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第05讲 数列求和
目录
01 常考题型过关练
题型01 等差（比）数列求和
题型02 含绝对值的等差数列求和
题型03 倒序相加法求和
题型04分组求和
题型05 错位相减法求和
题型06 裂项相消法求和
题型07 分类讨论法求和
题型08 其他数列求和
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 等差（比）数列求和
1．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知数列的前n项和为，且，为常数，记.
(1)若数列为等差数列，求的公差.
(2)设.
①求的通项公式；
②记数列的前n项和为，证明：.
2．已知数列的前项和为，.
(1)若是正项等比数列，且，求；
(2)若，求.
3．（2025·陕西咸阳·三模）若数列对于任意的，都有（常数），则称数列是公差为的准等差数列．设数列的前项和为，，对于任意的，都有．
(1)求证：数列为准等差数列；
(2)求数列的通项公式及前项和．
4．（2025·海南海口·模拟预测）已知数列，其前项和为，，．
(1)求数列的通项公式及前项和；
(2)若，求数列的前项和．
5．（2025·江西景德镇·模拟预测）在数列中，已知．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的前项和．
02含绝对值的等差数列求和
6．在数列，中，，对任意，，等差数列及正整数满足，，且.
(1)求数列，的通项公式；
(2)令，求前项和.
7．已知数列的前n项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列前n项的和．
8．已知是数列的前项和，且.
(1)求的通项公式；
(2)若，求.
9．已知数列满足，.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)令，求数列的前项和.
10．已知数列中，，（，），数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)求；
(3)求数列中的最大项和最小项，并说明理由．
03 倒序相加法求和
11．已知，则数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
12．已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前项和的方法探求：若，则（ ）
A．2018 B．4036 C．2019 D．4038
已知，则 ．
已知函数满足，若数列满足，则数列的前16项的和为 .
15．已知函数．
(1)证明函数的图像关于点对称;
(2)若，求；
04分组求和法求和
16．（2025·河南·三模）已知等差数列的前n项和为，且，．
(1)求；
(2)若数列满足，求数列的前20项和．
17．已知数列中，，（n为正整数）．
(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
18．（2025·贵州黔东南·三模）已知等差数列的前n项和为，等比数列的首项为2，且，．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项的和．
19.已知等差数列的前项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，设数列的前项和为，求.
20.已知是公差为的等差数列的前项和，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求使成立的的最小值；
(3)求数列的前项的和．
05 错位相减法求和
21.已知各项均为正数的数列的前n项和为Sn，且.
(1)求的通项公式;
(2)令求数列的前n项和.
22．（2025·湖南·模拟预测）在数列中，已知，数列为等差数列，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的通项公式：
(3)求数列的前项和.
23．（2025·广东惠州·一模）已知数列的前n项和为，且．数列是公比为3的等比数列，且．
(1)求数列和数列的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和．
24.已知数列满足，且，数列满足，且点在直线上，其中.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求的前项和.
25．（2025·安徽·模拟预测）已知数列中，，，其前项和满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：.
06 裂项相消法求和
已知等差数列的前n项和为，，.
(1)求的通项公式；
(2)已知，求数列的前n项和.
27.在①，；②这两个条件中，请选择一个合适的条件，补充在下题横线上（只要求写序号），并解答该题.
已知数列的各项均为正数，其前项和为，且对任意正整数，有________.
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：.
28.数列满足．
(1)证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和，并证明．
已知各项均为正数的数列的前项和满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和；是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出的值，若不存在，说明理由；
30．（2025·广东·一模）已知等差数列满足，是关于的方程的两个根.
(1)求；
(2)求数列的前项和.
07 分类讨论法求和
31．设各项非零的数列的前n项和记为，记，且满足，
(1)求，的值，并求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
32．已知正项数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
33．已知首项为1的数列的前项和为，且.
(1)求证：数列为等差数列；
(2)若，求数列的前项和.
34．数列满足，.
