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资阳市 2024—2025学年度高中二年级第二学期期末质量监测
数 学
本试卷共 4页，19小题，满分 150分。考试用时 120分钟。
注意事项：
1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点
涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内
相应位置上。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．已知某质点的位移函数为 s(t) = t3- 3t2+ 3，则当 t= 1 s时，该质点的瞬时速度大小为（）。
A．-4 m/s B．-3 m/s
C． 3 m/s D． 6 m/s.
2．在等差数列 {an}中，若 a2+ a8= 10，a4= 4，则公差 d=（）。
A．-2 B．-1
C． 1 D． 2
3． (1- 2x)5的展开式中 x3的系数为（）。
A．-160 B．-80
C． 80 D． 160
4．某学生准备将两颗不同口味的山楂、两颗不同口味的葡萄、一颗圣女果和一颗草莓串起来
制作一串冰糖葫芦，因口味的需求，山楂不相邻，则不同的串法共有（）。
A． 240种 B． 360种
C． 480种 D． 512种
5．已知甲箱中有 1个红球和 2个黑球，乙箱中有 1个红球和 1个黑球，所有球除颜色外完全
相同．某学生先从甲箱中随机取出 1个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出 1个球．则 “从
乙箱中取出的球是黑球”的概率为（）。
A． 5 718 B． 18
C． 49 D．
5
9
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6．已知函数 f (x) =-x2+ 4x+ alnx为减函数，则 a的取值范围是（）。
A． (-∞，-2] B． [-2，+∞)
C． (-∞，0] D． [0，+∞)
7．已知等比数列 a
S
的前 n项和为 S ．若 10 = 33n n S 32 ，则公比 q=（）。5
A． 12 B． 2
C．± 12 D．±2
2025
8．若 1+x 2 025= a + a x+ a x2+ +a x2024+ a 20250 1 2 2024 2025x ，则 (i+1)ai =（）。
i=0
A． 22025 B． 2025 × 22024
C． 2024 × 22027 D． 2027 × 22024
二、选择题：本大题共 3小题，每小题 6分，共计 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
9．数列 1 an 满足 an+1= 1-a ，a =-
1
1 3 ，则（）。n
A． a = 32 4 B． an 为递增数列
C． an 为周期数列 D． a2025= 2024
10．已知袋装食盐标准质量为 400 g．设甲、乙两品牌袋装食盐质量的误差分别为随机变量
X，Y，且 X～N(0，22)，Y～N(0，32)，则（）。
A． P (X≤-2)+P (X< 2)= 1
B． P (0≤ Y< 3)+P (Y≤-3)> 12
C． P (Y> 0)= P (X< 0)
D． P ( | X |≤ 2)> P ( | Y |≤ 2)
11．定义：设 f (x)是 f (x)的导函数，f x 是函数 f (x)的导数，若方程 f (x) = 0有实数解 x0，
则称点 (x0，f (x0))为函数 y= f (x)的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐
点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知三次函数 f (x) = ax3+ bx2+ cx+ d(a
≠ 0)的对称中心为 (1，2)，则（）。
A． f (x)存在拐点
B．若 c= d= 2，则 a= 1，b=-3
C．当 a< 0，且 f (x)有极值时，d< 2- a
D．当 a > 0，c = 0，且函数 f (x)有三个零点时，d > 4
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三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12．已知函数 f x = ln2x+ 3，则曲线 y= f x 在点 ( 1 2 ，3)处的切线方程为_____．
13． 3个班分别从 4个景点中选择一处游览，不同选法的种数是_____．
14．如图所示的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》
中，后人称为“三角垛．“三角垛”最上层有 1个球，第二层有 3个球，第
三层有 6个球， ，设第 n层有 a 1n个球，则 a5=_____，数列 an 的
前 50项和为_____．
四、解答题：本大题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15． (13分）
某射手每次射击击中目标的概率为 12 ，共进行 8次射击．求：
（1）恰有 3次击中目标的概率；
（2）至少有 6次击中目标的概率．
16． (15分）
已知数列 an 中，a = 2，且 a = 2n+11 n+1 + 2an（n∈N*）．
（1 a）求证：数列 n n 为等差数列；2
（2）求数列 an 的前 n项和 Sn．
17． (15分）
已知函数 f x = xex+1 .
