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第十四章 全等三角形 综合评价
一、选择题（本大题共12题，每题3分，共36分.每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确）
1.下列图案中，属于全等形的是（　 　）
A. B. C. D.
2.我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识.如图是油纸伞的张开示意图，AE＝AF，GE＝GF，则△AEG≌△AFG的依据是（　 　）
A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS
3.如图，点A，D在线段BC的同侧，连接AB，AC，DB，DC，已知∠ABC＝∠DCB，老师要求同学们补充一个条件使△ABC≌△DCB.以下是四个同学补充的条件，其中错误的是（　 　）
第3题图
A.AC＝DB B.AB＝DC
C.∠A＝∠D D.∠ABD＝∠DCA
4.如图，△ACB≌△A'CB'，点A和点A'，点B和点B'是对应顶点，∠ACB＝70°，∠ACB'＝100°，则∠BCA'的度数为（　 　）
第4题图
A.30° B.35° C.40° D.50°
5.如图，有三条道路围成Rt△ABC，其中BC＝100m，一个人从B处出发沿BC行走了80m到达D处，AD恰为∠CAB的平分线，则此时这个人到AB边的最短距离为（　 　）
第5题图
A.100m B.20m C.80m D.60m
6.如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴负半轴于点M，交y轴负半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第三象限交于点P.若点P的坐标为（a，b），则a与b的数量关系为（　 　）
第6题图
A.a＋b＝0 B.a＋b＞0 C.a－b＝0 D.a－b＞0
7.在△ABC中，∠B＝∠C＝50°，将△ABC沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（　 　）
A. B. C. D.
8.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.若S△ABC＝28，DE＝4，AB＝8，则AC的长为（　 　）
第8题图
A.8 B.7 C.6 D.5
9.如图，BP平分∠ABC，D为BP上一点，点E，F分别在BA，BC上，且满足DE＝DF，若∠BED＝140°，则∠BFD的度数为（　 　）
第9题图
A.40° B.50° C.60° D.70°
10.如图，AB⊥CD，且AB＝CD，E，F是AD上的两点，CE⊥AD于点E，BF⊥AD于点F，若CE＝5，BF＝3，EF＝2，则AD的长为（　 　）
第10题图
A.7 B.6 C.5 D.4
11.如图，在△ABC中，∠CAB和∠CBA的平分线交于点P，连接PA，PB，PC，若△PAB，△PBC，△PAC的面积分别为S1，S2，S3，则（　 　）
第11题图
A.S1＜S2＋S3 B.S1＝S2＋S3
C.S1＞S2＋S3 D.无法确定S1与（S2＋S3）的大小
12.如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM.下列结论中不正确的是（　 　）
第12题图
A.AC＝BD B.∠AMB＝40°
C.OM平分∠BOC D.MO平分∠BMC
二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分）
13.图中的两个三角形是全等三角形，其中一些角和边的大小如图所示，那么x的值是 .
第13题图
14.如图，PA⊥ON于点A，PB⊥OM于点B，且PA＝PB.若∠MON＝50°，∠OPC＝30°，则∠PCA的大小为 .
第14题图
15.小丽与爸妈在公园里荡秋千.如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1 m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她.若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD，CE分别为1.4 m和1.8 m，∠BOC＝90°，则爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是 .
第15题图
16.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，则下列结论：①DA平分∠CDE；②∠BAC＝∠BDE；③DE 平分∠ADB；④若AC＝4BE，则S△ABC＝9S△BDE.其中正确的有 .（填序号）
第16题图
三、解答题（本大题共9题，共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（10分）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AB＝DE，∠ABC＝∠DEF，BE＝CF，求证：∠ACB＝∠F.
18.（10分）王强同学用10块高度都是2 cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离.
19.（10分）如图，延长BA，CD交于点P，若PA＝PD，PB＝PC.求证：BE＝CE.
20.（10分）（赤峰中考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜边AB上一点，且AC＝AD.
（1）作∠BAC的平分线，交BC于点E；（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接DE，求证：DE⊥AB.
21.（10分）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF.
（1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；
（2）若∠CAE＝30°，∠BAC＝45°，求∠ACF的度数.
22.（12分）如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上，已知：AB＝DE，下列给出三个条件：①AC＝DF；
②∠ABC＝∠DEF；③BE＝CF.解答下列问题：
（1）请选择两个合适的作为已知条件，余下一个作为结论，并给出证明过程：我选择 作为已知条件， 作为结论（填写序号）；
（2）在（1）的条件下，若AD∥BF，AC与DE相交于点O，∠ABC＝55°，∠DAC＝48°，求∠COE的度数.
23.（12分）如图，AD平分∠EAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BD＝CD，
（1）求证：BE＝CF；
（2）已知AC＝20，BE＝4，求AB的长.
24.（12分）已知：∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CM，BE⊥CM，垂足分别为D，E.