(1)求数列通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
35．已知在正项数列中，，且成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和.
08 其他数列求和问题
36．已知正项数列的前项和为，且，．
(1)求；
(2)在数列的每相邻两项、之间依次插入、、、，得到数列、、、、、、、、、、，求的前项和．
37．在①，；②公差为1，且成等比数列；③，，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.
问题：已知等差数列的前项和为，且满足___________
(1)求数列的通项公式；
(2)令，其中表示不超过的最大整数，求.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
38．已知等比数列的公比，前n项和为且.数列足.
（1）求数列的通项公式；
（2）记为区间内整数的个数求数列的前50项和.
1．（2025·湖南长沙·二模）已知数列的首项，的前项和为且满足.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)若，求数列的前项和.
2．（2025·广东广州·三模）已知公差不为零的等差数列和等比数列满足，且成等比数列，成等差数列.
(1)求数列和的通项公式；
(2)令，去掉数列中的第项，余下的项顺序不变，构成新数列，写出数列的前4项并求的前项和；
3．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知数列是正项等比数列，满足，，且，
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，记数列的前项和为，求证：.
4．（2025·陕西·二模）已知等比数列满足，且.
(1)求的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求.
5．（2025·四川成都·三模）已知正项数列的前项的和为，且.
(1)求，；
(2)证明：是等差数列；
(3)求数列的前项的和.
6．（2025·浙江·二模）已知整数数列满足，数列是公比大于1的等比数列，且，.数列满足.数列，前项和分别为，，其中.
(1)求和
(2)用表示不超过的最大整数，求数列的前2025项和.
1．（2023·全国甲卷·高考真题）设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
3．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
4．（2021·全国乙卷·高考真题）设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前n项和．证明：．
5．（2021·全国乙卷·高考真题）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列;
（2）求的通项公式．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第05讲 数列求和
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01 常考题型过关练
题型01 等差（比）数列求和
题型02 含绝对值的等差数列求和
题型03 倒序相加法求和
题型04分组求和
题型05 错位相减法求和
题型06 裂项相消法求和
题型07 分类讨论法求和
题型08 其他数列求和
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 等差（比）数列求和
1．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知数列的前n项和为，且，为常数，记.
(1)若数列为等差数列，求的公差.
(2)设.
①求的通项公式；
②记数列的前n项和为，证明：.
【答案】(1)1
(2)①；②证明见解析
【详解】（1）因为，所以，
则，，.
因为数列为等差数列，所以，即，解得，
所以的公差为.
（2）①解：当时，，
当时，，
故的通项公式为
②证明：当时，，满足.
当时，，
则
.
综上.
2．已知数列的前项和为，.
(1)若是正项等比数列，且，求；
(2)若，求.
【答案】(1)
(2)465
【详解】（1）因为是等比数列，设首项为，公比为，
由，知，，
所以①；②
得，又所以，
代入①得，所以
（2）因为，所以为常数
所以是以为首项，公差为2的等差数列，
是以为首项，公差为2的等差数列，
故
3．（2025·陕西咸阳·三模）若数列对于任意的，都有（常数），则称数列是公差为的准等差数列．设数列的前项和为，，对于任意的，都有．
(1)求证：数列为准等差数列；
(2)求数列的通项公式及前项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)，．
【详解】（1）已知对于任意的，都有.
将换为，可得.
用减去，
可得：
因为，，所以.
根据准等差数列的定义，可知数列是公差为的准等差数列.
（2）由可得.
当时，，又，所以.
当为奇数时，.
当为偶数时，.
所以.
.
对于奇数项，是以为首项，为公差的等差数列，
根据等差数列前项和公式可得其前项和为：
.
对于偶数项，是以为首项，为公差的等差数列，其前项和为：
.
所以.
4．（2025·海南海口·模拟预测）已知数列，其前项和为，，．
(1)求数列的通项公式及前项和；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）因为数列的前项和为，，，
所以，，即，
所以，数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，，.
