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第06讲 函数的图象
目录
01 常考题型过关练
题型01 函数的图象变换
题型02 由解析式选择图象
题型03 由图象选择解析式
题型04解析式含参数图象问题
题型05 函数图象的应用
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 函数的图象变换
1．将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得到的抛物线解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】二次函数图象应用平移的规律：左加右减，上加下减求函数解析式.
【详解】抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，
所得到的抛物线解析式为，即，
故选：D.
2．函数的图象如图①所示，则如图②所示的图象对应的函数解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用函数图象的对称变换和平移变换可得结果.
【详解】先将函数的图象关于原点对称，可得出函数的图象，如下图所示：
再把所得函数图象向左平移个单位长度，即可得出图②所示图象，
故图②所示图象对应的函数为.
故选：D.
3．将函数的图象向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到函数的图象，则 ．
【答案】
【分析】根据函数的图象的平移变换法则可得答案.
【详解】将函数的图象向下平移1个单位长度，
可得函数的图象，
再向右平移1个单位长度，可得函数的图象，
所以．
故答案为：
4．若函数的图象经过点，则函数的图象一定经过点 .
【答案】
【分析】根据题意对合理赋值即可求出其经过的定点.
【详解】函数的图象经过点，即，
对于函数，令得，
所以函数经过定点，
故答案为：
5．作出下列各函数的图象：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）化简可得，根据函数图象的平移规律即可得其图象；
（2）根据图象的翻折变换得到图象；
（3）根据图象的翻折变换得到的图象，再由平移变换得解.
【详解】（1）原函数解析式可化为，
所以函数图象可由函数上的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图所示．
（2）的图象可由函数的图象保留x轴上方的部分不变，将x轴下方的部分翻折到x轴上方得到，
如图所示．
（3），其图象可看作由函数的图象向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，
而，其图象可由的图象保留时的图象，然后将该部分关于y轴对称得到，
所以的图象如图所示．
02 由解析式选择图象
6．已知函数，某函数的部分图象如图所示，则该函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先由函数的奇偶性得出加减函数是非奇非偶函数判断A，B，再代入计算特殊值排除D.
【详解】函数，定义域为，是偶函数，是奇函数，
对于A，B，及为非奇非偶函数，与函数图象不符；
对于D，当时，，分母为0，不存在函数值，排除D，
故选:C．
7．函数的图象大致为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据奇偶性可排除CD，根据单调性可排除B.
【详解】的定义域为，
，
为奇函数，关于原点对称，排除C，D；
又，
在上单调递增，
在单调递增，
在单调递增，排除，
故选：A
8．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】应用奇偶性定义判断函数奇偶性，结合的函数符号，应用排除法即可得.
【详解】令且定义域为R，，即为奇函数，排除C、D；
当时，恒成立，排除B.
故选：A
9．曲线的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由结合诱导公式得出或，化简曲线方程，可得合适的选项.
【详解】由可得或，
即或，
所以，曲线由一族同心圆与
直线以及两族等轴双曲线、构成.
故选：D.
03 由图象选择解析式
10．已知某函数的部分图象如图所示，则下列函数中符合此图象的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据图象上特殊点代入可排除BCD，得解.
【详解】由图象过点可知，AC选项满足，BD选项不满足，故排除BD；
对A，，而对于C，，故排除C.
故选：A
11．已知函数的部分图象如图所示、则的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用奇偶性和取自变量接近于0的函数值来判断正负即可得到选项.
【详解】由奇偶性判断可知：
是偶函数，是奇函数，是偶函数，是奇函数，
而函数图象是关于轴对称，必然是偶函数，所以BD错误；
再当时，可知，故A错误；
所以C正确，
故选：C.
12．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由图象知函数的定义域排除选项A、D，再根据不成立排除选项C，即可得正确选项.
【详解】因为函数的定义域为，
函数的定义域为，
函数与的定义域均为，
由图知的定义域为，排除选项A、D，
对于，当时，，不符合图象，所以排除选项C.
故选：B.
13．如图是下列选项中某个函数的部分图象，则该函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由时，，可排除B，D；再由可排除C.