（1）如图1，
①线段CD和BE的数量关系是 ；
②请写出线段AD，BE，DE之间的数量关系并证明；
（2）如图2，上述结论②还成立吗？如果不成立，请直接写出线段AD，BE，DE之间的数量关系.
25.（12分）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝24 cm，∠ABC＝∠ACB，BC＝16 cm，点D为AB的中点.如果点P在线段BC上以4 cm/s的速度由B点向C点运动.同时，点Q在线段CA上由C点以a cm/s的速度向A点运动.设运动的时间为t s.
（1）直接写出：
①BD＝ cm；②BP＝ cm；③CP＝ cm；④CQ＝ cm.（用含t，a的代数式表示）
（2）若以D，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a，t的值.第十四章 全等三角形 综合评价
一、选择题（本大题共12题，每题3分，共36分.每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确）
1.下列图案中，属于全等形的是（　A　）
A. B. C. D.
2.我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识.如图是油纸伞的张开示意图，AE＝AF，GE＝GF，则△AEG≌△AFG的依据是（　D　）
A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS
3.如图，点A，D在线段BC的同侧，连接AB，AC，DB，DC，已知∠ABC＝∠DCB，老师要求同学们补充一个条件使△ABC≌△DCB.以下是四个同学补充的条件，其中错误的是（　A　）
第3题图
A.AC＝DB B.AB＝DC
C.∠A＝∠D D.∠ABD＝∠DCA
4.如图，△ACB≌△A'CB'，点A和点A'，点B和点B'是对应顶点，∠ACB＝70°，∠ACB'＝100°，则∠BCA'的度数为（　C　）
第4题图
A.30° B.35° C.40° D.50°
5.如图，有三条道路围成Rt△ABC，其中BC＝100m，一个人从B处出发沿BC行走了80m到达D处，AD恰为∠CAB的平分线，则此时这个人到AB边的最短距离为（　B　）
第5题图
A.100m B.20m C.80m D.60m
6.如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴负半轴于点M，交y轴负半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第三象限交于点P.若点P的坐标为（a，b），则a与b的数量关系为（　C　）
第6题图
A.a＋b＝0 B.a＋b＞0 C.a－b＝0 D.a－b＞0
7.在△ABC中，∠B＝∠C＝50°，将△ABC沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（　D　）
A. B. C. D.
8.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.若S△ABC＝28，DE＝4，AB＝8，则AC的长为（　C　）
第8题图
A.8 B.7 C.6 D.5
9.如图，BP平分∠ABC，D为BP上一点，点E，F分别在BA，BC上，且满足DE＝DF，若∠BED＝140°，则∠BFD的度数为（　A　）
第9题图
A.40° B.50° C.60° D.70°
10.如图，AB⊥CD，且AB＝CD，E，F是AD上的两点，CE⊥AD于点E，BF⊥AD于点F，若CE＝5，BF＝3，EF＝2，则AD的长为（　B　）
第10题图
A.7 B.6 C.5 D.4
11.如图，在△ABC中，∠CAB和∠CBA的平分线交于点P，连接PA，PB，PC，若△PAB，△PBC，△PAC的面积分别为S1，S2，S3，则（　A　）
第11题图
A.S1＜S2＋S3 B.S1＝S2＋S3
C.S1＞S2＋S3 D.无法确定S1与（S2＋S3）的大小
12.如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM.下列结论中不正确的是（　C　）
第12题图
A.AC＝BD B.∠AMB＝40°
C.OM平分∠BOC D.MO平分∠BMC
二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分）
13.图中的两个三角形是全等三角形，其中一些角和边的大小如图所示，那么x的值是　50　.
第13题图
14.如图，PA⊥ON于点A，PB⊥OM于点B，且PA＝PB.若∠MON＝50°，∠OPC＝30°，则∠PCA的大小为　55°　.
第14题图
15.小丽与爸妈在公园里荡秋千.如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1 m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她.若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD，CE分别为1.4 m和1.8 m，∠BOC＝90°，则爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是　1.4 m　.
第15题图
16.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，则下列结论：①DA平分∠CDE；②∠BAC＝∠BDE；③DE 平分∠ADB；④若AC＝4BE，则S△ABC＝9S△BDE.其中正确的有　①②④　.（填序号）
第16题图
三、解答题（本大题共9题，共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（10分）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AB＝DE，∠ABC＝∠DEF，BE＝CF，求证：∠ACB＝∠F.
证明：∵BE＝CF，∴BE＋EC＝CF＋EC.即BC＝EF.
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠ACB＝∠F.
18.（10分）王强同学用10块高度都是2 cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离.
解：由题意，得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°.∴∠ACD＋∠BCE＝90°，
∠ACD＋∠DAC＝90°.∴∠DAC＝∠BCE.
在△ADC和△CEB中，
∴△ADC≌△CEB（AAS）.∴AD＝CE，DC＝BE，
又AD＝2×3＝6（cm），BE＝2×7＝14（cm），
∴CE＝6 cm，DC＝14 cm.∴DE＝DC＋CE＝20（cm）.