（2）因为，则且，
所以，数列是首项为，公比为的等比数列，
故.
5．（2025·江西景德镇·模拟预测）在数列中，已知．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由已知条件得，因为，所以，
所以，故，即数列为以2为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）得，故，
设数列的前项和为，则.
02含绝对值的等差数列求和
6．在数列，中，，对任意，，等差数列及正整数满足，，且.
(1)求数列，的通项公式；
(2)令，求前项和.
【答案】(1)，
(2)．
【详解】（1）由题意知，因为，所以.
因为，所以，所以，所以，即，
所以是以1为首项，2为公比的等比数列，所以.
设数列公差为，则，
∴，.
（2）因为，所以
所以当时，数列的前项和；
当时，数列的前项和.
所以．
7．已知数列的前n项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列前n项的和．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为数列的前项和为，
所以当时，，
当时，，
显然，当时，满足，
所以.
（2）由（1）知，
因为时，，当时，，
所以当时，，
当时，①，②，
所以①②得，因为，
所以，
所以
8．已知是数列的前项和，且.
(1)求的通项公式；
(2)若，求.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
当时，，
当时，，
也符合上式，所以，
（2）因为，所以时，；时，，
当时，，
当时，
.
综上：
9．已知数列满足，.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)令，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）（1）证明：由知，
由知：，∴数列是以512为首项，为公比的等比数列，
∴，∴；
（2）由（1）知，
设的前项和为，，∴，
当时，，，
，，
综上得.
10．已知数列中，，（，），数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)求；
(3)求数列中的最大项和最小项，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)，，理由见解析
【详解】（1）证明：，
又，∴数列是为首项，1为公差的等差数列．
∴.
（2）由，得，即时，；时，，
∴
.
（3）由，得
又函数在和上均是单调递减．
由函数的图象，可得：，.
03 倒序相加法求和
11．已知，则数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因，
且①
则，②
由①+②可得：，
故.
故选：C.
12．已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前项和的方法探求：若，则（ ）
A．2018 B．4036 C．2019 D．4038
【答案】D
【详解】，
∵函数
∴，
令，则，
∴，
∴.
故选：D.
已知，则 ．
【答案】
【详解】因为，所以，
故
故答案为：
已知函数满足，若数列满足，则数列的前16项的和为 .
【答案】
【详解】，①
，②
两式相加，又因为，
故，所以，
所以的前16项的和为
故答案为：
15．已知函数．
(1)证明函数的图像关于点对称;
(2)若，求；
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：因为函数的定义域为，
设，是函数图像上的两点， 其中且，
则有 ，
因此函数图像关于点对称 ；
（2）由（1）知当时，，
①，
②，
①+②得，即.
04分组求和法求和
16．（2025·河南·三模）已知等差数列的前n项和为，且，．
(1)求；
(2)若数列满足，求数列的前20项和．
【答案】(1)
(2)4212
【详解】（1）设等差数列的公差为d，
由，，得，解得，
所以．
（2）因为，所以，
故
17．已知数列中，，（n为正整数）．
(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【详解】（1）已知，等式两边同除得，且
所以是以为首项，以为公差的等差数列.
则，解得.
（2）数列的前n项和为
，
根据等差数列等比数列前n项和公式可得，
所以数列的前n项和.
18．（2025·贵州黔东南·三模）已知等差数列的前n项和为，等比数列的首项为2，且，．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项的和．
【答案】(1),
(2)
【详解】（1）设等差数列公差为,根据题意得,解得
所以,
可知,
设等比数列的公比为,带入得,解得,
可知.
（2）有第一问可知,,则.
分组得
计算,
计算
则.
19.已知等差数列的前项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，设数列的前项和为，求.
【答案】(1)；
(2) .
【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，
由，，得，
化简得，解得，，
所以数列的通项公式为.
（2）由，得，
则
.
