资源简介

3.2.1　基本不等式　(教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
[课时目标]
1．掌握基本不等式≤(a≥0，b≥0)，掌握基本不等式的变形及应用．
2．能熟练运用基本不等式来比较两个代数式的大小及证明不等式．
1．基本不等式
设a≥0，b≥0，则≥ ，当且仅当a＝b时，等号成立．这个不等式称为基本不等式，其中，__________称为a，b的算术平均值，________称为a，b的几何平均值．可表述为：两个非负实数的算术平均值______________它们的几何平均值．
2．基本不等式链
设a＞0，b＞0，则有≤≤≤ 或ab≤2≤，当且仅当a＝b时，等号成立．
|微|点|助|解|　
(1)基本不等式≥中，要求a，b都是正实数，否则，若a<0，b<0，如a＝－2，b＝－4，则会出现≥的错误结论．若a，b中有一个小于0，如a＝2，b＝－4，则无意义．
(2)基本不等式中的a，b的取值既可以是某个具体的正数，也可以是一个代数式，但是代数式的结果应为正数．
基础落实训练
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若a≥0，b≥0且a≠b，则a＋b>2.(　 )
(2)6和8的几何平均值为2.(　 )
(3)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2 均成立．(　 )
(4)若a≠0，则a＋≥2 ＝2.(　 )
2．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是(　 )
A．a＝±1 B．a＝1
C．a＝－1 D．a＝0
3．设a>b>0，则下列不等式一定成立的是(　 )
A．a－b<0 B．0<<1
C.< D．ab>a＋b
4．(多选)当a，b∈R时，下列不等关系不成立的是(　 )
A.≥ B．a－b≥2
C．a2＋b2≥2ab D．a2－b2≥2ab
题型(一)　对基本不等式的理解
[例1]　若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是(　 )
A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2
C.＋> D.＋≥2
[例2]　不等式a＋1≥2(a>0)中，等号成立的条件是(　 )
A．a＝0 B．a＝
C．a＝1 D．a＝2
听课记录：
|思|维|建|模|
对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面
(1)定理成立的条件是a，b都是正数．
(2)“当且仅当”的含义：当a＝b时，≤的等号成立，即a＝b ＝；仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝ a＝b.
[针对训练]
1．下列不等式等号可以取到的是(　 )
A.＋≥2
B．x2＋2＋≥2
C．x2＋≥2
D．|x|＋3＋≥2
题型(二)　利用基本不等式比较大小
[例3]　设0A．aC．a<[例4]　已知m＝a＋(a>2)，n＝2－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是________．
听课记录：
|思|维|建|模|
利用基本不等式比较大小的注意事项
(1)利用基本不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积)．
(2)利用基本不等式时，一定要注意条件是否满足a≥0，b≥0.
[针对训练]
2．设0A. B．b
C．2ab D．a2＋b2
3．已知a，b，c是两两不等的实数，则a2＋b2＋c2与ab＋bc＋ac的大小关系是________________________________________________________________________．
题型(三)　利用基本不等式证明不等式
[例5]　已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1. 求证：＋＋>9.
听课记录：
[变式拓展]
本例条件不变，求证：>8.
|思|维|建|模|
利用基本不等式证明不等式的两种题型及解题思路
无附加条件 观察要证不等式的结构特征，若不能直接使用基本不等式，则要结合左、右两边的结构特征，进行拆项、变形、配凑(加减项或乘除某个实系数)等，使之满足使用基本不等式的条件
有附加条件 观察已知条件与要证不等式之间的关系，条件的巧妙代换是一种较为重要的变形．另外，解题过程中要时刻注意等号能否取到
[针对训练]
4．已知x>0，y>0，求证：(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3.
