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2024-2025学年湖南师大附中高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数，则( )
A. B. C. D.
2.已知一组数据，，，，的平均数为，则这组数据的第百分位数为( )
A. B. C. D.
3.若为直线，，为两个平面，则下列结论中正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
4.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为，乙中靶的概率为，且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则( )
A. 两人都中靶的概率为 B. 两人都不中靶的概率为
C. 恰有一人中靶的概率为 D. 至少一人中靶的概率为
5.向量，均为非零向量，，，则，的夹角( )
A. B. C. D.
6.若的内角，，所对的边分别为，，，已知，且，则等于( )
A. B. C. D.
7.由斜二测画法得到的一个水平放置的三角形的直观图是等腰三角形，底角为，腰长为，如图，那么它在原平面图形中，顶点到轴的距离是( )
A.
B.
C.
D.
8.在高为的正四棱台中，，，则此四棱台的外接球的表面积是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知样本和分别取自两个不同的总体，它们的个样本如图所示，甲绘制折线图时忘记标注样本数据，则( )
A. 样本的极差小于样本的极差 B. 样本的中位数等于样本的中位数
C. 样本的平均数小于样本的平均数 D. 样本的方差小于样本的方差
10.有个相同的球，分别标有数字，，，，，，从中不放回地随机取两次，事件表示“第一次取出的球的数字是偶数”，事件表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，则( )
A. 与为互斥事件 B. C. D. 与相互独立
11.下列命题正确的是( )
A. 在中，，则的形状一定是直角三角形
B. 若，，，四点在同一条直线上，且，则
C. 平行四边形中，若，则四边形是矩形
D. 在中，若，则点的轨迹经过的内心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.直线的方向向量为，平面的法向量为，若直线平面，则的值为______．
13.底面边长为的正三棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为，高为的正三棱锥，所得棱台的体积为______．
14.如图，在三棱锥中，平面，，，，以为直径的圆弧在平面内，点是三角形内圆弧上不含边界的动点，则三棱锥的体积最大值是___，异面直线与所成角的余弦值范围是___．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
的内角、、的对边分别为、、，已知．
求；
若，，求的面积．
16.本小题分
某校组织全体学生参加“数学以我为傲”知识竞赛，现从中随机抽取了名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下组：，，，，，统计结果如图所示：
试估计这名学生得分的众数、中位数；中位数保留小数点后位
试估计这名学生得分的平均数同一组中的数据用该组区间中点值代表；
现在按分层抽样的方法在和两组中抽取人，再从这人中随机抽取人参加这次竞赛的交流会，求至少有一人在的概率．
17.本小题分
已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是．
求盒中红球、黄球、蓝球的个数；
随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色．
写出该试验的样本空间；
设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明理由．
18.本小题分
正方体的棱长为，，分别为，的中点，．
求证：平面；
求三棱锥的体积；
求平面与平面夹角的余弦值．
19.本小题分
已知函数的图象关于直线对称其最小正周期与函数相同．
求的对称中心，
若函数在，，上恰有个零点，求的最小值；
设函数，证明：有且只有一个零点，且．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由正弦定理，得，分
即，
，分
又因为，
，又，
，，分
；分
，，分
由余弦定理，得，即，
，，分
分
16.解：由频率分布直方图可知，第组频率最大，估计众数为：；
在内频率之和为，
设中位数为，由图可知中位数在，
由，得中位数．
由频率分布直方图的数据，可得这名学生得分的平均数：
．
在和两组中的人数分别为：
人和人，
所以在分组中抽取的人数为人，记为，，，
在分组中抽取的人数为人，记为，，
所以这人中随机抽取人的情况有：
，
共种取法，至少有一人得分在的情况有种，
所以所求概率为．
17.解：从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件，，，
因为，，为两两互斥事件，
由已知得，
解得，
盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是，，；
由知红球、黄球、蓝球个数分别为，，，用，表示红球，用表示黄球，用表示蓝球，表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，表示试验的样本点，
则样本空间，，，，，，，，，，，，，，，；
由得，记“取到两个球颜色相同”为事件，“取到两个球颜色不相同”为事件，
则，
所以，
所以，
因为，所以此游戏不公平．
18.证明：在正方形中，
由条件易知，
所以，
则，
故，
即，
在正方体中，易知平面，且，
所以平面，
又平面，所以，
因为，、平面，
所以平面；
由知平面，平面，
所以，
易知，
又，
则到平面的距离为，
由棱锥的体积公式知：．
如图以为中心建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，
由知是平面的一个法向量，
设平面的一个法向量为，
所以，
令，则，，即，
设平面与平面的夹角为，
则；
19.因为函数的周期为，
所以由题，解得，
所以，
又由图象关于直线对称，
所以，
即，所以，
所以，
令，解得，
所以的对称中心为；
当时，
令，
解得，
所以由的特征可知，
若函数在，，上恰有个零点，
的最小值应为：首尾，均应是零点，
则的最小值为；
证明：由可得，定义域为，
当时，，
此时单调递增，单调递增，
所以函数在上单调递增，
因为，，
所以，
根据零点存在定理，使得，
故在上有且只有一个零点．
当时，
因为单调递增，单调递减，
，
，
所以，
所以在上不存在零点；
当时，因为单调递增，，
因为，
所以，
所以在上不存在零点；
综上：有且只有一个零点，且．
因为，
所以，
所以，
因为在上单调递减，
所以，
所以．
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