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5.1.3基本计数原理的简单应用
1.现有6种不同的颜色给图中的四块区域涂色，若每个区域涂一种颜色，相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有( )
A.400种 B.460种 C.480种 D.496种
2.某社区新建了一个休闲小公园，几条小径将公园分成5个区域，如图．社区准备从4种颜色不同的花卉中选择若干种种植在各个区域中，要求每个区域种植一种颜色的花卉，且相邻区域（有公共边的）所种花卉颜色不能相同，则不同种植方法的种数共有( )
A.96 B.114 C.168 D.240
3.已知某超市为顾客提供四种结账方式:现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲只会用现金结账，顾客乙只会用现金和银联卡结账，顾客丙与甲.乙结账方式不同，丁用哪种结账方式都可以若甲乙丙丁购物后依次结账，那么他们结账方式的组合种数共有( )
A.36种 B.30种 C.24种 D.20种
4.中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学喜欢牛、马和猴，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢.现让甲、乙、丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏，若各人所选取的礼物都是自己喜欢的，则不同的选法共有( )
A.50种 B.60种 C.80种 D.90种
5.我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》做注解时给出的“弦图”如图所示，现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有( )
A.48种 B.72种 C.96种 D.144种
6.由0，1，2，3，5组成的无重复数字的五位偶数共有( )
A.36个 B.42个 C.48个 D.120个
7.如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数为( )
A.24 B.48 C.96 D.120
8.如图为我国数学家赵爽在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为( )
A.120 B.260 C.340 D.420
9.现用五种不同的颜色对如图所示的四个部分进行涂色，要求有公共边的两块不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法种数为( )
A.180 B.200 C.240 D.260
10.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为，值域为的“孪生函数”共有( )
A.10个 B.9个 C.8个 D.4个
11.如图，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有___________个（用数字作答）.
12.某学校有东、南、西、北4个校门.受甲流的影响，学校对进入4个校门做出如下规定：学生只能从东门或西门进入校园，教师只能从南门或北门进入校园.现有3名教师和4名学生要进入校园（不分先后顺序），则进入校园的方式共有___________种（用数字作答）.
13.现有5种不同的颜色给如图所示的几何体的五个顶点P，A，B，C，D涂色，要求同一条棱上的两个顶点颜色不能相同，则一共有______________种涂法.
14.有红、黄、蓝旗各3面，每次升1面、2面或3面旗纵向排列在某一旗杆上表示不同的信号，顺序不同也表示不同的信号，共可以组成_______________种不同的信号.
15.如图，在由开关组A与B组成的电路中，闭合开关使灯发光的方法有_______________种.
答案以及解析
1.答案：C
解析：当使用4种颜色时，不同的涂法有种方法;
当使用3种颜色时，不同的涂法有种方法;
所以不同的涂法共有种.
故选:C.
2.答案：C
解析：先在a中种植，有4种不同的种植方法，再在b中种植，有3种不同的种植方法，
再在c中种植，分两类：
第一类：若c与b同色，则d中有3种不同的种植方法，
第二类：若c与b不同色，则c中有2种不同的种植方法，d中有2种不同的种植方法，
最后在e中种植，有2种不同的种植方法.
所以不同种植方法的种数共有（种）．
故选：C．
3.答案：D
解析：当乙用现金结算时，此时甲和乙都用现金结算，所以丙有3种方法，丁有4种方法，
共有种方法;当乙用银联卡结算时，此时甲用现金结算，丙有2种方法，
丁有4种方法，共有种方法，
综上，共有种方法.
故选：D.
4.答案：C
解析：按甲的不同选择分成两种情况讨论：若甲选择牛，此时乙的选择有2种，丙的选择有10种，共有（种）不同的选法；
若甲选择马或猴，此时甲的选择有2种，乙的选择有3种，丙的选择有10种，共有（种）不同的选法.
综上可知，一共有（种）不同的选法.故选C.