基本不等式
课前预知教材
1.　　大于或等于
[基础落实训练]　1.(1)√　(2)×　 (3)×
(4)×　2.B　3.C　4.ABD
?课堂题点研究
[题型(一)]
[例1]　选D　对于A，当a＝b时，应有a2＋b2＝2ab，故A错误；对于B，C，条件ab>0，只能说明a，b同号，当a，b都小于0时，B、C错误；对于D，因为ab>0，所以>0，>0，所以＋≥2 ＝2，当且仅当a＝b时，等号成立，故D正确．
[例2]　选C　因为a>0，根据基本不等式≤，当且仅当a＝b时，等号成立，故a＋1≥2中，当且仅当a＝1时，等号成立．
[针对训练]
1．选C　对于A，因为>0，所以＋≥2＝2，当且仅当＝，即x2＝－4，故等号不成立，故A不符合；对于B，因为x2＋2>0，所以x2＋2＋≥2 ＝2，当且仅当x2＋2＝，即x2＝－1，故等号不成立，故B不符合；对于C，因为x2>0，所以x2＋≥2＝2，当且仅当x2＝，即x＝±1时取等号，故C符合；对于D，因为|x|＋3>0，所以|x|＋3＋≥2 ＝2，当且仅当|x|＋3＝，即|x|＝－2，故等号不成立，故D不符合．
[题型(二)]
[例3]　选B　法一：∵0∴a<又－a＝(－)>0，即>a，排除D项，故选B.
法二：取a＝2，b＝8，则＝4，＝5，
所以a＜＜＜b. 故选B.
[例4]　解析：因为a>2，所以a－2>0，
又因为m＝a＋＝(a－2)＋＋2，所以m≥2＋2＝4，当且仅当a－2＝，即a＝3时，等号成立．由b≠0，得b2≠0，所以2－b2<2，n＝2－b2<4，综上可知m>n.
答案：m>n
[针对训练]
2．选B　∵ab<2，
∴ab<，∴2ab<.
∵ >>0，
∴ >，∴a2＋b2>.
∵b－(a2＋b2)＝(b－b2)－a2＝b(1－b)－a2＝ab－a2＝a(b－a)>0，
∴b>a2＋b2，∴b最大．
3．解析：∵a，b，c互不相等，∴a2＋b2>2ab，b2＋c2>2bc，a2＋c2>2ac.∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)，即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac.
答案：a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac
[题型(三)]
[例5]　证明：∵a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，
∴＋＋＝＋＋＝3＋＋＋＋＋＋＝3＋＋＋>3＋2 ＋2＋2＝3＋2＋2＋2＝9.
∴＋＋>9.
[变式拓展]
证明：∵a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，∴－1＝>0，－1＝>0，－1＝>0，
∴＝··>＝8.
∴>8.
[针对训练]
4．证明：∵x，y都是正数，
∴x＋y≥2>0，
x2＋y2≥2>0，
x3＋y3≥2>0.
∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥2·2·2＝8x3y3，
即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3，
当且仅当x＝y时，等号成立．
4 / 4(共54张PPT)
基本不等式　
(教学方式:深化学习课—梯度进阶式教学)
3.2.1
课时目标
1.掌握基本不等式≤(a≥0,b≥0),掌握基本不等式的变形及应用.
2.能熟练运用基本不等式来比较两个代数式的大小及证明不等式.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
1.基本不等式
设a≥0,b≥0,则≥,当且仅当a=b时,等号成立.这个不等式称为基本不等式,其中,_________称为a,b的算术平均值,_______称为a,b的几何平均值.可表述为:两个非负实数的算术平均值_____________它们的几何平均值.
2.基本不等式链
设a>0,b>0,则有≤≤≤或ab≤≤,当且仅当a=b时,等号成立.
|微|点|助|解| 　
(1)基本不等式≥中,要求a,b都是正实数,否则,若a<0,b<0,如a=-2,
b=-4,则会出现≥的错误结论.若a,b中有一个小于0,如a=2,b=-4,则无意义.
(2)基本不等式中的a,b的取值既可以是某个具体的正数,也可以是一个代数式,但是代数式的结果应为正数.