（1）判断 f x 的单调性；
（2）若 x∈ 0，+∞ ，f ex ≥ f xm 恒成立，求正数m的取值范围．
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18．（17分）
欲从A，B两个频道中选出一个优选频道作为校园之声广播，现对这两个频道轮流播放进
行测试，每次播放一个频道．已知A频道每次播放成功的概率为 23 ，B频道每次播放成功的
概率为 12 ，且每次播放互不影响．
约定 1：任选一个频道进行播放，若播放成功，便成为优选频道；
约定 2：从A频道开始播放，先成功播放的频道为优选频道，当决定出优选频道或两频道
都播放 3次均失败，结束测试．
（1）按照约定 1，求在播放一次就成功的条件下，A频道成为优选频道的概率；
（2）按照约定 2，
（ⅰ）两个频道共播放不超过 4次时，求A频道成为优选频道的概率；
（ⅱ）测试结束时，求B频道播放次数 X的分布列与数学期望．
19． (17分）
已知函数 f a x = x + lnx，且 f x 的最小值为 1.
（1）求 a的值；
（2）证明：
（ⅰ）[xf x - 1]ex+ 1> 0；
2
（ⅱ）对于任意 n∈N*， 3+1 32+1 3n+1 <( 3 )n +n+1．
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资阳市 2024—2025学年度高中二年级第二学期期末质量监测
数学参考答案和评分意见
评分说明：
1．本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考
查内容比照评分参考制定相应的评分细则。
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内
容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一
半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4．只给整数分。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
1．B 2．C 3． B 4．C 5．D 6．A 7．A 8．D
二、选择题：本大题共 3小题，每小题 6分，共计 18分。
9．AC 10．ACD 11．BCD
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12． 2x- y+ 2= 0 13． 64 14． 15，10051
四、解答题：本大题共 5小题，共 77分。
15． (13分）
设 8次射击中击中目标的次数为 X，则 X～ B(8，12 )． 2分
（1）恰有 3次击中目标的概率为
P(X= 3) =C3× ( 1 )3× ( 1 )58 2 2 =
7
32 ． 7分
（2）至少有 6次击中目标的概率为
P(X≥ 6) =C6× ( 1 )8+C7× ( 1 )8+C8× ( 1 )8= 378 2 8 2 8 2 256 ． 13分
16． (15分）
（1）由 a = 2n+1n+1 + 2an，得 an+1- 2an= 2n+1，
a
所以， n+1
n+1
n+1 -
an = 2n n+1 = 1． 5分2 2 2
所以，数列 an n 是以 1为首项、1为公差的等差数列． 6分2
（2）由（1 a）得， nn = n，则 an= n× 2
n． 8分
2
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由 Sn= 1× 2+ 2× 22+ 3× 23 +(n- 1) × 2n-1+ n× 2n，
得 2S = 1× 22+ 2× 23+ 3× 24n +(n- 1) × 2n+ n× 2n+1， 10分
所以，-Sn= 2+ 22+ 23 +2n- n× 2n+1， 13分
所以 S = (n- 1)2n+1n + 2． 15分
17． (15分）
（1）由题，得 f x = x+1 ex+1． 1分
由 f x = 0，得 x=-1， 2分
当 x<-1时，f x < 0，此时 f x 为减函数， 3分
当 x>-1时，f x > 0，此时 f x 为增函数． 5分
（2）由（1）可知，f x = xex+1为 0，+∞ 的增函数，又 ex> 0，xm> 0，
由 f ex ≥ f xm ，得 ex≥ xm． 8分
即 lnex≥ lnxm，所以 x≥mlnx． 9分
