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2024-2025学年福建省福州一中高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.要判断成对数据的线性相关程度的强弱，可以通过比较它们的样本相关系数的大小，以下是四组数据的相关系数的值，则线性相关最强的是( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
4.若随机变量满足，则( )
A. B. C. D.
5.某户外探险俱乐部组织名成员名男性，名女性前往某无人岛进行野外生存挑战，为了便于管理和保障安全，需将这人平均分成两组不区分两组的顺序，且名女性不能在同一组，则不同的分组方法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
7.李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时，样本方差为；骑自行车平均用时，样本方差为假设坐公交车用时单位：和骑自行车用时单位：都服从正态分布，正态分布中的参数用样本均值估计，参数用样本标准差估计，则( )
A.
B. 若某天只有可用，李明应选择自行车
C.
D. 若某天只有可用，李明应选择公交车
8.小明参加了一档综艺节目，节目中有这样一个游戏：如图，参与者一开始站在“点”的格子中，每次向右移动格或移动格，其中每次向右移动格的概率为，向右移动格的概率为，要求参与者一共移动次，每次移动之间互不影响，奖品放在“点”的格子中，次移动结束后参与者正好停在“点”格子中才能获得奖品，小明为了尽可能的拿到奖品，则的值为( )
小明 奖品
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知正实数，满足，则( )
A. B.
C. D.
10.已知，是两个随机事件，，下列命题正确的是( )
A. 若，相互独立，则
B. 若事件，则
C. 若，是对立事件，则
D. 若，是互斥事件，则
11.甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，并且每次传球时传球者都等可能传给另外三人中的任何一人，则( )
A. 第一次球传出后恰好传给丙的概率为
B. 第二次球传出后恰好传给丙的概率为
C. 第二次球传出后恰好传给丙，且此球是由乙传出的概率
D. 球第次传出后恰好传给丙的概率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中的系数为______用数字作答．
13.已知由样本数据得到经验回归方程为，且，增加两个样本点和后，得到的经验回归方程为，则 ______．
14.个名额随机分给个班级，允许有的班级没分到名额，设表示分到名额的班级个数，若的概率最大，则______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从甲、乙两家建筑公司选取一家，招标方案如下：两家公司从个招标问题中随机抽取个问题，已知这个招标问题中，甲公司能正确回答其中道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响．
求甲公司答对题数的分布列、期望及方差；
请从期望和方差的角度分析无需再列分布列，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？
16.本小题分
某工厂进行生产线智能化升级改造，对甲、乙两个车间升级改造后．
从该工厂甲、乙两个车间的产品中各随机抽取件进行检验，其中甲车间优等品占，乙车间优等品占，请填写下面的列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析车间是否与优等品有关联？结果精确到
优等品 非优等品 总计
甲车间
乙车间
总计
附，其中，
调查了工厂近个月的产量单位：万个和月销售额单位：万元，得到以下数据：并根据散点图认为关于的经验回归方程为，其中．
求证：．
求关于的经验回归方程．
17.本小题分
福州一中举行数学文化知识竞赛，比赛规定：主持人每公布一题，甲、乙两人就立刻抢答，先抢答者，若答对，可得分；若答错，则对手得分；谁先得分，谁就胜出，比赛结束假设两人每一次抢到题的概率均为，甲、乙两人答对每道题的概率分别为，，且两人答题正确与否互不影响．
在某次抢答中，求甲得分的概率；
在某次抢答中，在乙得分的条件下，求乙答对这个题的概率；
比赛进行中，若甲、乙暂时各得分，两人继续抢答了题后比赛结束，求的分布列及数学期望．
18.本小题分
已知函数．
若，求证：在上单调递增；
若在上恒成立，求的取值范围；
求证：在上有且只有个解．
19.本小题分
编号为的小球随机放入编号为的盒子中，记表示个盒子中空盒子的个数．
当时，求编号为的盒子中有球的概率；
求并证明关于单调递增；
求证：．
注：若随机变量、、、、满足，则．
参考答案
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15.由题意，设甲公司答对题数为随机变量，则的可能取值为，，，
则，
，
，
所以随机变量的分布列为：
由中随机变量的分布列，可得，
．
设乙公司能正确回答的题目数为随机变量，则的可能取值为，，，，
则，
，
，
，
所以随机变量的分布列为：
所以，
，
由，且，所以甲公司竞标成功的可能性更大．
16.根据题意，补全列联表如下：
优等品 非优等品 总计
甲车间
乙车间
总计
零假设：车间与优等品无关联，
则，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为车间与优等品有关联，此推断犯错误的概率不超过；
证明：
；
因为，
所以，，
所以，
所以，
所以关于的经验回归方程为．
17.由题意，某次抢答中甲得分的情况有甲抢到题且答对，或乙抢到题且答错，
所以某次抢答中甲得分的概率为：；
由题意，某次抢答中乙得分的情况有甲抢到题且答错，或乙抢到题且答对，
所以某次抢答中乙得分的概率为：，
其中乙抢到题且答对的概率为，
所以某次抢答中，在乙得分的条件下乙答对这个题的概率为；
由题设，的可能值为，，且每次甲、乙得分的概率分别为，
所以，，
所以的分布列如下：
所以．
18.证明：，
则，，
令，得，
所以在上，，单调递减，
在上，，单调递增，
所以，
所以在上单调递增．
解：若在上恒成立，
则在上恒成立，
所以在上恒成立，
令，，
，
令，，则，
令，得，
所以在上，，单调递增，
所以，
令，得，
所以在上，，单调递减，
在上，，单调递增，
所以，
所以，
所以的取值范围为．
证明：设，则等价于，
即联立和，
首先分析的解，即，等价于，
令，则，，
由零点存在定理知存在唯一，使得，
即，故，即是一个解；
其次，若存在满足且，
因为，，
令，解得，
所以在上，，单调递减，
在上，，单调递增，
所以，
所以在上单调递增，
则时，，即，矛盾；
同理可证得也矛盾，因此不存在的解．
综上，在上有且仅有个解．
19.设事件表示编号为的盒子中有球，则；
设，
，，
所以，
所以，
所以，
所以，即证，
即证，考虑函数，
，
设，
在上恒成立，
则在上单调递减，则，
所以，所以在上单调递减，
所以，即关于单调递增；
考虑函数，，
在恒成立，所以在上单调递增，
所以，即，，
取得，即，
所以，
所以，
所以．
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