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)若a≥0,b≥0且a≠b,则a+b>2. ( 　 )
(2)6和8的几何平均值为2. (　 )
(3)对任意a,b∈R,a2+b2≥2ab,a+b≥2 均成立. (　 )
(4)若a≠0,则a+≥2 =2. ( )
√
×
×
×
2.不等式a2+1≥2a中等号成立的条件是 (　 )
A.a=±1 B.a=1
C.a=-1 D.a=0
解析:当a2+1=2a,即(a-1)2=0,即a=1时,等号成立.
√
3.设a>b>0,则下列不等式一定成立的是 (　 )
A.a-b<0 B.0<<1
C.< D.ab>a+b
解析:∵a>b>0,由基本不等式知<一定成立.
√
4.(多选)当a,b∈R时,下列不等关系不成立的是 (　 )
A.≥ B.a-b≥2
C.a2+b2≥2ab D.a2-b2≥2ab
解析:根据≥ab,≥成立的条件判断,知A、B、D错误,只有C正确.
√
√
√
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一)　对基本不等式的理解
[例1]　若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是 (　 )
A.a2+b2>2ab B.a+b≥2
C.+> D.+≥2
√
解析:对于A,当a=b时,应有a2+b2=2ab,故A错误;对于B,C,条件ab>0,只能说明a,b同号,当a,b都小于0时,B、C错误;对于D,因为ab>0,所以>0,>0,所以+≥2=2,当且仅当a=b时,等号成立,故D正确.
[例2]　不等式a+1≥2(a>0)中,等号成立的条件是(　 )
A.a=0 B.a=
C.a=1 D.a=2
解析:因为a>0,根据基本不等式≤,当且仅当a=b时,等号成立,故a+1≥2中,当且仅当a=1时,等号成立.
√
|思|维|建|模|
对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面
(1)定理成立的条件是a,b都是正数.
(2)“当且仅当”的含义:当a=b时,≤的等号成立,即a=b =;仅当a=b时,≥的等号成立,即= a=b.
针对训练
1.下列不等式等号可以取到的是 (　 )
A.+≥2 　B.x2+2+≥2
C.x2+≥2 　D.|x|+3+≥2
√
解析:对于A,因为>0,所以+≥2=2,当且仅当=,即x2=-4,故等号不成立,故A不符合;对于B,因为x2+2>0,所以x2+2+≥2=2,当且仅当x2+2=,即x2=-1,故等号不成立,故B不符合;对于C,因为x2>0,所以x2+≥2=2,
当且仅当x2=,即x=±1时取等号,故C符合;对于D,因为|x|+3>0,所以|x|+3+≥2=2,当且仅当|x|+3=,即|x|=-2,故等号不成立,故D不符合.
[例3]　设0A.aC.a<题型(二)　利用基本不等式比较大小
√
解析:法一:∵00,即>a,排除D项,故选B.
法二:取a=2,b=8,则=4,=5,
所以a<<[例4]　已知m=a+(a>2),n=2-b2(b≠0),则m,n之间的大小关系是　 　.
解析:因为a>2,所以a-2>0,
又因为m=a+=(a-2)++2,
所以m≥2+2=4,
当且仅当a-2=,即a=3时,等号成立.
由b≠0,得b2≠0,所以2-b2<2,n=2-b2<4,综上可知m>n.
m>n
|思|维|建|模|
利用基本不等式比较大小的注意事项
(1)利用基本不等式比较大小,常常要注意观察其形式(和与积).
(2)利用基本不等式时,一定要注意条件是否满足a≥0,b≥0.
针对训练
2.设0A. B.b
C.2ab D.a2+b2
√
解析:∵ab<,∴ab<,∴2ab<.
∵>>0,∴>,∴a2+b2>.∵b-(a2+b2)=(b-b2)-a2=b(1-b)-a2=ab-a2=a(b-a)>0,∴b>a2+b2,∴b最大.
3.已知a,b,c是两两不等的实数,则a2+b2+c2与ab+bc+ac的大小关系是___________________.
解析:∵a,b,c互不相等,∴a2+b2>2ab,b2+c2>2bc,a2+c2>2ac.
