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2024-2025学年江西省吉安市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.与的等比中项为( )
A. B. 或 C. D. 或
2.已知火箭发射秒后，其高度单位：米为，则火箭发射后第秒时，火箭升高的瞬时速度为( )
A. B. C. D.
3.在等差数列中，为其前项和，若，则( )
A. B. C. D.
4.函数的单调递减区间为( )
A. B. C. D.
5.已知随机变量的分布列为，则( )
A. B. C. D.
6.已知数列满足，，且，则( )
A. B. C. D.
7.连续掷一枚均匀的骰子两次，记事件“第一次掷出的点数为奇数”，事件“第二次掷出的点数为偶数”，事件“两次掷出的点数之和为偶数”，事件“两次掷出的点数之积为偶数”，则( )
A. 事件与事件相互独立 B. 事件与事件相互独立
C. 事件与事件相互独立 D. 事件与事件相互独立
8.已知函数，，若时，恒成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是( )
A. 标准差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，标准差越大，数据的离散程度越大
B. 用相关系数判断线性相关强度，越大，变量的线性相关程度越大
C. 用卡方检验法判断“是否有把握认为吸烟与患肺癌有关”时，的值越大则表示吸烟与患肺癌之间的关联性越小
D. 已知随机变量、满足，且，则
10.已知函数，则( )
A. 的极小值为
B. 有三个零点
C. 图象的对称中心为
D. 过点只能作曲线的一条切线
11.已知数列满足，，其前项和为，则( )
A.
B. 数列为等差数列
C. 存在，使得为整数
D. 对任意，均有
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列的前项和，则______．
13.已知过原点的直线与函数的图像相切，则直线的方程为______．
14.甲乙两人分别独立抛掷一枚均匀的骰子，甲掷次，乙掷次，设甲投掷出现偶数点的次数为，乙投掷出现奇数点的次数为，则______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
昌赣深高铁是京九高铁的重要组成部分，全线于年月日开通运营，昌赣深高铁的开通使吉安至深圳的最快旅行时间压缩至小时分，极大便利了吉安人民群众的出行某日从吉安西至深圳北的部分字头高铁车次情况如图假设高铁车次均能准点出发及到达：
从上表中随机选取两趟不同的高铁车次，求至少有一趟高铁车次的运行时间大于小时的概率；
甲、乙两人分别从上表中随机选取一趟高铁车次从吉安西出发到深圳北，其中甲必须上午出发，乙必须下午出发，且两人的选择互不影响记随机变量为甲、乙选取的列车中运行时长不超过小时的个数，求的分布列和数学期望．
16.本小题分
已知正项等比数列的首项，其前项和为，且．
求的通项公式；
求数列的前项和．
17.本小题分
已知函数．
求的单调区间和极值；
证明：．
18.本小题分
某高科技公司在产品研发的过程中，为了研究芯片性能指标与原材料中某种关键成分的含量单位：之间的关系，研发团队进行了一系列实验，现随机抽取了部分实验数据如表：
请根据上述数据，求出与的线性回归方程；参考公式：，
经研究发现，该芯片在正常工作时，其性能指标服从正态分布，其中，当芯片的性能指标在之间时，芯片的工作状态最佳若由中回归方程预测，当关键成分含量为时，芯片性能指标为．
假设在一次产品检验中，从该批次芯片中随机抽取个，估计性能指标不在范围内的芯片个数结果保留整数；附：若，则，
某机器的控制系统使用了个芯片，其中每个芯片处在最佳工作状态的概率为，各个芯片工作相互独立，如果系统中有超过一半的芯片处在最佳工作状态，则控制系统的工作效率最高，其概率记为若在控制系统中增加一个芯片，控制系统工作效率最高的概率记为，试判断与的大小关系并证明．
19.本小题分
任取数列中相邻的两项，若这两项之差的绝对值为，则称数列具有性质已知具有性质的数列共有项，且所有的项之和为．
若，且，，求的所有可能值；
若，，且恒成立，求；
若，，，证明：
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.，
13.
14.
15.设“至少有一趟高铁车次的运行时间大于小时”为事件，
则其对立事件为“两趟车运行时间都不超过小时”，
由车次表中数据可知共有趟车运行时间不超过两小时，
故，故
设“甲选取的列车运行时间不超过个小时”为事件，“乙选取的列车运行时间不超过小时”为事件，
则，，，，
由题意知的所有可能取值为，，，
．，
，
，
故的分布列为：
．
16.根据正项等比数列的首项，其前项和为，且，
设数列的公比为，
当时，，则；
当时，，
由，解得，故；
由，则，
则，
故
，
故．
17.导函数，
令，解得，令，解得，
因此函数的单调减区间为，单调增区间为，
由此可得函数在处无极小值，取得极大值．
证明：要证明，那么只需证明，即证明，
令函数，那么导函数，
令导函数，得，且当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
因此函数在处取最大值，即，
所以，故．
18.，，
所以，
，
故，
所以关于的线性回归方程为；
当时，，即，，，
已知，则或，
所以从该批次芯片中随机抽取个，性能指标不在范围内的芯片个数约为
个；
记为原系统中工作最佳的芯片个数，为增加一个芯片后系统中工作最佳的芯片个数，
由条件可知，，
当时，则原系统中，新系统中，
由题意可知，
所以
，
即；
当时，则原系统中，新系统中，
由题意可知，
所以，
即；
综上，当为奇数时，；当为偶数时，．
19.若，且满足，具有性质的数列为：
，此时；
，此时；
，此时
故的所有可能值为，，．
对任意的，均有，因为恒成立，
故，即数列是以为首项，为公差的等差数列，
因此，即．
证明：令，依题意可知，
因为，，，，
因此
因为，因此为偶数，
因此也为偶数，
因为，故也必为偶数，即整除，
因此
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