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第十三章 三角形 综合评价
一、选择题（本大题共12题，每题3分，共36分.每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确）
1.画△ABC的BC边上的高，正确的是（　 　）
A B C D
2.下列每组数分别是三根小木棒的长度，用这三根小木棒能摆成三角形的是（　 　）
A.1 cm，2 cm，3 cm
B.3 cm，3 cm，5 cm
C.2 cm，3 cm，5 cm
D.3 cm，5 cm，9 cm
3.具备下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（　 　）
A.∠A＋∠B＝∠C
.∠A＝∠B＝∠C
C.∠A＝2∠B＝3∠C
D.∠A∶∠B∶∠C＝1∶3∶4
4.如图，AD，BE，CF依次是△ABC的高、中线和角平分线，下列结论中错误的是（　 　）
A.∠CAD＝∠CBE
B.∠ADC＝90°
C.AE＝CE D.
∠ACB＝2∠ACF
第4题图
5.如图，∠1＝∠2＝150°，则∠3的度数为（　 　）
A.30° B.150° C.120° D.60°
第5题图
6.如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为25cm，AB比AC长6cm，则△ACD的周长为（　 　）
A.19cm B.22cm C.25cm D.31cm
第6题图
7.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，AD是角平分线，则∠ADC的度数为（　 　）
A.25° B.50° C.65° D.70°
第7题图
8.已知三角形的三个外角的度数比为2∶3∶4，则它的最大内角的度数为（　 　）
A.90° B.100° C.110° D.120°
9.如图，在△ABC中，∠B＝70°，∠C＝50°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，则∠ADE的度数是（　 　）
第9题图
A.30° B.40° C.50° D.70°
10.如图，A，B，C，D，E，F是平面上的6个点，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数是（　 　）
第10题图
A.180° B.270° C.360° D.540°
11.如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE.如果∠A＝α，∠CEA'＝β，∠BDA'＝θ，那么下列式子中正确的是（　 　）
第11题图
A.θ＝2α＋β
B.θ＝α＋2β
C.θ＝α＋β
D.θ＝180°－α－β
12.如图，在△ABC中，G是边BC上任意一点，D，E，F分别是AG，BD，CE的中点，S△ABC＝48，则S△DEF的值为（　 　）
第12题图
A.4.8 B.6 C.8 D.12
二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分）
13.如图，李叔叔家的凳子坏了，于是他给凳子加了两根木条，这样凳子就比较牢固了，他所应用的数学原理是 .
第13题图
14.等腰三角形的一边等于3，一边等于6，则它的周长等于 .
15.如图，将一个直角三角尺DEF放置在锐角三角形ABC上，使得该三角尺的两条直角边DE，DF恰好分别经过点B，C，若∠A＝50°，则∠ABD＋∠ACD＝ °.
第15题图
16.如图，在△ABC中，∠A＝52°，BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，M，N，Q分别在DB，DC，BC的延长线上，BE，CE分别平分∠MBC，∠BCN，BF，CF分别平分∠EBC，∠ECQ，则∠F＝ °.
第16题图
三、解答题（本大题共9题，共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（10分）已知a，b，c是△ABC的三边长.
（1）若a，b，c满足｜a－b｜＋｜b－c｜＝0，试判断△ABC的形状；
（2）化简：｜a－b－c｜＋｜b－c－a｜＋｜c－a－b｜.
18.（10分）如图，∠ABC＝∠FEC＝∠ADC＝90°.
（1）在△ABC中，边BC上的高是 ；
（2）在△AEC中，边AE上的高是 ；
（3）若AB＝CD＝2 cm，AE＝3 cm，求△AEC的面积及CE的长.
19.（10分）如图，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝72°，求∠DAC的度数.
20.（10分）在△ABC中，BC＝10，AB＝2.
（1）若AC的长是偶数，求AC的长；
（2）已知BD是△ABC的中线，若△ABD的周长为13，求△BCD的周长.
21.（10分）如图，在△ABC中，AD是角平分线，BE是高，它们相交于点O.
（1）若∠AOE＝60°，求∠ABE的度数；
（2）若∠BAD＝30°，∠CBE＝50°，求∠ADB的度数.
22.（10分）如图，在△ABC中，点D在BC上，∠ADB＝∠BAC，BE平分∠ABC，过点E作EF∥AD，交BC于点F.