∴2(a2+b2+c2)>2(ab+bc+ac),即a2+b2+c2>ab+bc+ac.
a2+b2+c2>ab+bc+ac
题型(三)　利用基本不等式证明不等式
[例5] 已知a,b,c是互不相等的正数,且a+b+c=1. 求证:++>9.
证明:∵a,b,c是互不相等的正数,且a+b+c=1,
∴++=++
=3++++++=3+++>3
+2+2+2=3+2+2+2=9.∴++>9.
变式拓展
本例条件不变,求证:>8.
证明:∵a,b,c是互不相等的正数,且a+b+c=1,
∴-1=>0,-1=>0,-1=>0,
∴=··>=8.
∴>8.
|思|维|建|模|
利用基本不等式证明不等式的两种题型及解题思路
无附加条件 观察要证不等式的结构特征,若不能直接使用基本不等式,则要结合左、右两边的结构特征,进行拆项、变形、配凑(加减项或乘除某个实系数)等,使之满足使用基本不等式的条件
有附加条件 观察已知条件与要证不等式之间的关系,条件的巧妙代换是一种较为重要的变形.另外,解题过程中要时刻注意等号能否取到
4.已知x>0,y>0,求证:(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3.
证明:∵x,y都是正数,
∴x+y≥2>0,
x2+y2≥2>0,x3+y3≥2>0.
针对训练
∴(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥2·2·2=8x3y3,
即(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3,
当且仅当x=y时,等号成立.
课时跟踪检测
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A级——达标评价
1.(多选)下列条件可使+≥2成立的有(　 )
A.ab>0 B.ab<0
C.a>0,b>0 D.a<0,b<0
解析:根据基本不等式的条件,a,b同号,则>0,>0.
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2.设t=a+2b,s=a+b2+1,则t与s的大小关系是 (　 )
A.s≥t B.s>t
C.s≤t D.s解析:∵b2+1≥2b(当且仅当b=1时等号成立),∴a+2b≤a+b2+1.∴t≤s.
√
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3.下列不等式中正确的是 (　 )
A.a+≥4 B.a2+b2≥4ab
C.≥ D.x2+≥2
解析:若a<0,则a+≥4不成立,故A错误;若a=1,b=1,则a2+b2<4ab,故B错误;若a=4,b=16,则<,故C错误;由基本不等式可知D正确.
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4.(多选)设a,b∈R,且a≠b, a+b=2,则必有 (　 )
A.ab>1 B.ab<1
C.<1 D.>1
解析:由基本不等式可得ab≤, a≠b,所以ab<1, 又1==
<=(a2+b2),
√
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所以(a2+b2)>1,所以 ab<1<(a2+b2) ,所以A不符合题意,B正确,C不符合题意,D正确,故选B、D.
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5.设M=,N=n3++6,对于任意的n>0,M,N的大小关系为(　 )
A.M≥N B.M>N
C.M≤N D.不能确定
解析: M-N=-n3--6=n3+++3n-n3--6=3-6,∵n>0,
∴n+≥2=2,当且仅当n=1时,等号成立,∴3-6≥0,∴M≥N.
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6.下列不等式:①a2+1>2a;②≥2;③≤2;④x2+≥1.其中正确的个数是　　　　.
解析:由基本不等式可知②④正确.
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7.不等式+(x-2)≥6(其中x>2)中等号成立的条件是　　　.
解析:当x>2时,+(x-2)≥2=6,等号成立的条件是 =x-2,即(x-2)2=9,解得x=5(x=-1舍去).
x=5
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8.已知a>b>c,则与的大小关系是_________________
_______.
解析:因为a>b>c,所以a-b>0,b-c>0,
所以=≥,当且仅当a-b=b-c时,等号成立.
≤
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9.已知m=a+(a>2),n=2-b2(b≠0),则m,n之间的大小关系是　　　.
解析:因为a>2,所以a-2>0,又因为m=a+=(a-2)++2,所以m≥2+2=4,当且仅当a-2=,即a=3时,等号成立.由b≠0,得b2≠0,所以2-b2<2,n=2-b2<2<4,综上可知m>n.
m>n
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10.(10分)已知a,b,c为不全相等的正实数,求证:a+b+c>++.
