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2024-2025学年广东省肇庆市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则( )
A. B. C. D.
2.已知随机变量服从正态分布，且，则( )
A. B. C. D.
3.已知正项等比数列中，，则( )
A. B. C. D.
4.已知离散型随机变量的分布列如表：
若离散型随机变量，则的方差( )
A. B. C. D.
5.某同学参加招聘考试，笔试部分有三个题目，根据经验他答对每一题的概率均为，至少答对两题才能进入面试，则该同学能进入面试的概率为( )
A. B. C. D.
6.从名工程师中选出人去个不同的工地执行任务，其中甲、乙两名工程师要么都去，要么都不去，每个工地要求至少有一名工程师，则不同分配方法的种数为( )
A. B. C. D.
7.记等差数列的前项和为，且，，记为的前项和，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若函数，下列说法正确的是( )
A. 的单调递减区间是
B. 是的极小值点
C. 没有最大值也没有最小值
D. 若函数在区间上有两个零点，则的取值范围为
10.记随机事件，的对立事件分别为，，下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则事件，相互独立
C.
D. 若，，，则
11.自然界中存在很多美到极致的螺旋，如田螺的螺旋、星系的螺旋，我们把这些螺旋称为“斐波那契螺旋”它按如图所示的规律形成连续不断的弧线，借助正方形的边长形成数列“，，，，，，”，即从数列第三项开始，每项都等于前面两项之和设该数列为，则，记是数列的前项和，是数列的前项和，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，则该函数图象在点处的切线方程为______．
13.展开式中，常数项为______用数字作答
14.若函数在上存在单调递减区间，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某地区农户在推动农业机械化升级后，记录了某作物在接下来年的增长数据万吨，如表所示：
经探究与之间具有相关关系，求关于的经验回归方程；
为了检验，两款机械设备的投放对某农作物的增收情况，在，两地区分别选取了两块相同面积的试验田来记录某年的增收情况，得到的数据如表：
地区 用设备 用设备
根据小概率值的独立性检验，能否认为增收情况与使用，两种不同设备有关？
参考公式：；
其中为样本容量．
参考数据：
16.本小题分
已知是正项递增等比数列的前项和，，，记是正项递增数列的前项和，且．
求和的通项公式；
设的前项和为，若实数恒成立，求的取值范围．
17.本小题分
某商场举行回馈客户抽奖活动，已知有三个盒子，每个盒子都装有大小、形状相同的球，其中第一个盒子中有个红球，个黄球，个蓝球；第二个盒子中有个红球，个黄球，个蓝球；第三个盒子中有个红球，个黄球，个蓝球．
如果一顾客从第一个盒子中随机取出两球，求取到的球一个是红球，一个是蓝球的概率；
已知顾客随机从三个盒子中的某一个盒子中取出的一个球为红球，求该红球来自第一个盒子的概率；
顾客随机从三个盒子中取出一个球，抽奖活动规则是取到红球奖励元代金券，取到黄球奖励元代金券，取到蓝球奖励元代金券，设顾客获得代金券的金额为元，求的分布列以及均值．
18.本小题分
已知函数，．
若，求的极小值；
讨论的单调性；
当时，证明：．
19.本小题分
为了增进亲子间的情感交流，促进社区居民的身心健康，营造和谐积极的社区氛围，某区街道办事处联合一小学举办了亲子跳绳户外嘉年华活动小华和父母于参赛前制定了天跳绳训练规则规则如下：小华第天开始跳绳，若第天跳绳，则他第天跳绳的概率为，第天跳绳的概率为，设他第天跳绳的概率为．
求；
证明为等比数列；
若，都是离散型随机变量，则，，记小华前天跳绳的天数为，求．
参考答案
1.
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4.
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6.
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9.
10.
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13.
14.
15.，，
，，
，
，
故经验回归方程为；
零假设为：增收情况与设备相互独立，即增收情况与使用不同设备无关联，
则，
根据小概率值的独立性检验，不成立，
所以认为增收情况与使用，两种不同设备有关．
16.由正项递增等比数列，设公比为，
由，，可得，，
解得故．
是正项递增数列的前项和，且，
可得，当时，，解得负值已舍去，
当时，由，可得，
相减可得，
即，，，
则是首项为、公差为的等差数列，
即有．
令，
，
，
得，，即，
，可得，
由，当且仅当时，等号成立，故，
所以的取值范围为．
17.设顾客从第一个盒子中随机取出两球，取到的球一个是红球，一个是蓝球为事件，
则．
设随机取一个球是来自第个盒子为事件，则，
随机取一个球为红球为事件．
则
因此．
的可能取值为，，．
由知，
同理，，
，
则的分布列为：
．
因此的均值为．
18.根据题意得，函数，因此函数的定义域为，
所以导函数，令导函数，即，解得，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
当时，函数取得极小值．
根据题意得，的定义域为，
所以导函数，
因为，那么只需判断的符号．
当时，，则在和上单调递减；
当时，同理可求在和上单调递减，在上单调递增；
当时，令，解得，
当或时，，在和上单调递减；
当时，，在上单调递增．
综上所述，
当时，在及上单调递减；
当时，在和上单调递减，在上单调递增；
当时，在和上单调递减，在上单调递增．
由题意需证，设，则的定义域为．
因为，所以，所以在上单调递增，
因为，，所以在上有零点，且，
易知当时，因此，当时，，
所以当时，取得最小值．
由得，因此，
故，
所以，所以．
19.，第天跳绳有两种情况：
第天跳，第天跳，其概率为；
第天跳，第天及第天都跳，其概率为．
．
证明：小华第天跳绳后，再在第天跳绳的概率为，
小华第天跳绳后，再在第天跳绳的概率为，
所以，
即，所以．
所以，，
所以是以为首项，为公比的等比数列．
因为，所以，所以，
所以，，，，
所以，
所以，
所以．
记他前天中，第天跳绳的天数为．
由题意得，服从两点分布，且，
因为，
所以
，
所以，
．
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