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2024-2025学年广东省揭阳市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.若抛物线的准线为直线，且交圆：于，两点，为坐标原点，则( )
A. B. C. D.
4.已知平面向量，，若，则( )
A. B. C. D.
5.若命题为奇函数，：为偶函数，则是成立的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知函数，是的一个零点，则当时，的值域为( )
A. B. C. D.
7.某次马拉松比赛活动中，甲，乙，丙，丁四位志愿者派往，，三个物资发放点，若每个物资发放点至少派一位志愿者，且每位志愿者只能派往一个物资发放点，则在甲被派去物资发放点的条件下，甲，乙被派去同一个物资发放点的概率为( )
A. B. C. D.
8.已知定义在上的函数，对任意，，总有成立，且当时，设，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知公差不为的等差数列的前项和为，且，，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. 是递减数列 D. 若，则的最大值是
10.已知双曲线：，其左、右焦点分别是，，过点的直线与交于，两点，则( )
A. 的离心率为
B. 当的倾斜角为时，
C. 直线的斜率可以为
D. 上存在点，使
11.用半径为的圆形铁皮剪出圆心角为的扇形以圆形铁皮的半径为半径的扇形，制成一个圆锥形容器，底面圆的半径为，则下列说法正确的是( )
A. 当，且圆锥的侧面积为时，圆锥的体积
B. 当，且圆锥的侧面积为时，过圆锥的顶点所作的截面中，截面面积的最大值为
C. 当，且圆锥的侧面积为时，圆锥能在棱长为的正四面体内任意转动
D. 当时，圆锥的体积最大
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量，若，则______．
13.已知曲线在点处的切线与曲线相切，则的值为______．
14.如图，从开始出发，一次移动是指从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从移动到，就是一条移动路线从移动到数字的不同路线条数记为，从移动到的事件中每条移动路线都是等可能的，经过数字的概率记为，则 ______， ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
求；
若，边上的高为，求的周长．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，平面平面，，，．
求证：平面；
若三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
已知函数，．
求的极小值；
若，．
讨论的单调性；
当时，设的极大值是，求证：．
18.本小题分
已知椭圆：的任意两条相互垂直的切线交点的轨迹是圆，称为椭圆的蒙日圆，其方程为：已知椭圆的两个焦点分别为，，为坐标原点，点在椭圆上．
求的标准方程；
已知直线与交于，两点，且，求面积的取值范围；
过的蒙日圆上一点，作的一条切线，与蒙日圆交于另一点，若直线，的斜率存在，设与的斜率分别为，，证明：为定值．
19.本小题分
若数列满足，则称数列为项数列，由所有项数列组成的集合为．
若是项数列，当且仅当时，，求数列的所有项的和；
已知，，且与是两个不同的数列，定义离散型随机变量，，，，，其中，且．
求取到最大值时的值；
求随机变量的分布列，并证明：当时，．
参考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.因为，
所以，
所以，
因为，所以，
因为，所以；
因为，且，
所以，即，
设边上的高为，则，
所以，即，所以，
由余弦定理得：，
所以，即，
所以的周长为．
16.证明：底面是等腰梯形，，，，
所以，
所以，所以，
因为平面平面，且平面平面，
且，且平面，
所以平面；
因为平面平面，且平面平面，
且，且平面，
所以平面，
底面是等腰梯形，，，
所以，
所以，
所以，
又因为三棱锥的体积为，
所以，
所以，
如图建系，
，，，
设平面的法向量为，
设平面的法向量，，，
所以，
令，则，，
所以，
设平面与平面夹角为，
所以．
17.的定义域为，，
令得，令得，令得，故的极小值为；
，定义域为，
，
若，则，令得，
令得，故在上单调递增，在上单调递减，
若，令得或，
当时，，此时恒成立，
故在上单调递增，
当时，，
令得或，
令得，
故在上单调递减，在，上单调递增；
当时，，令得或，令得，
故在上单调递减，在，上单调递增，
综上，当时，在上单调递增，在上单调递减，
当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在，上单调递增，
当时，在上单调递减，在，上单调递增；
证明：由可得当时，在上单调递减，在，上单调递增；
故时，取得极大值，故，
，
因为，所以，令得，解得，
即，令得，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故．
18.因为椭圆的两个焦点分别为，，点在椭圆，
所以，
解得，，
则椭圆的标准方程为；
当点不是椭圆的顶点时，
因为，
所以点不是椭圆的顶点，设直线方程为，，
此时直线方程为，
联立，
解得，
所以，
同理得，
则面积，
因为，
所以，
当且仅当时，等号成立，
点是椭圆的顶点时，点也是椭圆的顶点，
所以面积，
则面积的取值范围为；
证明：易知蒙日圆的方程为，
当直线斜率不存在时，直线方程为或，
此时直线与蒙日圆的交点为或，
所以；
当直线斜率存在时，
设直线的方程为，，，，
联立，消去并整理得，
此时，
解得，
联立，消去并整理得，
此时，
由韦达定理得，，
所以
．
则为定值，定值为．
19.数列是项数列，当且仅当时，；
当，，时，，
设数列所有项的和为，
则；
因为数列、是从集合中任意取出的两个数列，
所以，数列、均为项数列，所以的可能取值有、、、、，
根据数列中的个数可得，集合的元素个数为，
当时，数列、中有项取值不同，有项取值相同，
先确定有种情况，然后在中选取项，这项与的对应项的取值不同，有种情况，
则与的选择共有种情况，数列、是从集合中任意取出的两个数列，
所有可能情况有种，所以，
由，
化简可得，解得，则当时，取得最大值；
证明：由知集合中元素的个数为，
当时，数列、中有项取值不同，有项取值相同，
先确定有种情况，然后在中选取项与对应项取值不同有种情况，
则与的选择情况共有种情况，数列是从集合中任意取出的两个数列，
所有可能情况有种，所以随机变量的分布列为：
，
因为，
所以
，
即，当时，．
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