【详解】由图可知当时，，故排除B，D；
设，则，故排除C．
故选：A．
14．若曲线的部分图象如图所示，则的解折式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用排除法，根据函数值的符号以及函数单调性分析判断.
【详解】由图象可知，
对于选项A：因为，故A错误；
对于选项B：因为，故B错误；
由图象可知：存在，使得在内单调递减，
对于选项C：因为在内单调递增，且在内单调递增，
可知在内单调递增，故C错误；
故选：D.
04 解析式含参数图象问题
15．（多选）函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】求导，分四种情况讨论求解即可.
【详解】，
当时，若 ，得，即函数在上单调递减，
若 ，得，即函数在上单调递增，
此时函数有最小值为，且，故B符合题意，A不符合题意；
当时，若 ，得，即函数在上单调递减，
若 ，得，即函数在上单调递增，
此时函数有最小值为，故C符合题意；
当时，若 ，得，即函数在上单调递减，
若 ，得，即函数在上单调递增，
此时函数有最小值为，且，故D符合题意；
当时，恒成立，则函数在上单调递增.
故选：BCD
16．已知是单调递增函数，则函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由在R上为增函数，可得，再求出函数的正负即可判断.
【详解】因为函数在R上为增函数，且是单调递增函数，
所以，
又因为函数定义域为，
且时，，排除A；
当时，；当时，；
所以C，D选项错误；
故选：B
17．已知二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】二次函数图象得到的符号，由此可知一次函数和反比例函数的图象，结合图象即可确定正确选项.
【详解】观察二次函数图象可知：，
一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限．
故选：C．
18．（多选）函数（）的大致图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】先求得，根据判别式对进行分类讨论，由此确定正确答案.
【详解】因为的定义域为，．
当，即时，对任意恒成立，
所以在上单调递增，故C正确；
当，即或时，
设方程的两根为，且，
可知，可知同号，
令，得；令，得或，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
故A，B正确，D错误.
故选：ABC.
05 函数图象的应用
19．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．在处取得极小值
B．当时，方程有两个不同的实根
C．
D．若点在的图象上运动，则点到直线距离的最小值为
【答案】AD
【分析】对于A，对求导，利用极值点的定义可求；对于B，作出的图象，利用数形结合思想可解；对于C，注意，构造函数，利用单调性即可判断与的大小，结合的单调性即可判断；对于D，根据条件，过点的切线与平行时距离的最小，利用导数几何意义求出切点即可.
【详解】对于选项A，因为，则，
当时，，当时，，且，
所以是的极小值点，
又，所以选项A正确，
对于选项B，由选项A知，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
又当时，，当时，，的图象如图，
令，由图知，当时，与有两个交点，
当时，与只有一个交点，所以选项B错误，
对于选项C，由，
联想到构造函数，
在上为正，在上为负，
上上为增函数，在上为减函数
由，可得
由在上为增函数，可得故C错误，
（对于选项C也可先估算出，再结合的单调性判断出C错误）
对于选项D，设点，易知当曲线在处的切线与平行时，
点到直线的距离最小，又，
则，令，则，
易知，当时，，当时，，
所以在区间上单调递减，
在区间上单调递增，且时，，又，所以，
又，得到，所以到直线的距离为，故选项D正确，
故选：AD.
20．（多选）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正三角形，沿着轴连续滚动（滚动时无滑动），若滚动中，顶点恰好经过坐标原点，设顶点满足，则下列判断正确的有（ ）
A．
B．函数的对称轴方程为
C．函数的单调增区间为
D．函数恰有3个零点，则或
【答案】ABD
【分析】画出图形，结合周期性和对称性以及单调性可判断ABC，由直线与圆的位置关系可得D.
【详解】如图，在图中一段一段的扇形上运动，
对于A，初始时在原点，当时，即为正三角形的高，故A正确；
对于B，的一条对称轴为，周期为6，每经过半个周期均为的对称轴，
所以函数的对称轴方程为，故B正确；
对于C，函数的单调增区间为，故C错误；
对于D，当时，
直线与圆相切，此时；
当直线与圆相切，此时，经检验切点恰在所在圆弧上，，；
当与圆相切时，可得，
结合图象要使与恰有3个交点，则或，故D正确.
故选：ABD.