5.答案：B
解析：如图，设5个区域依次为A、B、C、D、E，对于A区域，有4种涂法；对于B区域，与A相邻，有3种涂法；对于C区域，与A、B相邻，有2种涂法；对于D区域，若其与B区域同色，则E区域有2种涂法，若其与B区域不同色，则E区域有1种涂法，则不同的涂色方案共有种，故选B.
6.答案：B
解析：分两类：第一类，五位数的个位数字是0，有种情形；第二类，五位数的个位数字是2，由于0不排首位，因此首位只有1，3，5这3种情形，中间任意排，故有种情形.由分类计数原理可得，无重复数字的五位偶数的个数为，故选B.
7.答案：C
解析：若颜色相同，先涂E有4种涂法，再涂有3种涂法，再涂B有2种涂法，C只有1种涂法，共有种；若颜色不同，先涂E有4种涂法，再涂A有3种涂法，再涂D有2种涂法，当B和D相同时，C有2种涂法，当B和D不同时，只有1种涂法，共有种.根据分类加法计数原理可得，共有种，故选C.
8.答案：D
解析：如图，若区域①与③颜色相同，区域①有5种涂法，区域②有4种涂法，区域④有3种涂法，区域⑤有3种涂法，由分步乘法计数原理可知不同的涂色方案有种；
若区域①与③颜色不同，区域①有5种涂法，区域②有4种涂法，区域③有3种涂法，区域④有2种涂法，区域⑤有2种涂法，由分步乘法计数原理可知不同的涂色方案有种.
综上，由分类加法计数原理可知不同的涂色方案种数为.故选D.
9.答案：D
解析：先涂Ⅰ，有5种涂法，然后涂Ⅱ，Ⅳ，最后涂Ⅲ.
①当Ⅱ，Ⅳ相同时，涂法有4×1×4种，故不同的涂色方法种数有5×4×4=80.
②当Ⅱ，Ⅳ不同时，涂法有4×3×3种，故不同的涂色方法种数有5×4×3×3=180.
综上所述，不同的涂色方法数为80+180=260.
10.答案：B
解析：由，得，由，得，所以定义域为2个元素的集合有4个，定义域为3个元素的集合有4个，定义域为4个元素的集合有1个，因此共有9个“孪生函数”.
11.答案：40
解析：把与正八边形有公共边的三角形分为2类：第1类，有一条公共边的三角形共有（个）；第2类，有两条公共边的三角形共有8个.由分类加法计数原理，知共有（个）.
12.答案：128
解析：学生只能从东门或西门进入校园，4名学生进入校园的方式共有（种）.教师只能从南门或北门进入校园，3名教师进入校园的方式共有（种）.3名教师和4名学生进入校园的方式共有（种）.
13.答案：420
解析：第1类：顶点A，C同色.顶点P有5种颜色可供选择，顶点A有4种颜色可供选择，顶点B有3种颜色可供选择，此时顶点C与顶点A同色，只有1种颜色可选，顶点D有3种颜色可供选择，不同的涂法有种.
第2类：顶点A，C不同色.顶点P有5种颜色可供选择，顶点A有4种颜色可供选择，顶点B有3种颜色可供选择，此时顶点C与顶点A不同色，有2种颜色可选，顶点D有2种颜色可供选择，不同的涂法有种.综上，不同的涂法共有种.
14.答案：39
解析：每次升1面旗可组成3种不同的信号；每次升2面旗可组成种不同的信号；每次升3面旗可组成种不同的信号.根据分类加法计数原理，共可组成种不同的信号.
15.答案：21
解析：分两类，每类中分两步.第一类:第1步：A组开关闭合一个，有2种闭法，第2步：B组开关闭合1个，有3种闭法；B组开关闭合2个，有3种闭法；B组开关闭合3个，有1种闭法.此时共种闭法.
第二类：第1步：A组开关闭合2个，共1种闭法，第2步：B组开关闭合1个，有3种闭法；B组开关闭合2个，有3种闭法；B组开关闭合3个，有1种闭法.此时共种闭法.
综上，共种闭法.

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