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期末综合评价
一、选择题（本大题共12题，每题3分，共36分.每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确）
1.下列各组图形中，成轴对称的两个图形是（　A　）
A. B. C. D.
2.“夜深知雪重，时闻折竹声.”这是白居易《夜雪》中对雪的描写.单个雪花的重量其实很轻，只有0.000 03 kg左右，0.000 03用科学记数法可表示为（　B　）
A.0.3×10－5 B.3×10－5
C.0.3×10－4 D.3×10－4
3.如图，为了估计一池塘岸边A，B两点之间的距离，小丽同学在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝8 m，PB＝6 m，那么点A与点B之间的距离不可能是（　D　）
第3题图
A.11.5 m B.12.5 m C.13.5 m D.14.5 m
4.下列计算正确的是（　B　）
A.3x－x＝3
B.a3÷a4＝
C.（x－1）2＝x2－2x－1
D.（－2a2）3＝－6a6
5.如图，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，若BE＝CF，则Rt△BCF≌Rt△CBE的理由是（　B　）
第5题图
A.AAS B.HL C.SAS D.ASA
6.如图，将一副三角板如图放置.若AE∥BC，则∠AFD等于（　C　）
第6题图
A.90° B.85° C.75° D.65°
7.已知等腰三角形的一个外角等于100°，则它的顶角是（　C　）
A.80° B.20°
C.80°或20° D.不能确定
8.如果多项式x2＋1加上一个单项式后，能够直接用完全平方公式进行因式分解，则添加的单项式不可以是（　D　）
A.2x B.－2x C.x4 D.－x4
9.如图，AB∥CD，O为∠BAC，∠ACD的平分线交点，OE⊥AC于点E，若OE＝2，则AB与CD之间的距离是（　B　）
第9题图
A.2 B.4 C.6 D.8
10.若（m－2＝1，则符合条件的m有（　C　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
11.《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900公里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为x天，则可列出正确的方程为（　A　）
A.＝2× \
B.＝2×
C.＝2×
D.＝2×
12.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，D为BC上一动点，EF垂直平分AD分别交AC于点E、交AB于点F，则BF的最大值为（　C　）
A. B. C. D.2
二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分）
13.要使分式有意义，则x应满足条件　x≠1　.
14.如果a＋b＝3，ab＝2，那么a2＋b2＝　2.5　.
15.如图，在△ABC中，D为边BC的中点，连接AD，E，F为直线AD上的点，连接BE，CF，且BE∥CF.若AE＝15，AF＝7，则DE的长度为　4　.
第15题图
16.如图，点B，C，D，E在同一条直线上，△ABC为等边三角形，AC＝CD，AD＝DE，若AB＝3，AD＝m，则△ABE的面积为　　（用含m的式子表示）.
第16题图
三、解答题（本大题共9题，共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（10分）（1）（河南中考）计算：÷；　　　　　解：原式＝·
　　　　＝.
（2）因式分解：a2－4－3（a＋2）.
解：原式＝（a＋2）（a－2）－3（a＋2）
　　　　＝（a＋2）（a－5）.
18.（10分）解方程：
（1）＝；
解：方程两边乘3x（x＋5），得x＋5＝6x.
解得x＝1.
检验：当x＝1时，3x（x＋5）≠0.
所以，原分式方程的解为x＝1.
（2）＝1－.
解：方程两边乘（x－3），得2－x＝x－3－1.
解得x＝3.
检验：当x＝3时，x－3＝0，
因此x＝3不是原分式方程的解.
所以，原分式方程无解.
19.（10分）先化简，再求值：（x＋y）（x－y）－（4x3y－8xy3）÷2xy，其中x＝－1，y＝.
解：原式＝x2－y2－（2x2－4y2）
　　　　＝x2－y2－2x2＋4y2
　　　　＝－x2＋3y2.
当x＝－1，y＝时，
原式＝－（－1）2＋3×＝－1＋＝－.
20.（10分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，1），B（5，2），C（3，5）.
（1）作出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出三个顶点的坐标为：A1　（－2，1）　，B1　（－5，2）　，C1　（－3，5）　；
（2）在x轴上找一点P，使PA＋PB的值最小，请直接写出点P的坐标.
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求.
（2）如图，点P即为所求，P（3，0）.
21.（10分）如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于EF长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线AP，交CD于点M.