因为m> 0，x> 0，
所以对于 x> 0，不等式 1m ≥
lnx
x 恒成立， 10分
设 g lnx x = x （x> 0），令 g
1- lnx x = 2 = 0，得 x= e， 12分x
当 x∈ 0，e 时，g x > 0，g x 单调递增；当 x∈ e，+∞ ，g x < 0，g x 单调递减，
所以，函数 g x 在 0，+∞ 的极大值为 g e = 1e ，也即为最大值． 13分
所以 1 ≥ 1m e ． 14分
解得 0故正数m的取值范围是 (0，e]． 15分
18．（17分）
（1）任选一个频道，选中A，B分别记为C1，C2，播放一次，播放成功记为D，
P(C1D) = P(C1)P(D|C1) = 1 × 22 3 =
1
3 ， 1分
P(C2D) = P(C2)P(D|C2) = 1 1 12 × 2 = 4 , 2分
则 P(D) = P(C1D) + P(C 1 1 72D) = 3 + 4 = 12 ， 3分
P(C D)
所以A频道成为优选频道的概率 P= 1 4( ) = 7 ． 5分P D
（2）记 Ai，Bi分别表示A，B两频道在第 i次测试成功，
所以 P 2 1 Ai = 3 ，P Bi = 2 ，i = 1，2，3． 6分
记“A频道成为优选频道”为事件C，则

（ⅰ）P 2 1 1 2 7 C = P A1 + P A1B1A2 = 3 + 3 × 2 × 3 = 9 ． 10分
（ⅱ）可知，X的所有可能值为：0，1，2，3．
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P X=0 = 2 3 ， 11分
P X=1 = 1 1 3 × 2 +
1 × 1 2 53 2 × 3 = 18 ， 12分
P 1 1 1 X=2 = 3 × 2 × 3 ×
1 + 1 1 1 12 3 × 2 × 3 × 2 ×
2 = 53 108 ， 13分
P 1 1 1 X=3 = 3 × 2 × 3 ×
1 × 12 3 =
1
108 ． 14分
综上所述，X的分布列为：
X 0 1 2 3
P 72 30 5 1108 108 108 108
15分
数学期望 E X = 0 × 72108 + 1 ×
30
108 + 2 ×
5 1 43
108 + 3 × 108 = 108（次）． 17分
19． (17分）
（1）f x 的定义域为 0，+∞ 1 a x-a ，f x = x - 2 =x x2
． 1分
若 a≤ 0，恒有 f x > 0，f x 单调递增，没有最小值，不符合题意． 2分
若 a> 0，令 f x = 0，解得 x= a，
当 x∈ 0，a 时，f x < 0，f x 单调递减；当 x∈ a，+∞ 时，f x > 0，f x 单调递增，
3分
故当 x= a时，f x 取最小值 f a = 0，即 a× 1a + lna= 1，得 lna= 0，
所以 a= 1. 5分
（2）由（1）知 a= 1.
（i）即证不等式 xexlnx+ 1> 0．
由（1）可知 a= 1时，f a x = x + lnx≥ 1，即 f x =
1
x + lnx≥ 1，
所以 lnx≥ 1- 1x ，即 xlnx≥ x- 1， ① 7分
由 f ex ≥ 1，可得 1 x ≥ 1- x，即-
1
x ≤ x- 1． ② 9分e e
因为①②等号成立的条件不同，故 xlnx>- 1
ex
．
所以 xexlnx>-1，即 xexlnx+ 1> 0. 10分
（ⅱ）由 f x = 1 x + lnx≥ 1，得到 x+ ln
1
x ≥ 1，即 lnx≤ x- 1，
当 x> 0时，ln 1+x < x. 12分
令 x= 1n ，得 ln 1+ 1 1n < n ． 13分3 3 3
所以 ln 1+ 13 + ln 1+
1
2 + +ln 1+ 13 3n
数学试卷 第3页（共4页）
1 1- 11 1 n < 3 + 2 + +
1
n =
3 3
1 =
1
2 1-
1 < 1 ，
3 3 n1- 3 23
即 ln 1+ 1 1+ 1 1 1 3 32 1+ 3n < 2 ，
所以 1+ 1 1+ 13 1+
1 < e，
32 3n
即 3+1 32+1 3n+1 < e × 31+2+3+ +n．
所以 3+1 32+1 3n+1 < e × 3 n(n+1)<( 3 )n
2+n+1，得证． 17分
数学试卷 第4页（共4页）

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