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第十八章 分式 综合评价
一、选择题（本大题共12题，每题3分，共36分.每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确）
1.下列式子是分式的是（　 　）
A. B. C.＋y D.
2.分式，与的最简公分母是（　 　）
A.6abc B.12abc C.24abc D.48abc
3.分式有意义，则x的取值范围为（　 　）
A.x＞2 B.x＜2 C.x≠2 D.x＝2
4.下列分式是最简分式的是（　 　）
A. B. C. D.
5.生物学家发现：生物具有遗传多样性，遗传密码大多储存在DNA分子上.一个DNA分子的直径约为0.000 000 2 cm，这个数用科学记数法可以表示为（　 　）
A.0.2×10－6 B.2×10－7
C.0.2×10－7 D.2×10－8
6.把分式中的x，y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（　 　）
A.不变 B.扩大为原来的2倍 C.扩大为原来的4倍 D.缩小为原来的一半
7.化简－的结果是（　 　）
A. B. C. D.
8.已知x＝3是分式方程＋＝1的解，那么实数k的值为（　 　）
A.－1 B.0 C.1 D.2
9.若a＝－0.22，b＝－2－2，c＝，d＝，则它们的大小关系是（　 　）
A.a＜b＜c＜d B.b＜a＜d＜c
C.a＜d＜c＜b D.c＜a＜d＜b
10.如图，若x为正整数，则表示－（x－1－1）÷（x－1＋1）的值的点落在（　 　）
A.段① B.段② C.段③ D.段④
11.我国已经成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在环保、节能等方面较传统汽车都有明显优势.经过对某款电动汽车和某款燃油汽车对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油汽车平均每公里的加油费少0.4元.若充电费和燃油费均为300元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的3倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费用是多少？若设这款电动汽车平均每公里的充电费用是x元，则下列正确的是（　 　）
A.＝×3 B.＝×3
C.×3＝ D.×3＝
12.如果关于x的方程＋＝1有正整数解，且关于y的不等式组至少有两个偶数解，则满足条件的整数a有（　 　）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分）
13.若分式的值为0，则a的值是 .
14.计算：x－2y3（x2y－2）－3＝ .
15.若＋＝3，则分式的值为 .
16.对于实数a，b定义一种运算“※”，规定a※b＝，如1※3＝，则方程x※（－2）＝－的解是 .
三、解答题（本大题共9题，共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（10分）化简下列各式：
（1）（ab3）2·÷；
　　　　
　　　　　　　　 　
（2）＋.
　　　　
　　　　
18.（10分）解下列方程：
（1）＝；
（2）＝－3.
19.（10分）先化简，再求值：÷，其中a＝2，b＝3.
20.（10分）化简：·.下面是状状、元元两位同学的部分运算过程：
状状 解：原式＝· ……
解：原式＝·＋· …… 元元
（1）状状同学解法的依据是 ，元元同学解法的依据是 ；（均填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律.
（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程.
21.（10分）贵州省有两座名叫“韭菜坪”的山峰，分别是“大韭菜坪”和“小韭菜坪”，大韭菜坪位于赫章县，是世界上最大面积的野韭菜花带、全国唯一的野生韭菜花保护区.8月份，小星一家来凉都避暑，周末打算驾车前往距离出发地约83 km的大韭菜坪赏花，按原计划的速度匀速行驶13 km后，再以原计划速度的1.2倍匀速行驶，结果比原计划提前14 min到达大韭菜坪，求原计划的行驶速度.
22.（12分）【阅读理解】“作差法”是解决某些数学问题常用的方法之一：比较代数式M，N的大小，作差M－N，若M－N＞0，则M＞N；若M－N＝0，则M＝N；若M－N＜0，则M＜N.
【方法应用】
（1）若n＞0，试比较与的大小；
【解决问题】
（2）小慧同学提出一个有关“糖水甜度”的问题：“在一定质量的糖水中，加入一定质量的糖，糖水会变得更甜！你能说明其中的道理吗？”
我们不妨设原有糖水a克，其中含糖b克（0＜b＜a），则原糖水的“甜度”可用表示，现向糖水中加入n克糖（n＞0），糖水的“甜度”可用表示，请你用数学知识解释为什么“在一定质量的糖水中，加入一定质量的糖，糖水会变得更甜呢”？
23.（12分）已知关于x的分式方程＋3＝.
（1）若分式方程无解，求m的值；
（2）若分式方程的解为正数，求m的取值范围.
24.（12分）随着城市生活垃圾分类管理规定的实施，生活垃圾分类工作进入“提速”模式，各地区积极行动.某小区准备购买A，B两种分类垃圾桶，通过市场调研得知：A种垃圾桶每组的价格比B种垃圾桶每组的价格少120元，且用8 000元购买A种垃圾桶的数量与用10 400元购买B种垃圾桶的数量相等.