20.已知是公差为的等差数列的前项和，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求使成立的的最小值；
(3)求数列的前项的和．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）设等差数列的公差为，
因为，即，即，
又，解得，所以．
（2）由（1）可得，
由可得，即，解得或，
因为，故正整数的最小值为．
（3）因为，
对任意的，，
故
.
05 错位相减法求和
21.已知各项均为正数的数列的前n项和为Sn，且.
(1)求的通项公式;
(2)令求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：因为数列满足，
当时，可得，
因为数列的各项均为正数，所以，
当时，可得，
两式相减，可得，可得，
因为所以，
所以数列是以为首项，公差为的等差数列，所以.
（2）解：由（1）知：，可得，
可得，则，
两式相减，可得，
则 ，
所以.
22．（2025·湖南·模拟预测）在数列中，已知，数列为等差数列，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的通项公式：
(3)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为，所以，
因为，
所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，
所以；
（2）由（1）知，.
故，
设数列的公差为，则，
所以；
（3），
即，
所以，
两式相减得，
所以，
所以.
23．（2025·广东惠州·一模）已知数列的前n项和为，且．数列是公比为3的等比数列，且．
(1)求数列和数列的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和．
【答案】(1)；
(2)
【详解】（1）当时，，
当时，，
当时也符合上式，
所以，
，所以.
（2），
所以，
，
两式相减得，
，
所以.
24.已知数列满足，且，数列满足，且点在直线上，其中.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求的前项和.
【答案】(1)，；
(2).
【详解】（1）由题意得，，首项为，
所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列，
所以，即.
由题意得，，且，
所以数列是以5为首项，2为公差的等差数列，
所以.
（2）由题意，，
所以，
则，
两式相减可得，
，
所以.
25．（2025·安徽·模拟预测）已知数列中，，，其前项和满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由已知，得，
即，且.
数列是以为首项，公差为1的等差数列.
；
（2），
所以，，
两式相减，得，
所以，
因为，，所以.
06 裂项相消法求和
已知等差数列的前n项和为，，.
(1)求的通项公式；
(2)已知，求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设的公差为d，依题意，，解得，，
所以的通项公式.
（2）由（1）知，，
所以
.
27.在①，；②这两个条件中，请选择一个合适的条件，补充在下题横线上（只要求写序号），并解答该题.
已知数列的各项均为正数，其前项和为，且对任意正整数，有________.
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：.
【答案】(1)选①②，答案均为；
(2)证明过程见解析
【详解】（1）选①，，，
因为，
所以，
因为数列的各项均为正数，所以，，
所以，
又，，所以为首项和公差均为1的等差数列，
所以，，
所以当时，，当时，，
显然满足，
综上，；
选②，①，当时，，解得，
当时，，
故，
又因为数列的各项均为正数，所以，
故，即，
又，故为首项和公差均为1的等差数列，
所以，解得，
所以当时，，当时，，
显然满足，
综上，；
（2）由（1）知，，，
，
所以，
因为，
所以，
所以为递增数列，故的最小值为，
所以.
28.数列满足．
(1)证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和，并证明．
【答案】(1)证明见解析，
(2)，证明见解析
【详解】（1）由得，所以，
因此数列是等比数列，首项为，公比为，
所以，得，
因此数列的通项公式．
（2）由（1)知
，
，
对任意的，，所以.
已知各项均为正数的数列的前项和满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和；是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出的值，若不存在，说明理由；
【答案】(1)
(2)存在，，
【详解】（1）因为，当时，，
两式相减得到，整理得到，
又数列的各项均为正数，所以当时，，即，
又由，得到，所以数列为首项为，公差为的等差数列，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）知，则，
所以，
假设存在正整数，使得成等差数列，
则，即，
化简得，得到，
解得，又且，
所以，，
故存在正整数，，使得,,成等差数列.
30．（2025·广东·一模）已知等差数列满足，是关于的方程的两个根.
(1)求；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）根据题意，由韦达定理可得，
因为数列是等差数列，设公差为，
所以，即，
则，解得，
.