（1）求证：∠BAD＝∠C；
（2）若∠C＝20°，∠BAC＝110°，求∠BEF的度数.
23.（12分）如图，在△BAC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC.
（1）若∠B＝72°，∠C＝30°，求：
①∠BAE的度数；
②∠DAE的度数；
（2）探究：如果只知道∠B＝∠C＋42°，也能求出∠DAE的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由.
24.（12分）定义：如果一个三角形的两个内角α与β满足：a＋2β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”.
（1）若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠B＝60°，则∠A＝ °；
（2）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°.
①若AD是∠BAC的平分线，则△ABD是“准互余三角形”吗？并说明理由；
②若点E是边BC上一点，△ABE是“准互余三角形”，∠B＝24°，求∠EAC的度数.
25.（14分）如图，在△ABC中，点D在AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E.DP平分∠ADE，交∠ACB的平分线于点P，CP与DE相交于点G，∠ACF的平分线CQ与DP的延长线相交于点Q.
（1）若∠A＝50°，∠B＝60°，则∠DPC＝ °，∠Q＝ °；
（2）若∠A＝α，当∠B的度数发生变化时，∠DPC，∠Q的度数是否发生变化？若变化，说明理由；若不变化，求出∠DPC，∠Q的度数（用含α的代数式表示）；
（3）若△PCQ中存在一个内角等于另一个内角的2倍，则所有符合条件的∠A的度数为 .第十三章 三角形 综合评价
一、选择题（本大题共12题，每题3分，共36分.每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确）
1.画△ABC的BC边上的高，正确的是（　C　）
A B C D
2.下列每组数分别是三根小木棒的长度，用这三根小木棒能摆成三角形的是（　B　）
A.1 cm，2 cm，3 cm
B.3 cm，3 cm，5 cm
C.2 cm，3 cm，5 cm
D.3 cm，5 cm，9 cm
3.具备下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（　C　）
A.∠A＋∠B＝∠C
.∠A＝∠B＝∠C
C.∠A＝2∠B＝3∠C
D.∠A∶∠B∶∠C＝1∶3∶4
4.如图，AD，BE，CF依次是△ABC的高、中线和角平分线，下列结论中错误的是（　A　）
A.∠CAD＝∠CBE
B.∠ADC＝90°
C.AE＝CE D.
∠ACB＝2∠ACF
第4题图
5.如图，∠1＝∠2＝150°，则∠3的度数为（　D　）
A.30° B.150° C.120° D.60°
第5题图
6.如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为25cm，AB比AC长6cm，则△ACD的周长为（　A　）
A.19cm B.22cm C.25cm D.31cm
第6题图
7.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，AD是角平分线，则∠ADC的度数为（　C　）
A.25° B.50° C.65° D.70°
第7题图
8.已知三角形的三个外角的度数比为2∶3∶4，则它的最大内角的度数为（　B　）
A.90° B.100° C.110° D.120°
9.如图，在△ABC中，∠B＝70°，∠C＝50°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，则∠ADE的度数是（　A　）
第9题图
A.30° B.40° C.50° D.70°
10.如图，A，B，C，D，E，F是平面上的6个点，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数是（　C　）
第10题图
A.180° B.270° C.360° D.540°
11.如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE.如果∠A＝α，∠CEA'＝β，∠BDA'＝θ，那么下列式子中正确的是（　A　）
第11题图
A.θ＝2α＋β
B.θ＝α＋2β
C.θ＝α＋β
D.θ＝180°－α－β
12.如图，在△ABC中，G是边BC上任意一点，D，E，F分别是AG，BD，CE的中点，S△ABC＝48，则S△DEF的值为（　B　）
第12题图
A.4.8 B.6 C.8 D.12
二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分）
13.如图，李叔叔家的凳子坏了，于是他给凳子加了两根木条，这样凳子就比较牢固了，他所应用的数学原理是　三角形具有稳定性　.
第13题图
14.等腰三角形的一边等于3，一边等于6，则它的周长等于　15　.
15.如图，将一个直角三角尺DEF放置在锐角三角形ABC上，使得该三角尺的两条直角边DE，DF恰好分别经过点B，C，若∠A＝50°，则∠ABD＋∠ACD＝　40　°.
第15题图
16.如图，在△ABC中，∠A＝52°，BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，M，N，Q分别在DB，DC，BC的延长线上，BE，CE分别平分∠MBC，∠BCN，BF，CF分别平分∠EBC，∠ECQ，则∠F＝　16　°.