（1）求A，B两种垃圾桶每组的单价；
（2）该小区物业计划用不超过18 000元的资金购买A，B两种垃圾桶共40组，则最多可以购买B种垃圾桶多少组？
25.（12分）分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如：分式，是真分式.如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式.例如，分式，是假分式，一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和.例如：＝＝－＝2x－＝2x－2＋.
（1）将假分式化为一个整数与一个真分式的和；
（2）若x是整数，且假分式的值为正整数，求x的值；
（3）若假分式化为一个整式与一个真分式的和的形式为A＋，A，B均为关于x的多项式，A＝4a－9，B＝b－10，求a2＋b2＋ab的最小值.第十八章 分式 综合评价
一、选择题（本大题共12题，每题3分，共36分.每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确）
1.下列式子是分式的是（　D　）
A. B. C.＋y D.
2.分式，与的最简公分母是（　B　）
A.6abc B.12abc C.24abc D.48abc
3.分式有意义，则x的取值范围为（　C　）
A.x＞2 B.x＜2 C.x≠2 D.x＝2
4.下列分式是最简分式的是（　C　）
A. B. C. D.
5.生物学家发现：生物具有遗传多样性，遗传密码大多储存在DNA分子上.一个DNA分子的直径约为0.000 000 2 cm，这个数用科学记数法可以表示为（　B　）
A.0.2×10－6 B.2×10－7
C.0.2×10－7 D.2×10－8
6.把分式中的x，y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（　A　）
A.不变 B.扩大为原来的2倍 C.扩大为原来的4倍 D.缩小为原来的一半
7.化简－的结果是（　D　）
A. B. C. D.
8.已知x＝3是分式方程＋＝1的解，那么实数k的值为（　C　）
A.－1 B.0 C.1 D.2
9.若a＝－0.22，b＝－2－2，c＝，d＝，则它们的大小关系是（　B　）
A.a＜b＜c＜d B.b＜a＜d＜c
C.a＜d＜c＜b D.c＜a＜d＜b
10.如图，若x为正整数，则表示－（x－1－1）÷（x－1＋1）的值的点落在（　B　）
A.段① B.段② C.段③ D.段④
11.我国已经成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在环保、节能等方面较传统汽车都有明显优势.经过对某款电动汽车和某款燃油汽车对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油汽车平均每公里的加油费少0.4元.若充电费和燃油费均为300元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的3倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费用是多少？若设这款电动汽车平均每公里的充电费用是x元，则下列正确的是（　A　）
A.＝×3 B.＝×3
C.×3＝ D.×3＝
12.如果关于x的方程＋＝1有正整数解，且关于y的不等式组至少有两个偶数解，则满足条件的整数a有（　C　）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分）
13.若分式的值为0，则a的值是　－　.
14.计算：x－2y3（x2y－2）－3＝　　.
15.若＋＝3，则分式的值为　－　.
16.对于实数a，b定义一种运算“※”，规定a※b＝，如1※3＝，则方程x※（－2）＝－的解是　x＝6　.
三、解答题（本大题共9题，共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（10分）化简下列各式：
（1）（ab3）2·÷；
解：原式＝a2b6··
　　　　＝a4b3.
　　　　　　　　 　
（2）＋.
解：原式＝－
　　　　＝－
　　　　＝.
18.（10分）解下列方程：
（1）＝；
解：方程两边乘x（x＋1），得30x＋30＝10x.
解得x＝－1.5.
检验：当x＝－1.5时，x（x＋1）≠0.
所以，原分式方程的解为x＝－1.5.
（2）＝－3.
解：方程两边乘（x－2），得1＝x－1－3x＋6.
解得x＝2.
检验：当x＝2时，x－2＝0，因此x＝2不是原分式方程的解.
所以，原分式方程无解.
19.（10分）先化简，再求值：÷，其中a＝2，b＝3.
解：原式＝÷＝·＝，
当a＝2，b＝3时，原式＝＝－5.
20.（10分）化简：·.下面是状状、元元两位同学的部分运算过程：
状状 解：原式＝· ……
解：原式＝·＋· …… 元元
（1）状状同学解法的依据是　②　，元元同学解法的依据是　③　；（均填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律.
（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程.
解：（2）选状状的解法：
原式＝·
＝·
＝·
＝2x.
[或选元元的解法：
原式＝·＋·
＝＋
＝＋
＝x－1＋x＋1
＝2x.]
21.（10分）贵州省有两座名叫“韭菜坪”的山峰，分别是“大韭菜坪”和“小韭菜坪”，大韭菜坪位于赫章县，是世界上最大面积的野韭菜花带、全国唯一的野生韭菜花保护区.8月份，小星一家来凉都避暑，周末打算驾车前往距离出发地约83 km的大韭菜坪赏花，按原计划的速度匀速行驶13 km后，再以原计划速度的1.2倍匀速行驶，结果比原计划提前14 min到达大韭菜坪，求原计划的行驶速度.
