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北京师范大学燕化附属中学2024-2025学年高一下学期期中
数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题：本题共10小题，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．=
A． B．– C． D．–
2．已知向量，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．10
3．平面向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
4．函数的部分图象如图所示，则其解析式为（ ）
A． B．
C． D．
5．若向量，的夹角为120°，，若，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
6．已知均为第二象限角，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．《九章算术》是我国古代的数学名著，其中《方田》一章记录了弧田面积的计算问题.如图，某弧田由弧和其所对的弦围成，若弦长度为2，弧所对的圆心角的弧度数为2，则该弧田的面积为（ ）

A． B．
C． D．
8．已知等边的边长为4，P为边上的动点，且满足，则点P轨迹的长度是（ ）
A．7 B．9 C．10 D．11
9．音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为“葫芦曲线”.它的性质是每经过相同的时间间隔，它的振幅就变化一次.如图所示，某一条葫芦曲线的方程为，其中表示不超过x的最大整数.若该条曲线还满足，经过点.则该条葫芦曲线与直线交点的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．八卦是中国传统文化中的一部分，八个方位分别象征天、地、风、雷、水、火、山、泽八种自然现象.八卦模型如图1所示，其平面图形为正八边形，如图2所示，点O为该正八边形的中心，设，点P是正八边形边上任一点，下列结论中正确的个数是（ ）
①与的夹角为；
②；
③在上的投影向量为（其中为与同向的单位向量）；
④的取值范围是．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本题共5小题，共25分。
11．已知为锐角，且，则的值为 .
12．若向量满足，则 ．
13．已知非零向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
14．已知函数的定义域为，若有且仅有两个解，则的取值范围为 ．
15．已知函数，任取，定义集合：
，点，满足
设，分别表示集合中元素的最大值和最小值，记， 则
（1）函数的最大值是 ；
（2）函数的单调递增区间为 ．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角、，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A、B的纵坐标分别为，.
（1）求的值.
（2）求的值.
17．已知向量，满足，，.
(1)求；
(2)若，，求.
18．已知函数．
(1)求的值；
(2)求函数的单调递增区间；
(3)若函数在区间上有且只有两个零点，求m的取值范围．
19．如图，在梯形中，，，，为线段的中点，记，．
(1)用，表示向量；
(2)求的值；
(3)求与夹角的余弦值．
20．海水受日月引力会产生潮汐．以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低．现测得某港口某天的时刻与水深的关系表如下所示：（3.1时即为凌晨3点06分）
时刻：x（时） 0 3.1 6.2 9.3 12.4 15.5 18.6 21.7 24
水深：y（米） 5.0 7.4 5.0 2.6 5.0 7.4 5.0 2.6 4.0
(1)根据以上数据，可以用函数来近似描述这一天内港口水深与时间的关系，求出这个函数的解析式；
(2)某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米．安全条例规定，在本港口进港和在港口停靠时，船底高于海底平面的安全间隙至少有2米，根据（1）中的解析式，求出这条货船最早可行的进港时间及这条货船一天最多可以在港口中停靠的总时长．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C B B C D B C C
11．/
12．/0.5
13．
14．
15．2
16．（1）∵A、B的纵坐标分别为，，
∴，，，
由、是锐角，可得：，
，∴，，
∴.
（2），
∴.
∵，在上单调递增，且
∴，同理，
∴，从而.
17．（1）因为，所以，，
所以，.
（2）因为，所以，，
所以，边的长度为.
18．（1）.
（2）
，
由，，
得，，
所以的单调递增区间是．
（3）因为，所以．
依题意，解得．
所以m的取值范围为．
19．（1）如图，连接，
因为为线段的中点，，
所以，因为，所以，
由向量的加法法则得，
故，即成立.
（2）由于，可得，又有，
所以；
，故.
（3）由向量的减法法则得，
由于，可得，又有，
得到，故，
则，
由上问得，故.
20．（1）由表格可知y的最大值为7.4，最小值为2.6，
所以，
由表格可知，
所以，
所以，
将点代入可得：，
所以，
解得，
因为，所以，
所以.
（2）货船需要的安全水深为 米,
所以进港条件为 .
令 ,
即,
所以,
解得,
因为，
所以时，,
时，
因为（时） 时 2 分, （时） 时 10 分.
（时） 时 26 分，（时） 时 34 分.
因此，货船可以在 1 时 2 分进港，早晨 5 时 10 分出港；或在下午 13 时 26 分进港，下午 17 时 34 分出港.
则该货船最早进港时间为1时2分，停靠总时长为8小时16分钟.
答案第1页，共2页
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