（1）若∠ACD＝124°，求∠MAB的度数；
（2）若CN⊥AM，垂足为N，延长CN交AB于点O，连接OM，求证：OA＝OM.
（1）解：∵AB∥CD，∴∠ACD＋∠CAB＝180°，
又∵∠ACD＝124°，∴∠CAB＝56°.
由作法知，AM是∠CAB的平分线，
∴∠MAB＝∠CAB＝28°.
（2）证明：由作法知，AM是∠CAB的平分线，∴∠MAB＝∠MAC.
又∵AB∥CD，∴∠MAB＝∠CMA，
∴∠MAC＝∠CMA，∴AC＝MC.
又CN⊥AM，∴OC为线段AM的垂直平分线，
∴OA＝OM.
22.（10分）第一步：阅读材料，掌握知识.
要把多项式am＋an＋bm＋bn分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式a，再把它的后两项分成一组，提出公因式b，从而得
am＋an＋bm＋bn＝a（m＋n）＋b（m＋n）.这时，由于a（m＋n）＋b（m＋n）中又有公因式m＋n，于是可提出m＋n，从而得到（m＋n）（a＋b），因此有
am＋an＋bm＋bn＝（am＋an）＋（bm＋bn）＝a（m＋n）＋b（m＋n）＝（m＋n）（a＋b）.
这种方法称为分组法.
第二步：理解知识，尝试填空.
（1）ab－ac＋bc－b2＝（ab－ac）＋（bc－b2）＝a（b－c）－b（b－c）＝　（b－c）（a－b）　；
第三步：应用知识，解决问题.
（2）因式分解：x2y－4y－2x2＋8；
第四步：提炼思想，拓展应用.
（3）已知三角形的三边长分别是a，b，c，且满足a2＋2b2＋c2＝2b（a＋c），试判断这个三角形的形状，并说明理由.
解：（2）原式＝（x2y－4y）－（2x2－8）
＝y（x2－4）－2（x2－4）
＝（y－2）（x2－4）
＝（y－2）（x＋2）（x－2）.
（3）这个三角形为等边三角形.理由如下：
∵a2＋2b2＋c2＝2b（a＋c），
∴a2＋2b2＋c2－2ba－2bc＝0.
∴a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0.
∴（a－b）2＋（b－c）2＝0.
∵（a－b）2≥0，（b－c）2≥0，
∴a－b＝0，b－c＝0.
∴a＝b＝c.
∴这个三角形是等边三角形.
23.（12分）如图，△ABC是等边三角形，E，F分别是边AB，AC上的点，且AE＝CF，CE，BF交于点P，EG⊥BF，垂足为G.
（1）求证：∠ACE＝∠CBF；
（2）若PG＝1，求EP的长度.
（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠A＝∠BCF＝60°.
在△ACE和△CBF中，
∴△ACE≌△CBF（SAS）.∴∠ACE＝∠CBF.
（2）解：由（1）知∠ACE＝∠CBF，
又∠ACE＋∠PCB＝∠ACB＝60°，
∴∠PBC＋∠PCB＝60°.∴∠BPE＝60°.
∵EG⊥BF，即∠PGE＝90°，∴∠GEP＝30°.
∴EP＝2PG.
∵PG＝1，∴EP＝2.
24.（12分）某商场购进甲、乙两种空调共40台.已知购进一台甲种空调比购进一台乙种空调进价多0.2万元；用36万元购进乙种空调数量是用18万元购进甲种空调数量的4倍.请解答下列问题：
（1）求甲、乙两种空调每台进价各是多少万元；
（2）若商场预计投入资金不多于11.5万元用于购买甲、乙两种空调，且购进甲种空调至少14台，商场有哪几种购进方案？
解：（1）设甲种空调每台的进价为x万元，则乙种空调每台的进价为（x－0.2）万元，
根据题意，得＝4×.解得x＝0.4.
经检验，x＝0.4是原分式方程的解，且符合题意.
答：甲种空调每台的进价为0.4万元，乙种空调每台的进价为0.2万元.
（2）设购进甲种空调m台，则购进乙种空调（40－m）台，
根据题意，得0.4m＋0.2（40－m）≤11.5，解得m≤17.5，
又m≥14，
∴14≤m≤17.5，则整数m的值可以是14，15，16，17，
所以商场共有四种购进方案：
①购进甲种空调14台，乙种空调26台；
②购进甲种空调15台，乙种空调25台；
③购进甲种空调16台，乙种空调24台；
④购进甲种空调17台，乙种空调23台.
