资源简介

2024-2025学年北京市大兴区高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在的展开式中，的系数为( )
A. B. C. D.
2.设函数，，则实数( )
A. B. C. D.
3.已知随机变量服从二项分布，，则的数学期望是( )
A. B. C. D.
4.已知函数在定义域上不是单调函数，则实数不可能是( )
A. B. C. D.
5.设等比数列的公比，其前项和为，则下列等式中一定成立的是( )
A. B.
C. D.
6.给定一组正整数：，，，，，则“这个数依次成等差数列”是“这个数的平均数和中位数均为”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.设，随机变量的分布列如表所示，
则当概率在区间内增大时，方差的变化是( )
A. 增大 B. 先增大后减小 C. 减小 D. 先减小后增大
8.已知盒中有个灯泡，其中个正品，个次品从中取出个正品，每次取出个，取出后不放回，直到取出个正品为止，设为取出的次数，则( )
A. B. C. D.
9.已知直线是曲线与曲线的公共切线，则实数( )
A. B. C. D.
10.已知各项均为整数的数列满足：对任意的，，若，，，则正整数的最大值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知，则 ______．
12.设等差数列的前项和为，，，当 ______时，最小．
13.已知事件与事件相互独立，事件的概率，事件的概率，则______；______．
14.设无穷等比数列的公比是，能说明命题“若存在正整数，当时，，则为递增数列”是假命题的一组，的值为 ______， ______．
15.关于函数，给出下列四个结论：
的值域是；
在区间上单调递增；
是的一个极值点；
曲线与轴有且仅有个交点．
其中所有正确结论的序号为______．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知无穷等比数列的各项都是正数，，．
Ⅰ求数列的通项公式；
Ⅱ设无穷数列的前项和为，，再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使数列唯一确定，求数列的前项和．
条件：；
条件：；
条件：，．
17.本小题分
已知袋中装有个红球和个黄球，这个球除颜色外完全相同，现从该袋中不放回地随机摸出个球．
Ⅰ在第次摸出红球的条件下，第次摸出红球的概率；
Ⅱ设表示摸出红球的个数，求的分布列及数学期望；
Ⅲ若摸出个红球得分，摸出个黄球得分，直接写出摸出球得分的数学期望．
18.本小题分
已知函数．
Ⅰ求曲线的斜率为的切线方程；
Ⅱ当时，求证：；
Ⅲ设是曲线上的动点，在何处时，曲线在处的切线斜率最小？结论不要求证明
19.本小题分
为了解某地中学生使用、两款大语言模型辅助日常学习的情况，对该地的名初中生和名高中生进行简单随机抽样，获得数据如表：
初中生 高中生
使用 不使用 使用 不使用
款 人 人 人 人
款 人 人 人 人
假设所有学生对、两款模型是否使用互相独立用频率估计概率．
Ⅰ从该地全体中学生中随机抽取人，估计此人使用款模型的概率；
Ⅱ从该地全体初中生中随机抽取人，全体高中生中随机抽取人，记这人中使用款模型的人数为，估计的分布列；
Ⅲ假设该地某校初中生和高中生人数比为：，从该校全体中学生中随机抽取人，记其使用款模型的概率估计值为，比较与Ⅰ中的大小结论不要求证明
20.本小题分
已知函数．
Ⅰ求的单调区间；
Ⅱ设函数，函数在处取得极小值．
求实数的取值范围；
是否存在，使得成立？说明理由．
21.本小题分
若有穷数列：，，，满足如下三个性质，则称为数列：
项数；
，；
令集合，对，或．
Ⅰ判断数列，，，是否是数列，并说明理由；
Ⅱ若：，，，为数列，求证：对，满足；
Ⅲ已知：，，，为数列，求证：当时，是等差数列．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.Ⅰ无穷等比数列的各项都是正数，设公比为，，
由，，可得，解得，
则；
Ⅱ选条件：，
可得数列是首项和公差均为的等差数列，
则，
；
选条件：，
可得时，，
可得数列是首项和公差均为的等差数列，
则，
；
选条件：，，
可得数列是首项为的等差数列，但公差不确定，故数列不唯一确定．
17.Ⅰ在第次摸出红球的条件下，第次摸出红球的概率为；
Ⅱ随机变量的所有可能取值为，，，
，，，
所以得分布列为：
；
Ⅲ设摸出球得分为，所以，．
18.Ⅰ由，得．
令，即，
解得或，
又，，
所以曲线的斜率为的切线方程为或，
所以曲线的斜率为的切线方程为或．
Ⅱ证明：令，，
由，得，
令，得或，
所以在上，，单调递减，
在上，，单调递增，
又，，，
所以的最小值为，最大值为，
所以，即．
Ⅲ设曲线上点，
又．
所以曲线在点处的切线斜率为，
所以当时，斜率有最小值，
此时，
所以当的坐标为时，曲线在处的切线斜率最小．
19.Ⅰ从表格数据可知，抽查的名中学生中有人使用款模型，
因此该地全体中学生使用款模型的概率估计为．
Ⅱ设事件为“该地全体初中生中随机抽取人，此人使用款模型”，
事件为“该地全体高中生中随机抽取人，此人使用款模型”．
根据题中数据，估计为，估计为．
根据题意，随机变量的所有可能取值为，，，
可估计为，
可估计为；
可估计为；
可估计为．
所以的分布列为
Ⅲ设选中初中生为事件，该生使用款模型为事件，
选中高中生为事件，该生使用款模型为事件，
由题，
由Ⅰ知，所以．
20.Ⅰ由，得，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增．
所以的单调递减区间是，单调递增区间是．
Ⅱ由函数，得，
则，
若，则，所以在上单调递增，不是的极小值点．
若，则当时，，
所以，所以不是的极小值点．
若，由Ⅰ知，在上单调递减，在上单调递增，
所以，且当时，．
若，即，则，即当且仅当时，等号成立．
所以当时，，
当时，，所以在处取得极小值．
若，即，令，
因为，，且在上单调递增，
所以，，故当时，所以当时，，
当时，，所以在处取得极小值．
综上可知，的取值范围是．
不存在，理由如下：假设存在，使得成立，则有，
令，则，
由Ⅱ中知，函数在上单调递增，
所以由，得，即，这与矛盾，所以假设不成立．
所以不存在，使得成立．
21.由题意知，集合因为数列，，，共有项，，
且，，，，，，，，，都是集合的元素，
所以数列，，，是数列；
Ⅱ证明：由题意知，集合，
已知：，，，为一数列，
因为，所以，所以，，
故，因此，
所以满足；
当时，因为，所以，，
所以对于，满足，即，
所以对，满足；
Ⅲ证明：因为：，，，为一数列，所以，
且，所以，，，，，，
即，，
当时，，所以，，
由，且，
所以，，，，，所以，，
因为时，，，
所以，且有，
将两式相减得，，
因此，当时，：，，，是等差数列．
第1页，共1页

展开更多......

收起↑