答：两堵木墙之间的距离为20 cm.
19.（10分）如图，延长BA，CD交于点P，若PA＝PD，PB＝PC.求证：BE＝CE.
证明：在△PBD和△PCA中，
∴△PBD≌△PCA（SAS）.∴∠B＝∠C.
又PA＝PD，PB＝PC，∴AB＝CD.
在△ABE和△DCE中，
∴△ABE≌△DCE（AAS）.∴BE＝CE.
20.（10分）（赤峰中考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜边AB上一点，且AC＝AD.
（1）作∠BAC的平分线，交BC于点E；（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接DE，求证：DE⊥AB.
（1）解：如图，AE即为所求.
（2）证明：∵AE平分∠BAC，∴∠CAE＝∠DAE.
在△ACE和△ADE中，
∴△ACE≌△ADE（SAS）.∴∠ADE＝∠ACB＝90°.
∴DE⊥AB.
21.（10分）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF.
（1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；
（2）若∠CAE＝30°，∠BAC＝45°，求∠ACF的度数.
（1）证明：∵∠ABC＝90°，
∴∠CBF＝∠ABE＝90°.
在Rt△ABE和Rt△CBF中，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）.
（2）解：∵∠ABC＝90°，∠BAC＝45°，∴∠ACB＝45°.
∵∠CAE＝30°，∴∠BAE＝∠BAC－∠CAE＝45°－30°＝15°.
由（1）知Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF＝∠BAE＝15°.
∴∠ACF＝∠BCF＋∠ACB＝15°＋45°＝60°.
22.（12分）如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上，已知：AB＝DE，下列给出三个条件：①AC＝DF；
②∠ABC＝∠DEF；③BE＝CF.解答下列问题：
（1）请选择两个合适的作为已知条件，余下一个作为结论，并给出证明过程：我选择　　　　作为已知条件，　　　　作为结论（填写序号）；
（2）在（1）的条件下，若AD∥BF，AC与DE相交于点O，∠ABC＝55°，∠DAC＝48°，求∠COE的度数.
解：（1）条件：①AC＝DF；③BE＝CF；
结论：②∠ABC＝∠DEF.
证明：∵BE＝CF，∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SSS），∴∠ABC＝∠DEF.
[或者条件：②∠ABC＝∠DEF；③BE＝CF；
结论：①AC＝DF，
证明：∵BE＝CF，∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SAS）.∴AC＝DF.]
（2）∵AD∥BF，∠DAC＝48°，∴∠ACB＝∠DAC＝48°，
由（1）可得∠ABC＝∠DEF＝55°，
∴∠COE＝180°－55°－48°＝77°.
23.（12分）如图，AD平分∠EAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BD＝CD，
（1）求证：BE＝CF；
（2）已知AC＝20，BE＝4，求AB的长.
（1）证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴DE＝DF，∠DEB＝∠DFC＝90°.
在Rt△BED和Rt△CFD中，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）.
∴BE＝CF.
（2）解：在△ADE和△ADF中，
∴△ADE≌△ADF（AAS）.∴AE＝AF.
∵BE＝CF＝4，AC＝20，∴AE＝AF＝20－4＝16.
∴AB＝AE－BE＝16－4＝12.
24.（12分）已知：∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CM，BE⊥CM，垂足分别为D，E.
（1）如图1，
①线段CD和BE的数量关系是　CD＝BE　；
②请写出线段AD，BE，DE之间的数量关系并证明；
解：（1）②AD＝BE＋DE.证明如下：
∵AD⊥CM，BE⊥CM，
∴∠ACB＝∠BEC＝∠ADC＝90°，
∴∠ACD＋∠BCE＝90°，∠BCE＋∠CBE＝90°，
∴∠ACD＝∠B.
在△ACD和△CBE中，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴CD＝BE，AD＝CE.∴CE＝CD＋DE＝BE＋DE.∴AD＝BE＋DE.
（2）如图2，上述结论②还成立吗？如果不成立，请直接写出线段AD，BE，DE之间的数量关系.
解：（2）②中的结论不成立.结论：DE＝AD＋BE.
25.（12分）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝24 cm，∠ABC＝∠ACB，BC＝16 cm，点D为AB的中点.如果点P在线段BC上以4 cm/s的速度由B点向C点运动.同时，点Q在线段CA上由C点以a cm/s的速度向A点运动.设运动的时间为t s.
（1）直接写出：
①BD＝　12　cm；②BP＝　4t　cm；③CP＝　（16－4t）　cm；④CQ＝　at　cm.（用含t，a的代数式表示）
（2）若以D，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a，t的值.
解：（2）∵BP＝4t，BD＝12，CP＝16－4t，CQ＝at，
又∠B＝∠C，∴分两种情况：
①若△DBP≌△QCP，则
∴∴
②若△DBP≌△PCQ，则
∴∴
综上所述，a的值为6，t的值为2或a的值为4，t的值为1.

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