25.（14分）小明遇到这样一个问题：如图1，在四边形ABCD中，E是BC的中点，AE是∠BAD的平分线，AB∥DC，求证：AD＝AB＋DC.
小明发现以下两种方法：
方法1：如图2，延长AE，DC交于点F；
方法2：如图3，在AD上取一点G，使AG＝AB，连接EG，CG.
（1）根据阅读材料，任选一种方法，求证：AD＝AB＋DC；
用学过的知识或参考小明的方法，解决下面的问题：
（2）如图4，在四边形ABCD中，AE是∠BAD的平分线，E是BC的中点，∠BAD＝60°，∠ABC＝180°－∠BCD，求证：CD＝CE.
证明：（1）方法1：延长AE，DC交于点F.
∵AB∥DF，∴∠B＝∠ECF，∠BAE＝∠F.
∵BE＝EC，
∴△ABE≌△FCE（AAS）.∴AB＝CF.
∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAF＝∠F.
∴AD＝DF.∴AD＝CF＋DC＝AB＋DC.
方法2：在AD上取一点G，使AG＝AB，连接EG，CG.
∵AB＝AG，∠BAE＝∠GAE，AE＝AE，∴△BAE≌△GAE（SAS）.
∴BE＝EG＝EC，∠AEB＝∠AEG.∴∠EGC＝∠ECG.
∵∠BEG＝∠EGC＋∠ECG，∴∠BEA＝∠ECG.
∴AE∥CG，∴∠EAG＝∠CGD.
∵AB∥CD，∴∠BAD＋∠D＝180°.
∵∠DGC＋∠DCG＋∠D＝180°，∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠DCG＝∠DGC.
∴CD＝DG.∴AD＝AG＋GD＝AB＋DC.
（2）作CM∥AB交AE的延长线于点M，CM交AD于点N，连接EN.
由（1）可知：AN＝NM，AE＝EM，∴NE平分∠ANM.
∵∠BAD＝60°，MN∥AB，∴∠MND＝∠BAD＝60°.
∴∠ENM＝∠ENA＝60°.∴∠CND＝∠CNE.
∵∠B＋∠ECN＝180°，∠ABC＝180°－∠BCD，
∴∠NCE＝∠NCD.
又CN＝CN，∴△CNE≌△CND（ASA）.
∴CD＝CE.期末综合评价
一、选择题（本大题共12题，每题3分，共36分.每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确）
1.下列各组图形中，成轴对称的两个图形是（　 　）
A. B. C. D.
2.“夜深知雪重，时闻折竹声.”这是白居易《夜雪》中对雪的描写.单个雪花的重量其实很轻，只有0.000 03 kg左右，0.000 03用科学记数法可表示为（　 　）
A.0.3×10－5 B.3×10－5
C.0.3×10－4 D.3×10－4
3.如图，为了估计一池塘岸边A，B两点之间的距离，小丽同学在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝8 m，PB＝6 m，那么点A与点B之间的距离不可能是（　 　）
第3题图
A.11.5 m B.12.5 m C.13.5 m D.14.5 m
4.下列计算正确的是（　 　）
A.3x－x＝3
B.a3÷a4＝
C.（x－1）2＝x2－2x－1
D.（－2a2）3＝－6a6
5.如图，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，若BE＝CF，则Rt△BCF≌Rt△CBE的理由是（　 　）
第5题图
A.AAS B.HL C.SAS D.ASA
6.如图，将一副三角板如图放置.若AE∥BC，则∠AFD等于（　 　）
第6题图
A.90° B.85° C.75° D.65°
7.已知等腰三角形的一个外角等于100°，则它的顶角是（　 　）
A.80° B.20°
C.80°或20° D.不能确定
8.如果多项式x2＋1加上一个单项式后，能够直接用完全平方公式进行因式分解，则添加的单项式不可以是（　 　）
A.2x B.－2x C.x4 D.－x4
9.如图，AB∥CD，O为∠BAC，∠ACD的平分线交点，OE⊥AC于点E，若OE＝2，则AB与CD之间的距离是（　 　）
第9题图
A.2 B.4 C.6 D.8
10.若（m－2＝1，则符合条件的m有（　 　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
11.《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900公里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为x天，则可列出正确的方程为（　 　）
A.＝2× \
B.＝2×
C.＝2×
D.＝2×
12.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，D为BC上一动点，EF垂直平分AD分别交AC于点E、交AB于点F，则BF的最大值为（　 　）
A. B. C. D.2
二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分）
13.要使分式有意义，则x应满足条件 .
