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2024-2025学年陕西省西安市西工大附中高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.盒子中有个大小相同编号不同的小球，其中白球个，黑球个，从中随机取出个，则至少有个黑球的取球种数是( )
A. B. C. D.
3.已知、是实数，则“，”是“且”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条
4.直线被抛物线截得的线段的中点坐标是( )
A. B. C. D.
5.设，，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.的展开式中常数项为( )
A. B. C. D.
7.已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.设椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上一点，，，则椭圆离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中的真命题为( )
A. 设、为两个不同平面，若直线在平面内，则“”是“”的必要不充分条件
B. 设随机变量服从正态分布，若，则
C. 已知随机变量，则
D. ，
10.已知变量，之间的线性回归方程为，且变量，之间的一组相关数据如表所示，则下列说法正确的是( )
A. 变量，之间呈现负相关关系 B.
C. 可以预测，当时，约为 D. 由表格数据知，该回归直线必过点
11.已知一袋中有大小、质地相同的个红球和个白球，则下列结论中正确的有( )
A. 从中任取个球，恰有个白球的概率是
B. 从中有放回地取球次，每次任取个球，则取到红球的次数的方差为
C. 现从中不放回地取球次，每次任取个球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为
D. 从中有放回地取球次，每次任取个球，则取到两次红球的概率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.用、、、、这个数字可组成没有重复数字的三位偶数______个．
13.已知成对样本数据，，，中，，，互不相等，且所有样本点都在直线上，则这组成对样本数据的样本相关系数 ______．
14.已知动点满足，则动点的轨迹方程是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
的内角，，的对边分别为，，，已知．
求角的大小；
若角为钝角，求的取值范围．
16.本小题分
中国是茶的故乡，茶文化源远流长，博大精深某兴趣小组，为了了解当地居民对喝茶的态度，随机调查了人，并将结果整理如下：
单位：人
年龄段 态度 合计
不喜欢喝茶 喜欢喝茶
岁以上含岁
岁以下
合计
依据小概率值的独立性检验，能否据此推断该地居民喜欢喝茶与年龄有关？
以样本估计总体，用频率代替概率该兴趣小组在当地喜欢喝茶的人群中，随机选出人参加茶文化艺术节抽取的人中，岁以下的人数记为，求的分布列与期望．
参考公式：，其中．
参考数据：
17.本小题分
已知椭圆的离心率为，且长轴长为．
求椭圆的方程；
过椭圆左焦点的直线与椭圆交于，两点，求三角形面积的最大值．
18.本小题分
在中，，，，，分别是，上的点，满足，且将沿折起到的位置，使，存在动点使，如图所示．
求证：平面；
设直线与平面所成线面角为，求的最大值．
19.本小题分
函数，．
讨论的单调性；
当时，解方程；
当时，不等式恒成立，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.由和正弦定理得，
，因，
则有，因，，则，又，故；
由正弦定理，，可得，
因，代入化简得：，
因为钝角，故由，可得，
则，，即，故的取值范围是．
16.解：零假设：该地居民喜欢喝茶与年龄没有关系，
则，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，据此推断该地居民喜欢喝茶与年龄没有关系；
由题意可知，的取值可能为，，，
则，，
所以的分布列为：
所以．
17.因为椭圆的离心率为，且长轴长为，
所以，
解得，，，
则椭圆的方程为；
易知，直线的斜率可以不存在，但不为，且直线必与椭圆相交，
设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，，
所以，
则三角形面积
令，
此时，
可得，
因为在上单调递增，
所以，
则，
当且仅当，时，等号成立．
故三角形面积的最大值为．
18.证明：由题意可得，
又，
所以，
由题意可得，，
又由于，，平面，
可得平面，
由平面，可得，
又因为，，，平面，
可得平面，得证；
由可知，，，两两垂直，翻折后，
又因为，
以为原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
由题意可得，，，，
则，
可知，
设平面的法向量，
可得，
令，
可得，
所以，
且，
由于直线与平面线面角为，
则
，当且仅当时等号成立，
可得的最大值为．
19.因为，，
所以，
若，则在上恒成立，所以函数在上单调递增；
若，由，由，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
综上，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，由，得，
由知当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，
设，则，
令得，令得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，
即，当且仅当时取等号，
故方程的解为；
当时，，
当时，上式恒成立，即，
当时，，
设，，
则，
设，，则在上恒成立，
即在上单调递增，又，
所以在上恒成立，
令，则，令，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，
综上，的取值范围是．
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