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2024-2025学年广东省华附、省实、广雅、深中四校联考高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知抛物线：，则抛物线的焦点到准线的距离是( )
A. B. C. D.
2.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知向量，，向量在向量方向上的投影向量的模为( )
A. B. C. D.
4.已知数列的前项和，，则的值为( )
A. B. C. D.
5.函数的极小值点是( )
A. B. C. D.
6.若随机事件，满足，，，则( )
A. B. C. D.
7.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，且，则双曲线的离心率的最大值为( )
A. B. C. D.
8.若曲线与圆有公共点，且在点处的切线相同，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，为虚数单位，其共轭复数为，则下列说法正确的是( )
A. B. 的虚部为
C. 对应的点位于复平面的第三象限 D.
10.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 关于中心对称 B. 关于直线对称
C. 的最小正周期为 D. 的最大值为
11.统计是研究数据的学问，一组数据的特征数能反映数据的取值规律，如平均数、众数、中位数能刻画数据的集中程度，极差、标准差、方差能刻画数据的离散程度已知个数，，，的平均数为，根据下列选项的结果，能判断这组数据的中位数不超过的是( )
A. 标准差为 B. 众数为 C. 极差为 D. 方差为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.现将一个、两个、三个排成一排，不同的排列方法有______种
13.随机变量服从正态分布，若函数为偶函数，则 ______．
14.已知正四面体的顶点均在一个底面半径为的圆柱侧面上圆柱的高足够大，且点，到圆柱下底面的距离相等，则该四面体的边长的取值集合是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的周长为，且．
求边的长；
若的面积为，求角的度数．
16.本小题分
如图，矩形和菱形所在的平面相互垂直，，为的中点．
求证：平面；
求，，求直线与面所成角的正弦值．
17.本小题分
已知函数的定义域为，导函数为，满足，．
讨论函数在上的单调性，并证明：；
求函数的图象与函数的图象的交点个数．
18.本小题分
已知，两点的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，记点的轨迹为曲线两个不同点，在上运动，满足直线与直线的斜率之比是．
求曲线的方程；
直线是否过定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，请说明理由．
证明：三角形是钝角三角形．
19.本小题分
在概率中，等效转换是一种很重要的思想方法例如，甲乙两人比赛下棋，假设每局比赛甲赢的概率为，输的概率为，且每局比赛结果相互独立，那么甲乙进行“局胜”制游戏累计先胜局者获得最终胜利，甲获得最终胜利这一事件，可等效为：甲乙进行局比赛且甲至少赢局设局比赛中甲赢的局数为，那么服从二项分布，从而可以利用二项分布的分布列求出甲最终获胜的概率．
若，求“局胜”制游戏中甲获得最终胜利的概率；
记“局胜”制游戏中甲获得最终胜利的概率为，“局胜”制游戏中，甲第一局输的条件下，甲获得最终胜利的概率为，证明：；
教室里有一盒白粉笔和一盒黄粉笔，其中白粉笔有支，黄粉笔有支且，老师上课时每次都等可能地随机选择一盒粉笔，并拿出一支使用，不放回，记白色粉笔先被用完的概率为，证明：．
参考答案
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13.
14.
15.解：的周长为，
，
，
由正弦定理得，
；
的面积，
，
，
，
由余弦定理得，
，
．
16.Ⅰ证明：矩形和菱形所在的平面相互垂直，，
矩形菱形，平面，
平面，，
菱形中，，为的中点，，，
，平面．
Ⅱ解：由Ⅰ可知，，两两垂直，以为原点，为轴，为轴，为轴，
建立空间直角坐标系，，，则，，
故A，，，，
则，，，
设平面的法向量，则，
得，
设直线与面所成角为，则．
17.证明：令函数，
那么导函数，
当时，导函数，
因此函数在上单调递增；
当时，根据导函数，得，
当时，，在上单调递增；
当时，，所以对任意恒成立，
此时在恒成立，在上单调递增；
当时，对任意恒成立，
此时在恒成立，在上单调递减；
当时，令得，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减；
因此，取，得，即；
取，得，即；
故．
题意等价于方程的不同解的个数，
令，又等价于函数的不同零点个数，
则．
令，
则．
因此在上单调递增，由于为增函数，，
故，，
因此存在，使得当时，；
当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
而，，
故在，分别存在唯一零点
因此函数的图象与函数的图象的交点个数为．
18.设，且，
因为直线，相交于点，且它们的斜率之积是，
所以，
整理得，
则曲线的方程为或；
因为，
又，
所以，
设，，，
若直线的斜率不存在，
此时，，
所以
解得，
此时直线的方程为，
则直线过点，
若直线的斜率存在，
设直线的方程为，
联立，消去并整理得，
此时且，
由韦达定理得，，
所以，
则，
整理得，
此时恒成立，
所以直线的方程为，
此时直线过点，
综上所述，直线过定点；
证明：由知，，
当时，，，均在的右支，
此时，
所以为钝角；
当时，，，在的两支，
设在的右支
记，
此时，
所以为锐角，
则为钝角．
综上所述，三角形为钝角三角形．
19.设事件为“局胜”制游戏中甲获得最终胜利
事件等效于甲乙进行局比赛且甲至少赢局．
记局比赛中甲赢的局数为，由题意得
．
证明：设甲乙进行局比赛，甲赢的局数为，则
且．
“局胜”制游戏中，甲第一局输的条件下，甲要获得最终胜利
若第局甲输，则后续打满局比赛，甲至少胜局
若第局甲胜，则后续打满局比赛，甲至少胜局
由全概率公式得
故．
证明：不妨设有无数支粉笔，
“用了支白粉笔时，至多用了支黄粉笔”，
“总共用了支粉笔时，至少用了支白粉笔”，
设总共用了支粉笔时，白粉笔用了支，则，
，
事件“”等效于甲乙进行“局胜”制游戏，甲乙每局获胜概率都为，最终甲获胜，
由对称性可知，
，
，
，
注意到，
，
得证．
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