14.如果a＋b＝3，ab＝2，那么a2＋b2＝ .
15.如图，在△ABC中，D为边BC的中点，连接AD，E，F为直线AD上的点，连接BE，CF，且BE∥CF.若AE＝15，AF＝7，则DE的长度为 .
第15题图
16.如图，点B，C，D，E在同一条直线上，△ABC为等边三角形，AC＝CD，AD＝DE，若AB＝3，AD＝m，则△ABE的面积为 （用含m的式子表示）.
第16题图
三、解答题（本大题共9题，共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（10分）（1）（河南中考）计算：÷；　　　　　 （2）因式分解：a2－4－3（a＋2）.
18.（10分）解方程：
（1）＝；
（2）＝1－.
19.（10分）先化简，再求值：（x＋y）（x－y）－（4x3y－8xy3）÷2xy，其中x＝－1，y＝.
20.（10分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，1），B（5，2），C（3，5）.
（1）作出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出三个顶点的坐标为：A1 ，B1 ，C1 ；
（2）在x轴上找一点P，使PA＋PB的值最小，请直接写出点P的坐标.
21.（10分）如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于EF长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线AP，交CD于点M.
（1）若∠ACD＝124°，求∠MAB的度数；
（2）若CN⊥AM，垂足为N，延长CN交AB于点O，连接OM，求证：OA＝OM.
22.（10分）第一步：阅读材料，掌握知识.
要把多项式am＋an＋bm＋bn分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式a，再把它的后两项分成一组，提出公因式b，从而得
am＋an＋bm＋bn＝a（m＋n）＋b（m＋n）.这时，由于a（m＋n）＋b（m＋n）中又有公因式m＋n，于是可提出m＋n，从而得到（m＋n）（a＋b），因此有
am＋an＋bm＋bn＝（am＋an）＋（bm＋bn）＝a（m＋n）＋b（m＋n）＝（m＋n）（a＋b）.
这种方法称为分组法.
第二步：理解知识，尝试填空.
（1）ab－ac＋bc－b2＝（ab－ac）＋（bc－b2）＝a（b－c）－b（b－c）＝ ；
第三步：应用知识，解决问题.
（2）因式分解：x2y－4y－2x2＋8；
第四步：提炼思想，拓展应用.
（3）已知三角形的三边长分别是a，b，c，且满足a2＋2b2＋c2＝2b（a＋c），试判断这个三角形的形状，并说明理由.
23.（12分）如图，△ABC是等边三角形，E，F分别是边AB，AC上的点，且AE＝CF，CE，BF交于点P，EG⊥BF，垂足为G.
（1）求证：∠ACE＝∠CBF；
（2）若PG＝1，求EP的长度.
24.（12分）某商场购进甲、乙两种空调共40台.已知购进一台甲种空调比购进一台乙种空调进价多0.2万元；用36万元购进乙种空调数量是用18万元购进甲种空调数量的4倍.请解答下列问题：
（1）求甲、乙两种空调每台进价各是多少万元；
（2）若商场预计投入资金不多于11.5万元用于购买甲、乙两种空调，且购进甲种空调至少14台，商场有哪几种购进方案？
25.（14分）小明遇到这样一个问题：如图1，在四边形ABCD中，E是BC的中点，AE是∠BAD的平分线，AB∥DC，求证：AD＝AB＋DC.
小明发现以下两种方法：
方法1：如图2，延长AE，DC交于点F；
方法2：如图3，在AD上取一点G，使AG＝AB，连接EG，CG.
（1）根据阅读材料，任选一种方法，求证：AD＝AB＋DC；
用学过的知识或参考小明的方法，解决下面的问题：
（2）如图4，在四边形ABCD中，AE是∠BAD的平分线，E是BC的中点，∠BAD＝60°，∠ABC＝180°－∠BCD，求证：CD＝CE.

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