广西钦州市第十三中学2024-2025学年高一下学期期末热身考试数学试卷(九)(含答案)

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广西钦州市第十三中学2024-2025学年高一下学期期末热身考试数学试卷(九)(含答案)

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广西钦州市第十三中学2024-2025学年高一下学期期末热身考试数学试卷(九)
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,
2.四答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需
改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。四答非选择题时,将答案写在签题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结来后,将本试卷和答题卡一并交回
一、单选题(共8小题,每小题5分,共40分)
1.已知圆锥的母线长为2,高为,则圆锥的全面积为( )
A.5π B.4π C.3π D.2π
2.堑堵、阳马、鳖臑这些名词出自中国古代的数学名著《九章算术·商功》.如图1,把一块长方体分成相同的两块,得到两个直三棱柱(堑堵).如图2,再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开,得到四棱锥和三棱锥各一个,其中四棱锥称为阳马,三棱锥称为鳖臑.则在图2中,下列说法正确的个数为( )

①阳马的四个侧面中恰有3个是直角三角形 ②鳖臑的四个面均为直角三角形
③堑堵的表面积是阳马的表面积的2倍 ④堑堵的体积是鳖臑的体积的2倍
A.0 B.1 C.2 D.3
3.已知复数,则( )
A. B. C. D.
4.若复数满足,则对应的点位于复平面的( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
5.已知的内角所对的边分别是,若,且,则的外接圆的周长为( )
A. B. C. D.
6.已知角终边过点,则( )
A. B. C. D.
7.如图,在△ABC中, E是AD的中点,则( )
A. B. C. D.
8.如图,为了测量某塔楼的高度,将一无人机(视为质点)飞升至离地面高为h 米的点A 处时,测得塔尖C 的俯角为α,无人机沿水平方向飞行b 米后至点B 处时,测得塔尖C的俯角为β,则塔尖C距离地面( )
A.米 B.米 C.米 D.米
二、多选题(共3小题,每小题5分,共15分)
9.已知点P是所在平面内一点,且, ,则下列说法正确的是( )
A.若,则点P是边BC的中点 B.若点P是边BC上靠近B点的三等分点,则
C.若,则 D.若点P在BC边的中线上,且,则点P是的重心
10.已知函数的部分图象如图所示,则( )
A. B.
C.的图象与轴的交点坐标为 D.函数的图象关于点对称
11.已知函数 的最小正周期为 ,且 ,则下列说法正确的是( )
A. B.
C. 的图象关于点 对称 D.若 ,则
第II卷(非选择题)
三、填空题(共3小题,每小题5分,共15分)
12.已知复数的共轭复数为,则 .
13.已知一个正方体的所有顶点均在一个球面上,若这个球的体积为,则这个正方体的表面积为 .
14.已知向量,,若,,三点共线,则 .
四、解答题(共6小题,共70分)
15.已知向量.
(1)求的坐标;
(2)求;
(3)若,且,求实数的值.
16.已知函数.
(1)若,求的最小正周期;
(2)若在区间上有定义.
(i)求的最大值;
(ⅱ)若曲线至少有两个对称中心在区间上,求的取值范围.
17.随着私家车的逐渐增多,居民小区“停车难”问题日益突出.本市某居民小区为缓解“停车难”问题,拟建造地下停车库,建筑设计师提供了该地下停车库的入口和进入后的直角转弯处的平面设计示意图.
(1)按规定,地下停车库坡道口上方要张贴限高标志,以便告知停车人车辆能否安全驶入,为标明限高,请你根据该图1所示数据计算限定高度CD的值.(精确到0.1m)(下列数据提供参考:,,)
(2)在车库内有一条直角拐弯车道,车道的平面图如图2所示,车道宽为3米,现有一辆转动灵活的小汽车,在其水平截面图为矩形ABCD,它的宽AD为1.8米,直线CD与直角车道的外壁相交于E、F.
①若小汽车卡在直角车道内(即A、B分别在PE、PF上,点O在CD上)(rad),求水平截面的长(即AB的长,用表示)
②若小汽车水平截面的长为4.4米,问此车是否能顺利通过此直角拐弯车道?
18.我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”,即可将有序复数对视为一个向量,记作.类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算;两个复向量,的数量积记作,定义为;复向量的模定义为.
(1)设,,求复向量与的模;
(2)已知对任意的实向量与,都有,当且仅当与平行时取等号;
①求证:对任意实数,,,,不等式成立,并写出此不等式的取等条件;
②求证:对任意两个复向量与,不等式仍然成立;
(3)当时,称复向量与平行.设,,,若复向量与平行,求复数的值.
19.如图,在长方体中,,点为棱的中点.

(1)证明:平面;
(2)求异面直线与所成角的大小;
(3)求直线与平面所成角的正切值.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D C C B D B BD BCD
题号 11
答案 ABD
12. 14. 15.(1) (2) (3)
16.(1) (2)(i)(ⅱ)
17.(1)2.8m;
(2)①,;②小汽车能够顺利通过直角转弯车道.
18.(1)10;;
(2)①设实向量,,
则,,,而,
根据已知,当且仅当与平行时取等号,即,
所以,当且仅当时等号成立;
②因为,,所以,
由复数的三角不等式,
,由,
得,所以,
所以,
综上所知,.
(3)②中考虑①中等号成立的条件知,结合复数的三角不等式,
复向量各分量均不为零时,其等号成立的条件是存在非负实数,使得,
根据题意,若复向量与平行,
则,
根据中等号成立的条件,
应有,则,
又,则,解得,
所以,所以.
19.(1)

设,连接,
因为点为棱的中点,为的中点,所以,
因为平面,平面,
所以平面.
(2)由(1)得,,所以为异面直线与所成的角或其补角,
由题意得,,
所以,故三角形是等边三角形,
因为,所以,
所以异面直线与所成的角为.
(3)连接,
因为平面,平面,
所以,为直线与平面所成的角.
由题意得,,
所以,即直线与平面所成的角的正切值为.

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