解：设原计划的行驶速度为x km/h.
根据题意，得－＝.
解这个方程，得x＝50.
经检验，x＝50是原分式方程的解，且符合题意.
答：原计划的行驶速度为50 km/h.
22.（12分）【阅读理解】“作差法”是解决某些数学问题常用的方法之一：比较代数式M，N的大小，作差M－N，若M－N＞0，则M＞N；若M－N＝0，则M＝N；若M－N＜0，则M＜N.
【方法应用】
（1）若n＞0，试比较与的大小；
【解决问题】
（2）小慧同学提出一个有关“糖水甜度”的问题：“在一定质量的糖水中，加入一定质量的糖，糖水会变得更甜！你能说明其中的道理吗？”
我们不妨设原有糖水a克，其中含糖b克（0＜b＜a），则原糖水的“甜度”可用表示，现向糖水中加入n克糖（n＞0），糖水的“甜度”可用表示，请你用数学知识解释为什么“在一定质量的糖水中，加入一定质量的糖，糖水会变得更甜呢”？
解：（1）－＝－＝＝，
∵n＞0，∴n（n＋1）＞0，
∴＞0，∴－＞0，
∴＞.
（2）由题意得原糖水的“甜度”为，现糖水的“甜度”为，
∴－＝＝＝，
∵0＜b＜a，n＞0，
∴b－a＜0，a（a＋n）＞0，
∴＜0，
∴＜，
∴在一定质量的糖水中，加入一定质量的糖，糖水会变得更甜.
23.（12分）已知关于x的分式方程＋3＝.
（1）若分式方程无解，求m的值；
（2）若分式方程的解为正数，求m的取值范围.
解：（1）去分母，得1＋3（x－2）＝－1－mx.
移项、合并同类项，得（m＋3）x＝4.
∵分式方程无解，
∴①当x－2＝0，即x＝2时，原方程无解，
2（m＋3）＝4，解得m＝－1；
②当m＋3＝0时，原方程无解，即m＝－3.
综合①②，若分式方程无解，则m的值为－1或－3.
（2）由（1）可得（m＋3）x＝4.
∵原分式方程的解为正数，
∴x＞0，x－2≠0.
∴m＋3＞0，且2（m＋3）≠4.
∴m＞－3且m≠－1.
24.（12分）随着城市生活垃圾分类管理规定的实施，生活垃圾分类工作进入“提速”模式，各地区积极行动.某小区准备购买A，B两种分类垃圾桶，通过市场调研得知：A种垃圾桶每组的价格比B种垃圾桶每组的价格少120元，且用8 000元购买A种垃圾桶的数量与用10 400元购买B种垃圾桶的数量相等.
（1）求A，B两种垃圾桶每组的单价；
（2）该小区物业计划用不超过18 000元的资金购买A，B两种垃圾桶共40组，则最多可以购买B种垃圾桶多少组？
解：（1）设A种垃圾桶每组的单价为x元，则B种垃圾桶每组的单价为（x＋120）元，由题意，得
＝.解得x＝400.
经检验，x＝400是原分式方程的解，且符合题意，
所以x＋120＝400＋120＝520（元）.
答：A种垃圾桶每组的单价为400元，B种垃圾桶每组的单价为520元.
（2）设购买B种垃圾桶y组，则购买A种垃圾桶（40－y）组，
根据题意，得400（40－y）＋520y≤18 000.解得y≤.
∵y是正整数，
∴y的最大值为16.
答：最多可以购买B种垃圾桶16组.
25.（12分）分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如：分式，是真分式.如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式.例如，分式，是假分式，一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和.例如：＝＝－＝2x－＝2x－2＋.
（1）将假分式化为一个整数与一个真分式的和；
（2）若x是整数，且假分式的值为正整数，求x的值；
（3）若假分式化为一个整式与一个真分式的和的形式为A＋，A，B均为关于x的多项式，A＝4a－9，B＝b－10，求a2＋b2＋ab的最小值.
解：（1）＝
＝＋
＝2＋.
（2）＝
＝＋
＝x＋2＋.
∵x是整数，且假分式的值为正整数，
∴x2＞0，x－2＞0.∴x－2＝1或2或4.
∴x＝3或x＝4或x＝6.
（3）＝
＝4x＋
＝4x－1－.
∵＝A＋，
∴A＝4x－1＝4a－9，B＝－x－2＝b－10.
∴a＝x＋2，b＝8－x.
∴a2＋b2＋ab＝（x＋2）2＋（8－x）2＋（x＋2）（8－x）
＝x2－6x＋84
＝（x－3）2＋75.
∵（x－3）2≥0，∴当x－3＝0，即x＝3时，有最小值75.
∴a2＋b2＋ab的最小值为75.

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