（2）由（1），则，
，
，
.
07 分类讨论法求和
31．设各项非零的数列的前n项和记为，记，且满足，
(1)求，的值，并求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)，，
(2)
【详解】（1）由题意可知，，且，
解得：或（舍去）,
又当时，，所以有,
化简得：，则，
所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，
所以.
（2）由（1）及题设可知，.
当时，，
当时，.
.
①当是奇数时，
当时，
当时，
，
当时，也适合上式，
即：，且为奇数；
②当是偶数时，
.
即：，且为偶数；
综上所述；.
32．已知正项数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）根据题意可得，是正项数列，，
当时，，解得（舍去），
当时，由得，
两式相减得，
即，由于，
所以，
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，
所以.
（2）由（1）得
所以①当为偶数时,
,
②当n为奇数时,
所以.
33．已知首项为1的数列的前项和为，且.
(1)求证：数列为等差数列；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）由，得，即，
两边同加，得，则，因此数列为常数列，
所以数列为等差数列.
（2）由（1）知，，则，，
当为正奇数时，，；当为正偶数时，，，
当为正奇数时，；
当为正偶数时，，
所以.
34．数列满足，.
(1)求数列通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）数列中，，，显然，则，
数列是首项为1，公差为1的等差数列，，
所以数列通项公式是.
（2）由（1）知，，
当时，，，
当时，，
所以.
35．已知在正项数列中，，且成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）成等差数列，
，即，而，
为等比数列，
又，得.
（2），
当为偶数时，
，
当为奇数时，
，
.
08 其他数列求和问题
36．已知正项数列的前项和为，且，．
(1)求；
(2)在数列的每相邻两项、之间依次插入、、、，得到数列、、、、、、、、、、，求的前项和．
【答案】(1)，．
(2)
【详解】（1）解：对任意的，因为，
当时，
，
因为，所以，故．
当时，适合，
所以，．
（2）解：因为，，
所以当时，，
所以，，
所以，数列的前项分别为：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，
所以的前项是由个与个组成．所以．
37．在①，；②公差为1，且成等比数列；③，，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.
问题：已知等差数列的前项和为，且满足___________
(1)求数列的通项公式；
(2)令，其中表示不超过的最大整数，求.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：选①
设等差数列中，公差为，因为，，
所以，解得，
所以，
选②
因为等差数列中，公差为1，且成等比数列，
所以，即，解得
所以.
选③
因为等差数列中，，，
所以，即，解得
所以
（2）解：由（1）知，
因为，，，，
所以当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
所以
38．已知等比数列的公比，前n项和为且.数列足.
（1）求数列的通项公式；
（2）记为区间内整数的个数求数列的前50项和.
【答案】（1），；（2）.
【详解】（1）由已知得，消去，得.
∵，解得，此时，因此，.
所以，；
（2）由题意：时，，
当时，；当时，；
当时，；当时，；
当时，；当时，；
当时，；当时，；
当时，.
因此，.
【点睛】关键点点睛：当时，在区间内整数的个数需要归纳，当时，，依次类推，寻找规律，是解决问题的关键.本题考查了合情推理中的归纳推理，属于中档题.
1．（2025·湖南长沙·二模）已知数列的首项，的前项和为且满足.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：因为，所以，
又，所以数列是以1为首项，以为公差的等差数列.
（2）由（1）可得，所以，
当时，
所以，
当时也成立，所以，所以，
因，①
，②
②-①得，③
则，④
③-④得
所以.
2．（2025·广东广州·三模）已知公差不为零的等差数列和等比数列满足，且成等比数列，成等差数列.
(1)求数列和的通项公式；
(2)令，去掉数列中的第项，余下的项顺序不变，构成新数列，写出数列的前4项并求的前项和；
【答案】(1)；
(2)3，9，81，243；
【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由题意得：
，
又，，解得，
所以，；
（2）由（1）得，
去掉第项后，前4项依次为3，9，81，243，
，
综上，.
