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5.7 三角函数的应用
1.声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个声音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是三角函数，如音叉发出的纯音振动可表示为，其中x表示时间，y表示纯音振动时音叉的位移，表示纯音振动的频率（对应音高），A表示纯音振动的振幅（对应音强）.已知某音叉发出的纯音振动可表示为，则该纯音振动的频率为( )
A. B. C. D.
2.将函数图象上所有的点都向左平移个单位长度后，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，则( )
A. B.
C. D.
3.我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音.复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为f的基音的同时，其各部分如二分之一、三分之一、四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如2f，3f，4f等.这些音叫谐音，因为其振幅较小，一般不易单独听出来，所以我们听到的声音的函数为.则函数的周期为( )
A. B. C. D.
4.某个弹簧振子做简谐运动，已知在完成一次全振动的过程中，时间t（单位：）与位移y（单位：）之间满足函数关系：，则这个简谐运动的振幅是( )
A. B. C. D.
5.智能主动降噪耳机的工作原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）.已知噪声的声波曲线（其中，，）的振幅为1，周期为，初相位为，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为( )
A. B. C. D.
6.某港口一天24h内潮水的高度S(单位：m)随时间t(单位：，)的变化近似满足关系式，则下列说法正确的有( )
A.在上的平均变化率为
B.相邻两次潮水高度最高的时间间距为24h
C.当时，潮水的高度会达到一天中最低
D.4时潮水起落的速度为
7.健康成年人的收缩压和舒张压一般为和，心脏跳动时，血压在增加或减小，血压的最大值、最小值分别为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数为120/80mmhg为标准值．设某人的血压满足函数式，其中为血压（mmhg），t为时间（min）．给出以下结论：
①此人的血压在血压计上的读数为140/90mmhg
②此人的血压在健康范围内
③此人的血压已超过标准值
④此人的心跳为80次/分
其中正确结论的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
8.受潮汐影响，某港口一天的水深（单位：m）与时刻t的部分记录如下表：
时刻t
水深 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0
若该天从与t的关系可近似的用函数来表示，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.时的水深约为
D.一天中水深低于的时间为4小时
9.（多选）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时相对于平衡位置的高度h（单位：）由关系式，确定，其中，，.小球从最高点出发，经过后，第一次回到最高点，则( )
A.
B.
C.与时的相对于平衡位置的高度h之比为
D.与时的相对于平衡位置的高度h之比为2
10.（多选）一个质点运动的位移y（单位：m）随着时间t（单位：s）呈周期性变化，其对应的函数图象如下，则下列结论正确的是( )
A.该质点的运动周期为 B.该质点的运动振幅为
C.该质点的运动频率为 D.该质点的运动周期为
11.已知某种交流电电流I（单位：A）随时间t（单位：s）的变化规律可以用函数，表示，则这种交流电电流在内往复运行__________次.
12.潮汐是发生在沿海地区的一种自然现象，是指海水在天体（主要是月球和太阳）引潮力作用下所产生的周期性运动.习惯上把海面垂直方向涨落称为潮汐，而海水在水平方向的流动称为潮流.早先的人们为了表示生潮的时刻，把发生在早晨的高潮叫潮，发生在晚上的高潮叫汐，这是潮汐名称的由来.下表中给出了某市码头某一天水深与时间的关系（夜间零点开始计时）.
时刻（t） 0 2 4 6 8 10 12
水深（y）单位：米 5.0 4.8 4.7 4.6 4.4 4.3 4.2
时刻（t） 14 16 18 20 22 24
水深（y）单位：米 4.3 4.4 4.6 4.7 4.8 5.0
用函数模型（，）来近似地描述这些数据，则________.
13.某游乐场的摩天轮示意图如图所示，已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟.在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1~12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离h（单位：米）与时间t（单位：分）的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t分钟，则1号座舱与地面的距离h与时间t的函数关系h（t）的解析式为___________.
14.如图某地夏天从时用电量变化曲线近似满足函数
(1)这一天的最大用电量为__________万度，最小用电量为__________万度；
(2)这段曲线的函数解析式为__________.
15.国际油价在某一时间内呈现正弦型波动规律：（单位：美元），t为天数，，.现采集到下列信息：最高油价为80美元，当天时，油价最低，则的最小值为_________.
答案以及解析
1.答案：C
解析：频率为，
故选：C.
2.答案：D
解析：将图象上所有的点都向左平移个单位长度后，
得到函数的图象，
再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，
得.
故选：D.
3.答案：B
解析：由，
对A：，故A不正确；
对B：
，故B正确；
对C：，故C不正确；
对D：，故D不正确；
故选：B.
4.答案：C
解析：因为，
所以，这个简谐运动的振幅是.
故选：C.
5.答案：A
解析：因为噪音的声波曲线（其中，，）的振幅为1，周期为，初相位为，
则，，，
所以噪声的声波曲线的解析式为，
所以通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为.
故选：A.
6.答案：A
解析:对A，在上的平均变化率为，故A正确；
对B，相邻两次潮水高度最高的时间间距为1个周期，故B错误；
对C，，没有达到最低，故C错误；
对D，，则，故D错误.
故选：A.
7.答案：C
解析：因为某人的血压满足函数式，
又因为，所以，即，
即此人的血压在血压计上的读数为140/90mmhg，故①正确；
因为收缩压为，舒张压为mmhg，均超过健康范围，
即此人的血压不在健康范围内，故②错误，③正确；
对于函数，其最小正周期，
则此人的心跳为次/分，故④正确.
故选：C.
8.答案：C
解析：由数据知，，
所以，A错误；，，故B错误；
由，得，，，故C正确；
由，得，，或，故水深低于3.75的时间为8小时，故D错误.
故选：C.
9.答案：BD
解析：由题可知小球运动的周期，所以，解得.当时，.
又，所以，则，
所以与时的相对于平衡位置的高度之比为.
故选：BD.
10.答案：BCD
解析：由题图可知，运动周期为，故A错误，D正确；该简谐运动的振幅为，B正确；该简谐运动的频率，C正确.
故选：BCD.
11.答案：25
解析：周期，
频率为每秒50次，
内往复运行25次.
故答案为：25.
12.答案：或
解析：由表中某市码头某一天水深与时间的关系近似为函数（，），从表中数据可知，函数的最大值为5.0，最小值为4.2，所以，解得，，故.
故答案为：或写成.
13.答案：
解析：设函数解析式为：，
因为最小正周期，所以，
h的最大值为62，最小值为2，所以，
摩天轮正中心离地面32米，所以，
当时，，所以，.
所以解析式为：.
故答案为：.
14.答案：(1)
(2)
解析：(1)由图象得最大用电量为50万度，最小用电量为30万度.
(2)观察图象可知，从时的图象是的半个周期的图象，
∴
∵
∴.将代入上式，解得
∴所求解析式为
故答案为：(1) .
(2) .
15.答案：
解析：由题意得，，又因为，所以时，最小.最小值为.
故答案为：.

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