第16题图
三、解答题（本大题共9题，共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（10分）已知a，b，c是△ABC的三边长.
（1）若a，b，c满足｜a－b｜＋｜b－c｜＝0，试判断△ABC的形状；
（2）化简：｜a－b－c｜＋｜b－c－a｜＋｜c－a－b｜.
解：（1）∵｜a－b｜＋｜b－c｜＝0，
∴a－b＝0且b－c＝0.
∴a＝b＝c.
∴△ABC为等边三角形.
（2）∵a，b，c是△ABC的三边长，
∴a－b－c＜0，b－c－a＜0，c－a－b＜0，
∴原式＝b＋c－a＋a＋c－b＋a＋b－c＝a＋b＋c.
18.（10分）如图，∠ABC＝∠FEC＝∠ADC＝90°.
（1）在△ABC中，边BC上的高是　AB　；
（2）在△AEC中，边AE上的高是　CD　；
（3）若AB＝CD＝2 cm，AE＝3 cm，求△AEC的面积及CE的长.
解：（3）∵AE＝3 cm，CD＝2 cm，
∴S△AEC＝CE·AB＝AE·CD
＝×3×2
＝3（cm2）.
∴CE＝＝＝3（cm）.
故S△AEC＝3 cm2，CE＝3 cm.
19.（10分）如图，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝72°，求∠DAC的度数.
解：∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，而∠3＝∠1＋∠2，
∴∠3＝∠4＝∠1＋∠2＝2∠1.
在△ADC中，∠DAC＋∠3＋∠4＝180°，∴∠DAC＋4∠1＝180°.
∵∠BAC＝∠1＋∠DAC＝72°，∴∠1＋180°－4∠1＝72°，
解得∠1＝36°，∴∠DAC＝72°－36°＝36°.
20.（10分）在△ABC中，BC＝10，AB＝2.
（1）若AC的长是偶数，求AC的长；
（2）已知BD是△ABC的中线，若△ABD的周长为13，求△BCD的周长.
解：（1）由三角形的三边关系可知：BC－AB＜AC＜BC＋AB，
则10－2＜AC＜10＋2，即8＜AC＜12.
∵AC的长是偶数，
∴AC＝10.
（2）∵△ABD的周长为13，
∴AB＋AD＋BD＝13.
∵AB＝2，∴AD＋BD＝11.
∵BD是△ABC的中线，
∴AD＝CD.∴CD＋BD＝11.
∵BC＝10，
∴△BCD的周长为BC＋CD＋BD＝11＋10＝21.
21.（10分）如图，在△ABC中，AD是角平分线，BE是高，它们相交于点O.
（1）若∠AOE＝60°，求∠ABE的度数；
（2）若∠BAD＝30°，∠CBE＝50°，求∠ADB的度数.
解：（1）由条件可知∠BEA＝90°，
又∠AOE＝60°，
∴∠DAE＝90°－∠AOE＝30°.
∵AD是角平分线，
∴∠BAE＝2∠DAE＝60°.
∴∠ABE＝90°－∠BAE＝30°.
∴∠ABE的度数为30°.
（2）由条件可知∠BEC＝90°，
又∠CBE＝50°，
∴∠C＝90°－∠CBE＝40°.
∵AD是角平分线，
∴∠CAD＝∠BAD＝30°.
∴∠ADB＝∠C＋∠CAD＝70°.
22.（10分）如图，在△ABC中，点D在BC上，∠ADB＝∠BAC，BE平分∠ABC，过点E作EF∥AD，交BC于点F.
（1）求证：∠BAD＝∠C；
（2）若∠C＝20°，∠BAC＝110°，求∠BEF的度数.
（1）证明：∵∠ABC＋∠BAC＋∠C＝180°，∠ABC＋∠BDA＋∠BAD＝180°，∠ADB＝∠BAC，∴∠BAD＝∠C.
（2）解：∵∠C＝20°，∠BAC＝110°，
∴∠ABC＝180°－20°－110°＝50°.
∵BE平分∠ABC，∴∠EBF＝∠ABC＝25°.
∵∠BDA＝∠BAC＝110°，∴∠BHD＝180°－∠HBD－∠BDA＝180°－25°－110°＝45°.
