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2024-2025学年广东省云浮市高二（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合，，则( )
A. B.
C. D.
2.曲线在处的切线斜率为，则( )
A. B. C. D.
3.在的展开式中，含的项的系数为( )
A. B. C. D.
4.已知，，，则( )
A. B. C. D.
5.已知，函数在上是单调函数，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.已知一组样本点组成一个样本，得到的经验回归方程为，且其平均数，若增加两个样本点和，得到新样本的经验回归方程为．，则( )
A. B. C. D.
7.假设某厂包装食盐的生产线，生产出来的食盐质量服从正态分布单位：，该生产线上的检测员某天随机抽取了四包食盐，则恰有两包食盐的质量不低于的概率为( )
A. B. C. D.
8.已知函数的定义域为，满足，且，则下列结论一定正确的是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.小张同学收集了某商品销售收入单位：万元与相应的广告支出单位：万元共组数据，绘制出散点图，如下图所示，并利用线性回归模型进行拟合她将图中个点中的点去掉后再重新进行线性回归分析，则下列说法正确的是．
A. 决定系数变大
B. 残差平方和变大
C. 相关系数的值变大
D. 去掉点后，若所有散点都在一条直线上，则决定系数
10.已知函数，则( )
A. 的图象关于点对称
B. 的极大值点为
C. 在区间上的值域为
D. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的值为
11.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 存在实数，使得的图象关于轴对称
B. 存在实数，使得有零点
C. 当时，在上的最小值小于
D. 当时，，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数，则 ______．
13.已知函数是定义在上的奇函数，当，且时，都有成立，则不等式的解集为______．
14.在数字通信中，信号是由数字“”和“”排成一行组成的序列．
某信号是由个和个组成，则个不相邻的信号有______种；
某信号是一个位的序列，则含有连续子序列的序列有______个例如，符合题意
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某工厂生产了两批次某种产品，现从这两批次产品中共抽取件进行检测，其中第一批次的产品占了检测数据如下，第一批次的次品件数与第二批次的次品件数相同，在合格品中，第二批次的合格品占了．
根据题中信息，完成下面列联表；
单位：件
生产批次 产品检测结果 合计
次品 合格品
第一批次
第二批次
合计
根据小概率值的独立性检验，能否认为产品检测结果与生产批次有关联？
附：．
16.本小题分
已知函数．
当时，求的极大值；
讨论的单调性；
若，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知甲袋子装有编号分别为，，的三个红球和编号分别为，，的三个白球小球除编号、颜色外完全相同．
从甲袋中一次性摸出两个小球，记事件为“摸到的两个小球颜色相同”，事件为“摸到的两个小球的编号之和大于”，判断，是否相互独立，并说明理由．
现从甲袋中不放回地摸球，直到摸出所有白球，则停止摸球．
若每次摸出一个小球，求恰好摸四次就停止摸球的概率；
若每次摸出两个小球，求恰好摸两次就停止摸球的概率．
18.本小题分
小明参加答题闯关游戏，需要从，两个题库中各任选一个题目，并选择这两题的答题顺序答对第一题和第二题获得的奖励分别为元和元已知小明答对，两个题库中题目的概率依次为，每次回答问题是否正确相互独立．
规定无论是否答对第一题，都可以答下一题已知小明第一题选择题库的题目作答的概率为．
求小明恰好获得元奖金的概率；
求小明在答对第一题的条件下，第二题也答对的概率．
若规定只有答对第一题才有资格答下一题，为使得小明最后获得奖金的数学期望最大，第一题应该回答哪个题库中的题目？
19.本小题分
我们把有两个自变量的函数称为“二元函数”，对于二元函数，若存在正数，满足，，则称具有性质已知二元函数．
若恒成立，求的取值范围．
已知正数，满足．