证明:∵a>0,b>0,c>0,∴≥,≥,≥.∴++≥
++,即a+b+c≥++.由于a,b,c不全相等,∴等号不成立,∴a+b+c>++.
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B级——重点培优
11.两个工厂生产同一种产品,其产量分别为a,b(00)的值记为A,G,H并进行分析.则A,G,H的大小关系为(　 )
A.HC.A√
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解析:由=1得x-a=b-x,解得x=,即A=;由=得x2-ax=ab-ax,解得x=,即G=;由=得bx-ab=ab-ax,解得x=,即H=≤
=.又≥,∴≤≤,当且仅当a=b时,等号成立.
∴H1
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12.(多选)设a>0,b>0,则下列不等式一定成立的是 (　 )
A.a+b+≥2 B.≤
C.≥ D.(a+b)≥4
√
√
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解析:因为a>0,b>0,所以a+b+≥2+≥2,当且仅当a=b且2=,即a=b=时,等号成立,故A一定成立.由做差比较法,-=≥0,可知≤,故B一定成立.因为a+b≥2>0, 所以≤=,当且仅当a=b时,等号成立,故C不一定成立.因为(a+b)=2++≥4,当且仅当a=b时,等号成立,故D一定成立.
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13.(10分)已知a>b>c,你能比较出4与·(a-c)的大小吗
解:(a-c)≥4,理由如下:
因为a-c=(a-b)+(b-c),
所以[(a-b)+(b-c)]=2++,
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又a>b>c,所以a-b>0,b-c>0,
所以+≥2,当且仅当=,
即b-c=a-b时,等号成立.
则2++≥4.
故(a-c)≥4.
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14.(13分)设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:
(1)a2+b2+c2≥;
证明:由a+b+c=1,得(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=1,
又由基本不等式可知当a,b,c均为正数时,
2ab≤a2+b2,2ac≤a2+c2,2bc≤b2+c2,
当且仅当a=b=c=时,上述不等式等号均成立,
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所以a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc≤3a2+3b2+3c2,即3(a2+b2+c2)≥1,
所以a2+b2+c2≥,当且仅当a=b=c=时,等号成立.
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(2)++≥1.
证明:因为a,b,c均为正数,
所以+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,当且仅当a=b=c=时,不等式等号均成立,
则+++b+c+a≥2a+2b+2c,
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即++≥a+b+c=1,当且仅当a=b=c=时,等号成立.
所以++≥1.课时跟踪检测(十一)　基本不等式
(满分90分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1．(多选)下列条件可使＋≥2成立的有(　　)
A．ab>0 B．ab<0
C．a>0，b>0 D．a<0，b<0
2．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是(　　)
A．s≥t B．s>t
C．s≤t D．s3．下列不等式中正确的是(　　)
A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab
C.≥ D．x2＋≥2
4．(多选)设a，b∈R，且a≠b, a＋b＝2，则必有(　　)
A．ab>1 B．ab<1
C.<1 D.>1
5．设M＝3，N＝n3＋＋6，对于任意的n>0，M，N的大小关系为(　　)
A．M≥N B．M>N
C．M≤N D．不能确定
6．下列不等式：①a2＋1>2a；②≥2；③≤2；④x2＋≥1.其中正确的个数是________．
7．不等式＋(x－2)≥6(其中x>2)中等号成立的条件是__________.
8．已知a＞b＞c，则 与的大小关系是________________．
9．已知m＝a＋(a>2)，n＝2－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是________．
10．(10分)已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：a＋b＋c>＋＋.
B级——重点培优
11．两个工厂生产同一种产品，其产量分别为a，b(00)的值记为A，G，H并进行分析．则A，G，H的大小关系为(　　)
A．HC．A12．(多选)设a>0，b>0，则下列不等式一定成立的是(　　)
A．a＋b＋≥2 B.2≤
C.≥ D．(a＋b)≥4
13．(10分)已知a>b>c，你能比较出4与·(a－c)的大小吗？
14．(13分)设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：
(1)a2＋b2＋c2≥；
(2)＋＋≥1.