3．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知数列是正项等比数列，满足，，且，
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，记数列的前项和为，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1），
，又，，
则，，故.
（2）因为，所以，则，
，
，
所以
所以.
4．（2025·陕西·二模）已知等比数列满足，且.
(1)求的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设的公比为，
由题得
解得
所以.
（2）由（1）可得该数列为，
则
.
5．（2025·四川成都·三模）已知正项数列的前项的和为，且.
(1)求，；
(2)证明：是等差数列；
(3)求数列的前项的和.
【答案】(1)，.
(2)证明见解析.
(3).
【详解】（1）由，
令，有，因为，所以.
令，有，即，由，解得.
所以，.
（2）当时，由，代入，
化简得，即，
所以是首项为1，公差为1的等差数列.
（3）由（2）可知.因为是正项数列，所以，从而.
由，
所以.
所以数列的前项的和.
6．（2025·浙江·二模）已知整数数列满足，数列是公比大于1的等比数列，且，.数列满足.数列，前项和分别为，，其中.
(1)求和
(2)用表示不超过的最大整数，求数列的前2025项和.
【答案】(1)，
(2)2024
【详解】（1）当时，.又因为，所以
设，则
依题意，，
得恒成立，解得，
所以，，
设等比数列的公比为q，，.
所以，.得到，联立得
解得或（舍去），代入中，解得
得数列的通项公式为
（2）
……①
……②
①-②，得
即
时，，，所以；
时，，所以，所以
所以.
1．（2023·全国甲卷·高考真题）设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
当时，，即；
当时，，即，
当时，，所以，
化简得：，当时，，即，
当时都满足上式，所以．
（2）因为，所以，
，
两式相减得，
，
，即，．
2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【详解】（1）设等差数列的公差为，而，
则，
于是，解得，，
所以数列的通项公式是.
（2）方法1：由（1）知，，，
当为偶数时，，
，
当时，，因此，
当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
方法2：由（1）知，，，
当为偶数时，，
当时，，因此，
当为奇数时，若，则
，显然满足上式，因此当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
3．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【答案】(1)
(2)见解析
【详解】（1）∵，∴,∴,
又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,
∴当时，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
显然对于也成立，
∴的通项公式；
（2）
∴
4．（2021·全国乙卷·高考真题）设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前n项和．证明：．
【答案】（1），；（2）证明见解析.
【详解】（1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，
所以，所以，
即，解得，所以，
所以.
（2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和
，
，
．
设， ⑧
则． ⑨
由⑧-⑨得．
所以．
因此．
故．
[方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法
证明：由（1）可得，
，①
，②
①②得 ，
所以，
所以 ，
所以.
[方法三]：构造裂项法
由（Ⅰ）知，令，且，即，
通过等式左右两边系数比对易得，所以．
则，下同方法二．
[方法四]：导函数法
设，
由于，
则．
又，
所以
，下同方法二．
5．（2021·全国乙卷·高考真题）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列;
（2）求的通项公式．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【详解】（1）[方法一]：
由已知得,且，,
取,由得,
由于为数列的前n项积，
所以,
所以，
所以,
由于
所以，即,其中
所以数列是以为首项，以为公差等差数列;
[方法二]【最优解】：
由已知条件知 ①
于是． ②
由①②得． ③
又， ④
由③④得．
令，由，得．
所以数列是以为首项，为公差的等差数列．
[方法三]：
由，得，且，，．
又因为，所以，所以．
在中，当时，．
故数列是以为首项，为公差的等差数列．
[方法四]：数学归纳法
由已知，得，，，，猜想数列是以为首项，为公差的等差数列，且．
下面用数学归纳法证明．
当时显然成立．
假设当时成立，即．
那么当时， ．
综上，猜想对任意的都成立．
即数列是以为首项，为公差的等差数列．
（2）
由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，
,
,
当n=1时，,
当n≥2时,,显然对于n=1不成立,
∴.
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