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5.3组合问题
1.若，则正整数( )
A.4 B.5 C.6 D.7
2.新课程改革后，普通高校招生方案规定：每位考生从物理、化学、生物、地理、政治、历史六门学科中随机选三门参加考试.某省份规定物理或历史至少选一门，那么该省份每位考生的选法共有( )
A.12种 B.15种 C.16种 D.18种
3.第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日至8月8日在成都举行，比赛项目包括15个必选项目和武术、赛艇、射击3个自选项目.若将3男、3女6名志愿者分成3组，每组一男一女，分别分配到3个自选项目比赛场馆服务，则不同的分配方案共有( )
A.540种
B.216种
C.108种
D.90种
4.一个旅游景区的游览线路如图所示，某人从P点处进，Q点处出，沿图中线路游览A B C三个景点及沿途风景，则不重复（除交汇点O外）的不同游览线路有( )
A.6种 B.8种 C.12种 D.48种
5.甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有( )
A.30种 B.60种 C.120种 D.240种
6.某科研单位准备把7名大学生分配到编号为1，2，3的三个实验室实习，若要求每个实验室分配到的大学生人数不小于该实验室的编号，则不同的分配方案的种数为( )
A.280 B.455 C.355 D.350
7.随着国潮的兴起，大众对汉服的接受度日渐提高.目前中国大众穿汉服的场景主要有汉服活动、艺术拍摄、传统节日、旅游观光、舞台表演、日常活动、婚庆典礼7类.某自媒体博主准备从图片网站上精选8张中国大众穿汉服的照片，要求每类场景至多选2张，则不同的选择方案的种数为( )
A.252 B.162 C.357 D.324
8.以长方体的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出2个三角形，则这2个三角形不共面的情况种数为( )
A.1480 B.1468 C.1516 D.1492
9.（多选）在新高考方案中，选择性考试科目有:物理、化学、生物、政治、历史、地理6门.学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据.某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是( )
A.若任意选科，选法总数为
B.若化学必选，选法总数为
C.若政治和地理至少选一门，选法总数为
D.若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为
10.（多选）若，则x的值为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
11.设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，则集合中元素个数的最大值为_________.
12.某市教育局人事部门打算将甲 乙 丙 丁 戊这5名应届大学毕业生安排到该市4所不同的学校任教，每所学校至少安排一名，每名学生只去一所学校，则不同的安排方法种数是__________.
13.甲、乙、丙等7名志愿者利用国庆假期进入3个不同的社区进行法律知识宣传，要求甲、乙、丙进入不同的社区，每个社区至少1人，每人只能参加1个社区的宣传，则不同的安排方案有___________种（用数字作答）.
14.有编号分别为1，2，3，4的四个盒子和四个小球，把小球全部放入盒子，恰有一个空盒，有________种放法.
15.某个随机数选择器每次从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中等可能地选择一个数字，用该随机数选择器连续进行三次选择，选出的数字依次是a，b，c，则概率_____________.
答案以及解析
1.答案：C
解析：，，解得（舍去）或.故选C.
2.答案：C
解析：若物理或历史只选一门，则有（种）选法.若物理和历史都选，则有（种）选法.所以共有（种）选法.故选C.
3.答案：B
解析：将3男、3女6人分成3组，每组一男一女，分组方法有种，
将这3组分别分配到3个自选项目比赛场馆的分配方法有种，
故不同的分配方案共有（种）.故选B.
4.答案：D
解析：游览每一个景点所走环形路线都有2个出入口，1、3个景点选一个先游览有种选法，2种进出方式，故有种;2、2个景点选第二个游览有种选法，有2种进出方式，故有种;3、最后一个景点有2种进出方式;
综上，一共有种.
故选:D
5.答案：C
解析：甲、乙两位同学选读课外读物可以分为两个步骤：先从6种课外读物中选择一本作为甲、乙两人共同的选择，再从剩下的5本中选择互不相同的两本，所以符合题意的选法共有（种）.故选C.
6.答案：B
解析：每个实验室人数分配有三种情况，即1，2，4；1，3，3；2，2，3.
当实验室的人数为1，2，4时，分配方案有种；
当实验室的人数为1，3，3时，分配方案有种；
当实验室的人数为2，2，3时，分配方案有种.
故不同的分配方案有455种.选B.
7.答案：C
解析：从7类场景中选8张照片，且每类场景至多选2张，也可以不选，则不同选法有，，，，所以不同的选择方案的种数为，故选C.
8.答案：B
解析：因为长方体的八个顶点中的任意三个均不共线，所以从八个顶点中任取三个均可构成1个三角形，共有个三角形，从中任选两个，共有种情况.长方体有六个面，六个对角面；每个面的四个顶点共确定4个不同的三角形，故随机取出2个三角形，则这2个三角形不共面的情况共有种，故选B.
9.答案：BD
解析：若任意选科，选法总数为，A错误;
若化学必选，选法总数为，B正确;
若政治和地理至少选一门，选法总数为，C错误;
若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为，D正确.
故选:BD.
10.答案：AC
解析：因为，
所以或，
解得或，
故选：AC.
11.答案：329
解析：由题意知集合中元素至多只有1个奇数，其余均是偶数.先讨论三位数中的偶数个数，
①当个位为0时，百位和十位在剩余的9个数字中选择两个进行排列，则这样的偶数有个；
②当个位不为0时，个位有个数字可选，百位有个数字可选，十位有个数字可选，根据分步乘法计数原理知这样的偶数共有个，
最后加上单独的1个奇数，所以集合中元素个数的最大值为.
12.答案：240
解析：先将5名学生分成4组共有种，
再将4组学生安排到4所不同的学校有种，
根据分步计数原理可知：不同的安排方法共有种.
故答案为：240.
13.答案：486
解析：方法一：先将甲、乙、丙3人安排到3个不同的社区有种方案，再将剩下4人安排到3个不同社区有种方案，故共有（种）方案.
方法二：先将甲、乙、丙3人安排到3个不同的社区有种方案，再将剩下的4人安排到3个不同的社区有种方案，故共有（种）方案.
14.答案：144
解析：先分组再分配.第一步：将四个小球分为三组，每组个数分别为2、1、1，有种情况；
第二步，将分好的三组小球放到三个盒子中，有种情况.
所以，共有种放法.
故答案为：144.
15.答案：
解析：用随机数选择器选三次，由分步计数原理知，共有种选法，从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中选3个固定大小顺序的数a，b，c，其中，则当时，b，c的选法有种；当时，b，c的选法有种；当时，b，c的选法有种；以此类推，当时，b，c的选法有种.综上，共有种，故.

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