课时跟踪检测(十一)
1．选ACD　根据基本不等式的条件，a，b同号，则>0，>0.
2．选A　∵b2＋1≥2b(当且仅当b＝1时等号成立)，∴a＋2b≤a＋b2＋1.∴t≤s.
3．选D　若a<0，则a＋≥4不成立，故A错误；若a＝1，b＝1，则a2＋b2<4ab，故B错误；若a＝4，b＝16，则<，故C错误；由基本不等式可知D正确．
4．选BD　由基本不等式可得ab≤2, a≠b，所以ab<1, 又1＝＝<＝(a2＋b2)，所以(a2＋b2)>1，所以 ab<1<(a2＋b2) ，所以A不符合题意，B正确，C不符合题意，D正确，故选B、D.
5．选A　M－N＝3－n3－－6＝n3＋＋＋3n－n3－－6＝3－6，∵n>0，∴n＋≥2＝2，当且仅当n＝1时，等号成立，∴3－6≥0，∴M≥N.
6．解析：由基本不等式可知②④正确．
答案：2
7．解析：当x>2时，＋(x－2)≥2 ＝6，等号成立的条件是 ＝x－2，即(x－2)2＝9，解得x＝5(x＝－1舍去)．
答案：x＝5
8．解析：因为a＞b＞c，所以a－b＞0，b－c＞0，所以＝≥，当且仅当a－b＝b－c时，等号成立．
答案：≤
9．解析：因为a>2，所以a－2>0，
又因为m＝a＋＝(a－2)＋＋2，所以m≥2＋2＝4，当且仅当a－2＝，即a＝3时，等号成立．由b≠0，得b2≠0，所以2－b2<2，n＝2－b2<2<4，综上可知m>n.
答案：m>n
10．证明：∵a>0，b>0，c>0，∴≥，≥，≥.∴＋＋≥＋＋，即a＋b＋c≥＋＋.由于a，b，c不全相等，∴等号不成立，∴a＋b＋c>＋＋.
11．选A　由＝1得x－a＝b－x，解得x＝，即A＝；由＝得x2－ax＝ab－ax，解得x＝，即G＝；由＝得bx－ab＝ab－ax，解得x＝，即H＝≤＝.又≥ ，∴≤≤，当且仅当a＝b时，等号成立．∴H12．选ABD　因为a>0，b>0，所以a＋b＋≥2＋≥2，当且仅当a＝b且2＝，即a＝b＝时，等号成立，故A一定成立．由做差比较法，－＝≥0，可知2≤，故B一定成立．因为a＋b≥2>0, 所以≤＝，当且仅当a＝b时，等号成立，故C不一定成立．因为(a＋b)＝2＋＋≥4，当且仅当a＝b时，等号成立，故D一定成立．
13．解：(a－c)≥4，理由如下：
因为a－c＝(a－b)＋(b－c)，
所以[(a－b)＋(b－c)]＝2＋＋，
又a>b>c，所以a－b>0，b－c>0，
所以＋≥2，当且仅当＝，即b－c＝a－b时，等号成立．
则2＋＋≥4.
故(a－c)≥4.
14．证明：(1)由a＋b＋c＝1，得(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝1，
又由基本不等式可知当a，b，c均为正数时，2ab≤a2＋b2,2ac≤a2＋c2,2bc≤b2＋c2，
当且仅当a＝b＝c＝时，上述不等式等号均成立，所以a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc≤3a2＋3b2＋3c2，即3(a2＋b2＋c2)≥1，
所以a2＋b2＋c2≥，当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
(2)因为a，b，c均为正数，所以＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，当且仅当a＝b＝c＝时，不等式等号均成立，
则＋＋＋b＋c＋a≥2a＋2b＋2c，
即＋＋≥a＋b＋c＝1，
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
所以＋＋≥1.
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