证明：．
证明：具有性质．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.由题意可知，从第一批次的产品中抽取了件，
从第二批次的产品中抽取了件，
设第二批次的合格品有件，则第一批次的合格品有件，
故，
解得，
即第二批次的合格品有件，第一批次的合格品有件，
补全列联表如下：
生产批次 产品检测结果 合计
次品 合格品
第一批次
第二批次
合计
零假设：产品检测结果与生产批次没有关联，
由，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即产品检测结果与生产批次有关联，此推断犯错误的概率不大于．
16.当时，函数，
函数的定义域为，导函数．
令，得．
当时，，当时，，
因此在上单调递减，在上单调递增，
因此当时，有极大值为．
函数的定义域为，．
当时，令，得或舍去．
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减；
当时，，在上单调递增．
综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增．
根据第二问知，当时在上单调递增，当时，，
因此不成立．
当时，．
由，得，
即．
令，则，故．
由，
因为，所以，
得函数在上单调递增，故．
综上，实数的取值范围是．
17.甲袋子装有编号分别为，，的三个红球和编号分别为，，的三个白球，
小球除编号、颜色外完全相同，
从甲袋中一次性摸出两个小球，不同的组合有种；
摸到的两个小球颜色相同有两种情况：
两个红球或两个白球．其中从三个红球中摸出两个红球，不同的组合有种；
从三个白球中摸出两个白球，不同的组合有种，
事件为“摸到的两个小球颜色相同”，
事件为“摸到的两个小球的编号之和大于”，
事件包含的组合有种．
摸到的两个小球的编号之和大于有两种情况：
编号，组合或编号，组合，其中编号，组合的不同组合有种，
编号，组合的不同组合有种，
事件包含的组合有种．
摸到的两个小球颜色相同且编号之和大于有两种不同的组合方式：
编号，红球组合和编号，白色组合．
，，
．
，
，相互独立．
若每次摸出一个小球，摸四次包含的不同摸法有种，
恰好摸四次就停止摸球指的是前三次中有一次摸到红球，
两次摸到白球，第四次摸到白球，包含的不同摸法有种，
每次摸出一个小球，恰好摸四次就停止摸球的概率为．
(ⅱ)若每次摸出两个小球，摸两次的不同摸法有种；
恰好摸两次就停止摸球包含两种情况：第一次摸到一红球一白球，
第二次摸到两个白球或第一次摸到两个白球，
第二次摸到一红球一白球，不同的摸法有种；
每次摸出两个小球，恰好摸两次就停止摸球的概率为．
18.因为答对第一题和第二题获得的奖励分别为元和元，
小明答对，两个题库中题目的概率依次为，每次回答问题是否正确相互独立，
若规定无论是否答对第一题，都可以答下一题，小明第一题选择题库的题目作答的概率为，
设小明第一题选择题库概率为，
则第一题选择题库概率为，
当第一题选A库且答对，第二题选B库且答错，
其概率为，
当第一题选B库且答对，第二题选A库且答错，
其概率为，
则小明恰好获得元奖金的概率；
若表示第题为库，表示第题为库，表示第题答对，且，，
所以，
，
综上所述，小明在答对第一题的条件下，第二题也答对的概率；
设第一题答错元，第一题答对且第二题答错元，第一、二题都答对元，结合中所设事件，
若第一题为，第二题为，
此时，，，
泽恩期望；
若第一题为，第二题为，
此时，，，
则，
因为，
所以小明最后获得奖金的数学期望最大．
则第一题选A题库中的题目．
19.，
令，
则，
令，得，
令，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以，
即的取值范围为；
证明正数，满足，
则，
故，即，
不妨设，则由知，．
构造函数，
则，
所以函数在上单调递增，
所以当时，，
即当时，，
所以，
又在上单调递增，
所，
即；
证明：正数，满足，
则，
要证，
只需证，
即证，
不妨设，则，
两边取指数得，，
化简得，
设，
则，
而，
当时，，
当时，，
所以在，上单调递减，在上单调递增，如图所示：
要使且，
则，，
即，从而，；
要证，只需证．
由于在上单调递增，
因此只需证，
又，
所以只需证，
所，
则．
设，
则，
设，
则，
所以在上单调递增，
所以，
从而，
所以在上单调递减，
从而，
则，
所以，
故具有性质．
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