∵AD∥EF，∴∠BEF＝∠BHD＝45°.
23.（12分）如图，在△BAC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC.
（1）若∠B＝72°，∠C＝30°，求：
①∠BAE的度数；
解：（1）①∵∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°－72°－30°＝78°，
∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠BAC＝39°.
②∠DAE的度数；
解：②∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°－∠B＝18°，
∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝39°－18°＝21°.
（2）探究：如果只知道∠B＝∠C＋42°，也能求出∠DAE的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由.
解：（2）能.∵∠B＝∠C＋42°，
∴∠C＝∠B－42°.
∵∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，∴2∠B＋∠BAC＝222°，∴∠BAC＝222°－2∠B.
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝111°－∠B，在△ABD中，∠BAD＝90°－∠B，
∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝（111°－∠B）－（90°－∠B）＝21°.
24.（12分）定义：如果一个三角形的两个内角α与β满足：a＋2β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”.
（1）若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠B＝60°，则∠A＝　15　°；
（2）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°.
①若AD是∠BAC的平分线，则△ABD是“准互余三角形”吗？并说明理由；
解：（2）①△ABD是“准互余三角形”，
理由：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAC＝2∠BAD.
∵∠ACB＝90°，
∴∠BAC＋∠B＝90°.
∴2∠BAD＋∠B＝90°.
∴△ABD是“准互余三角形”.
②若点E是边BC上一点，△ABE是“准互余三角形”，∠B＝24°，求∠EAC的度数.
解：②∵△ABE是“准互余三角形”，
∴∠EAB＋2∠ABC＝90°或2∠EAB＋∠ABC＝90°.
∵∠ABC＝24°，
∴∠EAB＝42°或∠EAB＝33°.
当∠EAB＝42°，∠ABC＝24°时，∠AEC＝66°，
∴∠EAC＝90°－∠AEC＝24°；
当∠EAB＝33°，∠ABC＝24°时，∠AEC＝57°，
∴∠EAC＝90°－∠AEC＝33°.
∴∠EAC的度数为24°或33°.
25.（14分）如图，在△ABC中，点D在AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E.DP平分∠ADE，交∠ACB的平分线于点P，CP与DE相交于点G，∠ACF的平分线CQ与DP的延长线相交于点Q.
（1）若∠A＝50°，∠B＝60°，则∠DPC＝　115　°，∠Q＝　25　°；
（2）若∠A＝α，当∠B的度数发生变化时，∠DPC，∠Q的度数是否发生变化？若变化，说明理由；若不变化，求出∠DPC，∠Q的度数（用含α的代数式表示）；
（3）若△PCQ中存在一个内角等于另一个内角的2倍，则所有符合条件的∠A的度数为　60°或90°或120°　.
解：（2）不变，∠DPC＝90°＋α，
∠Q＝α，理由如下：
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠PGD＝∠BCP.
∴DP平分∠ADE，CP平分∠ACB.
∴∠PDG＝∠ADE＝∠B，∠PGD＝∠BCP＝∠ACB.
∴∠PDG＋∠PGD＝（∠B＋∠ACB）.
∵∠A＝α，
∴∠B＋∠ACB＝180°－α.
∴∠PDG＋∠PGD＝90°－α.
在△DPG中，∠DPC＝180°－＝90°＋α.
∵CP平分∠ACB，CQ平分∠ACF，
∴∠ACP＝∠ACB，∠ACQ＝∠ACF.
∴∠PCQ＝∠ACP＋∠ACQ＝（∠ACB＋∠ACF）＝×180°＝90°.
∴∠Q＝∠DPC－∠PCQ＝90°＋α－90°＝α.
（3）60°或90°或120°　[由（2）可知：在△PCQ中，∠QPC＝90°－α，∠Q＝α，∠PCQ＝90°，
∴当△PCQ中存在一个内角等于另一个内角的2倍时，分以下4种情况讨论：
①当∠PCQ＝2∠Q时，则90°＝2×α，
解得α＝90°；
②当∠PCQ＝2∠QPC时，则90°＝2，
解得α＝90°；
③当∠QPC＝2∠Q时，则90°－α＝2×α，
解得α＝60°；
④当∠Q＝2∠QPC时，则α＝2，
解得α＝120°.
综上所述，若△PCQ中存在一个内角等于另一个内角的2倍，则∠A的度数为60°或90°或120°.]

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