有人，高一年级学生有人，则抽取的学生中，高一年级有( )
A. 人 B. 人 C. 人 D. 人
4.如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，则原四边形的周长为( )
A.
B.
C.
D.
5.“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变更，最多相差一两天”中国农历的二十四节气，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如八月有立秋、处暑，九月有白露、秋分现从立秋、处暑、白露、秋分这个节气中任选个节气，则这个节气至少有一个在八月的概率为( )
A. B. C. D.
6.的三内角，，所对边的长分别是，，，若，则角的大小为( )
A. B. C. D.
7.在正方形中，已知，是的中点，现以为折痕将折起到的位置，当三棱锥的体积最大时，此时三棱锥外接球的体积为，则( )
A. B. C. D.
8.已知的内切圆圆心为，半径，且满足，是内切圆上一动点，则取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的面的点数，“点数为偶数”记为事件，“点数大于”记为事件，“点数小于”记为事件，下列说法正确的是( )
A. 与互斥 B. 与对立
C. 与相互独立 D.
10.已知中，，，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D. 在上的投影向量为
11.如图，已知正方体的棱长为，交平面于点，则下列说法正确的是( )
A. 点是的重心
B.
C. 面截正方体外接球所得截面的面积为
D. 以顶点为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某次期中考试随机抽取了名同学的数学成绩作为样本，分别是，，，，，，，，，，，，则这组数据的第百分位数为______．
13.已知正四棱台的上、下底面边长分别为，，体积为，则此四棱台的侧面与下底面所成二面角的正弦值为______．
14.在圆内接四边形中，，若，则的面积最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，．
求的值；
求向量与夹角的余弦值．
16.本小题分
为了解中学生的体育锻炼情况，调查小组在某中学随机抽取了名学生，统计了他们某一周的综合体育活动时间单位：时，并按照，，，，，将样本数据分成组，制成如图所示的频率分布直方图．
补全频率分布直方图，并估计该校学生每周综合体育活动时间的中位数与平均数；
利用频率估计概率，若从该校随机抽取两名学生，且两名学生的体育活动情况互不影响，求这两名学生中至少有一人每周综合体育活动时间不低于小时的概率．
17.本小题分
如图所示，四棱锥的底面为直角梯形，，，，，底面，为的中点．
求证：平面平面；
求直线与平面所成的角的正弦值．
18.本小题分
在中，设角，，所对的边分别是，，，且满足．
求角；
若，求面积的最大值；
求的取值范围．
19.本小题分
唐代诗人温庭筠的新添声杨柳枝词二首中写道“玲珑骰子安红豆，入骨相思知不知”，表达了诗人的相思之情为迎接七夕，某超市购进了一批“玲珑骰子”如图所示：棱长为的水晶正八面体八个面都是全等的正三角形，中间的球体部分是被挖空的表面不被破坏，并嵌入了红豆．
当给红豆留出最大空间时，求骰子中间被挖空的球体的表面积．
超市推出一项活动，在“玲珑骰子”的所有顶点中每次随机抽取三个不同的顶点，能构成等边三角形即可获得“花好”卡片，能构成直角三角形即可获得“月圆”卡片甲乙两人每人抽取一次抽取结果互不影响，求两人所获得的卡片能凑成“花好月圆”的概率．
若点为中球面上的任一点，设，，二面角的平面角为，求的值．
参考答案
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14.
15.解：，，
得，即，则；
，
．
又，且向量与夹角为，
则．
16.第五组的频率为，
所以该组对应的小矩形高度为，
故补全频率分布直方图如下：
设样本数据的中位数为，平均数为．
因为样本数据在的频率为，
样本数据在的频率为，
则，所以，解得，
，
由样本估计总体，该校学生每周综合体育活动时间的中位数与平均数分别为和．
由频率分布直方图可估计该校学生每周综合体育活动时间不低于小时的频率为．
记事件“抽取的第名学生每周综合体育活动时间不低于小时”，
“抽取的第名学生每周综合体育活动时间不低于小时”，
由题意，相互独立．
利用频率估计概率，．
记事件“抽取的两名学生中至少有一人每周综合体育活动时间不低于小时”，
则
．
所以抽取的两名学生中至少有一人每周综合体育活动时间不低于小时的概率为．
17.解：以点为坐标原点，以直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，．
，，，
，
，
，，
又，平面，平面，
平面，又平面，
平面平面．
，
设是平面的一个法向量，
则，
令，则，，即，
，，，
设直线与平面所成的角为，
．
直线与平面所成的角的正弦值为．
18.解：因为，
根据正弦定理得，
且，
可得，
即，
又因为，则，
可得，整理可得，
且，则，
可得，解得．
由余弦定理得，即，
可得，解得，当且仅当时，等号成立．
所以的面积为：，
故面积的最大值为．
根据正弦定理得
，
令，则，可得，
将原式化为，
因为，则，可得
根据二次函数的图像性质，可得：
当时，原式取得最小值，；
当时，原式取得最大值，．
综上所述，的取值范围为．
19.设被挖空的球体的半径为球心为，根据题意，
当球体为正八面体的内切球时，留给红豆的空间最大，
此时设四棱锥的高为，则．
所以，
正八面体每个面的面积是，
由，
得，
解得，
所以球体的表面积为；
在“玲珑骰子”的所有顶点中每次随机抽取三个不同的顶点，
该试验的样本空间，，，，，，
，，，，，，，
，，，，，，，
共个样本点，所以，
每种选择是等可能的，因此这个实验是古典概型，
设事件甲获得“花好”卡片，事件乙获得“花好”卡片，
，，，，，，，，
所以，从而．
设事件甲获得“月圆”卡片，事件乙获得“月圆”卡片，
任取三个顶点构成三角形，除等边三角形外，其余全部为直角三角形，
所以，从而，
记两人所获得卡片能凑成“花好月圆”为事件，
，且与互斥，
所以
；
过点作交或其延长线于点，
过点做交或其延长线于点，
则，，，，
为二面角的平面角，
在中，，
在中，，
由得，
从而，
所以，
即，
所以为定值．

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