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2024-2025学年山东省济南市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数满足是虚数单位，则( )
A. B. C. D.
2.某校开展“阅读经典”的调查研究，高一、高二、高三的人数比例为：：现采用按比例分配分层随机抽样的方法从各年级中抽取人员进行调研已知从高一抽取的人数为，则从高三抽取的人数为( )
A. B. C. D.
3.已知向量，且，则的值为( )
A. B. C. D.
4.已知，是两条直线，，，是三个平面，则正确的是( )
A. 若，，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
5.解放阁是山东省的“国防教育基地”如图，为测量解放阁的高度，某人取了一条水平基线，使，，在同一条直线上在，两点用测角仪器测得的仰角分别是，，并测得米，则约为参考数据：，
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
6.用斜二测画法画水平放置的，其直观图如图所示，其中若原的周长为，则( )
A. B. C. D.
7.抛掷枚质地均匀的硬币，恰有枚正面朝上的概率为其中，，，则( )
A. B. C. D.
8.在中，的平分线交于点，为的中点若，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某校为了解高一学生的体能达标情况，抽调了名学生进行立定跳远测试，根据统计数据得到如图的频率分布直方图同一组的数据用该组区间的中点值代表，则( )
A. B. 众数是
C. 中位数是 D. 跳远距离在区间的人数为
10.已知古典概型的样本空间及事件和事件，满足，，，，则( )
A. B. C. D.
11.如图，在棱长为的正方体中，点，分别是棱，的中点，是侧面内含边界的一动点，且满足平面，则( )
A. 点到平面的距离为定值
B. 存在点，满足
C. 二面角的取值范围为
D. 过点作正方体外接球的截面，所得截面面积的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知圆台的上底面半径和母线长均为，下底面半径为，则圆台的体积为______．
13.若复数满足为虚数单位，则的最大值为______．
14.设，是平面内的两条数轴，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量若，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标已知，，对任意，恒成立，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
袋中有个大小质地完全相同的小球，其中白球编号为，，红球编号为，，从中有放回地依次随机摸出两个小球．
求至少一个是白球的概率；
设事件为“第一次是白球”，事件为“两个小球的编号之和为”，判断与是否相互独立，并说明理由．
16.本小题分
已知正四棱锥，，分别是，的中点．
证明：平面；
若四棱锥各棱长均为，求直线与所成角的余弦值．
17.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，已知．
求角的大小；
若为锐角三角形．
(ⅰ)求角的取值范围；
(ⅱ)设，求面积的取值范围．
18.本小题分
某同学用同一把尺子多次测量同一张标准纸的宽度，得到以下个数据，，单位：毫米：
计算该组数据的平均值和方差；
考虑到测量误差问题，可能存在无效数据，可以采用如下准则进行无效数据筛选：
记其中为样本标准差，，；
若其中为样本容量，则该数据，判断为无效数据，否则认为该数据有效．
对照表
(ⅰ)求，并判断是否为无效数据结果保留两位小数；
(ⅱ)求，，，中无效数据的个数，并说明理由．
参考数据：
19.本小题分
在数学上用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体某顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中面角是多面体的面的内角角用弧度制表示例如：对于正四面体任意一个顶点，每个面角均为，所以正四面体在该顶点的曲率为．
如图，该多面体由边长相等的个正三角形和个正五边形围成，任取一顶点，求该点的曲率；
如图，在正三棱台中，，，点与处的曲率之差为若为侧面含边界内一动点，且直线与平面所成角的正切值为，求动点的轨迹长度；
某多面体由边长相等的个正三角形和个正五边形围成，若各顶点的曲率之和为，且每个顶点与其相连接的棱所形成的空间图形均相同图为满足条件的两个多面体示例，求该多面体面数的所有可能取值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.由于有放回地依次随机摸出两个小球，所以每次摸球的结果互相独立，
故至少一个是白球的概率为；
因为事件为“第一次是白球”，所以．
因为事件为“两个小球的编号之和为”，且，
所以，
事件为“第一次编号为且第二次编号为”或者“第一次编号为且第二次编号为”，
所以，
则，
所以与是相互独立的．
16.证明：正四棱锥中，，分别是，的中点，
取的中点为，连接，，
则，且，
又且，
故C且，则四边形为平行四边形，
故C，平面，平面，
故C平面；
由知：，则或其补角即为直线与所成角，
又为边长为的等边三角形，故，
，
故，
故直线与所成角的余弦值为．
17.利用正弦定理化简已知等式可得，
所以，
又因为，
可得，
又由于，
可得；
由题意可得，
解得，
可得的取值范围为；
(ⅱ)由于，，
可得，
又因为，
可得，
可得，
由于，
可得，可得，可得，
可得，
故．
18.由题意可知，平均数，
方差；
由题意可知，，
故是无效数据；
(ⅱ)由表中数据可知：，
故此时可得，
，此时，
，此时，
故，，，均为有效数据，
由(ⅰ)知是无效数据，
因此无效数据只有个．
19.解：该多面体任取一顶点连接个正三角形和个正五边形，则该点的曲率为．
梯形性质分析：由于梯形是等腰梯形，，处的内角互补．
设梯形在的内角为，在的内角为，则．
但是根据曲率差的条件，．
解方程组：．
从，点向下底作垂线，交于，，上下底中点分别为，．
由于上底，下底，
，，
设上下底面的中心分别为，，在下底面内的射影为，则，分别在，上，
且，
计算得，
，
，
，
为，的交点，由于，，
点的轨迹为如图所示的以为圆心，以，为端点，半径为圆弧，
轨迹的长度为．
多面体由个正三角形和个正五边形组成，边长相等，各顶点曲率之和为．
每个顶点与其相连接的棱所形成的空间图形均相同顶点传递性．
欧拉公式：对于凸多面体，欧拉公式，其中是顶点数，是边数，是面数．
这里．
曲率总和：根据题目，曲率总和为．
顶点均匀性：题目要求每个顶点相同，意味着多面体是顶点传递的，且每个顶点周围的配置相同．
面角计算：正三角形的内角为，正五边形的内角为．
顶点曲率：设每个顶点周围有个正三角形和个正五边形．
由于顶点相同，所有顶点配置相同，面角总和为，曲率为．
顶点数：由于所有顶点相同，曲率总和为，
因此，．
边数计算：每个正三角形有条边，每个正五边形有条边，
但每条边被两个面共享，总边数．
顶点配置：由于多面体是顶点传递的，每个顶点有相同的边数即相同的面数．
设每个顶点周围有个面，．
由于每条边连接两个顶点，，但是，，
因此，．
结合欧拉公式：，得．
解方程组：我们有以下方程：
，
，
，
，
由于每个顶点相同，我们需要考虑可能的值．
枚举值：常见的多面体顶点面数满足，
只能为，，等．
：．
可能的组合：：
解得，，不满足题目要求；
：个三角形和个五边形，得，非整数，舍去．
：个三角形和个五边形，得，非整数，舍去．
：全五边形，不可能，因为三个五边形无法闭合
：：全三角形，如八面体，解得，，舍去．
：个三角形和个五边形，解得．
现在，．
．
解方程组：，
解得：．
因此，．
：个三角形和个五边形，得，．
，
．
：个三角形和个五边形．
，舍去．
：全五边形，不可能．
：
：个三角形和个五边形．
．
．
，
．
：个三角形和个五边形．
，舍去．
其他组合导致为负数或非整数．
：，方程组无解．
因此，多面体面数的所有可能取值为，和．
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