21．已知函数，若函数有两个实数解，则实数的取值范围 ．
【答案】
【分析】将问题转化为与直线有两个交点，由对勾函数性质可得大致图象，据此可得答案.
【详解】因，则0不是的解.
时，.
令，
依题意函数的图象与直线有两个公共点.
时，时，，
于是得，
由对勾函数知，在上递减，在上递增，且.
又在上递减，在上递增，且.
如图：
直线与的图象有两个公共点，；
直线与的图象有两个公共点，.
从而得函数的图象与直线有两个公共点时或.
所以实数的取值范围是.
故答案为：
22．已知曲线与和分别交于两点，设曲线在处的切线斜率为在处的切线斜率为，若，则 ．
【答案】
【分析】根据题意结合对称性可设，结合导数的几何义求得，即可得结果．
【详解】因为和互为反函数，其图象关于直线对称，
且反比例函数的图象也关于直线对称，
可知点关于直线对称，
设，则，
设，则，
由题意可得：，解得或(舍去)，
可得，代入可得，所以．
故答案为：．
23．若函数满足，且时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数有 个
【答案】12
【分析】根据题意，作出函数的图象，即可得到交点个数，从而得到结果.
【详解】因为，
所以函数是周期为2函数，
因为时，，
所以作出它的图象，则的图象如图所示．
再作出函数的图象，
容易得出交点为12个．
故答案为：
1．已知函数为奇函数，，且与图象的交点为，则（ ）
A．9 B．6 C．18 D．12
【答案】C
【详解】与图象的交点两两关于点对称，所以，故．
2．已知函数，若方程的实数解恰有两个，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】分析函数的性质并作出其图象，数形结合求出实数的取值范围.
【详解】当时，函数在上单调递减，函数值集合为，
在上单调递增，函数值集合为；
当时，在上递增，函数值集合为R，
在直角坐标系内作出函数的图象与直线，

由图象知，当或时，直线与函数的图象有两个交点，
即方程有两个实数解.
故选：C.
3．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】计算可得，从而知为偶函数，再由，得解．
【详解】解：函数的定义域为，
，所以为偶函数，排除选项D，
因为，所以选项C正确，AB错误．
故选：C.
4．（多选）关于函数的下列说法中正确的是（ ）
A．最小值为0 B．只有一个极值点
C．可能有三个根 D．有三个单调区间
【答案】ACD
【分析】讨论当，时，求导函数确定函数的单调性，即可判断D选项；根据单调性确定函数的取值情况得函数的大致图象，根据图象判断A、B、C选项即可得结论.
【详解】当时，，，
令得，所以当时，函数单调递增，时，函数单调递减，
当时，，恒成立，则在上单调递减，
故的增区间为，减区间为，，共三个单调区间，故D正确；
又，则的图象大致如下：

由图象可得：
函数的最小值为0，故A正确；
函数有两个极值点为，故B不正确；
当时，方程有三个根，故C正确.
故选：ACD.
5．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的对称性，并代入特值可得解.
【详解】从四个选项中可以看出，函数奇偶性、函数值的正负无法排除任意选项，
但满足，
因此的图象关于直线对称，可排除AB，
又，排除D，
故选：C.
1．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在上的函数符号排除选项，即得答案.
【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且，
由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除；
当时、，即A、C中上函数值为正，排除；
故选：D
2．（2022·天津·高考真题）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分析函数的定义域、奇偶性、单调性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】函数的定义域为，
且，
函数为奇函数，CD选项错误；
又当时，，B选项错误.
故选：A.
3．（2022·全国乙卷·高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图象，则该函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由函数图象的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】设，则，故排除B;
设，当时，，
所以，故排除C;
设，则，故排除D.
故选：A.
4．（2022·全国甲卷·高考真题）函数在区间的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】令，
则，
所以为奇函数，排除BD；
又当时，，所以，排除C.
故选：A.
5．（2023·北京·高考真题）设，函数，给出下列四个结论：
①在区间上单调递减；
②当时，存在最大值；
③设，则；
④设．若存在最小值，则a的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】②③
【分析】先分析的图象，再逐一分析各结论；对于①，取，结合图象即可判断；对于②，分段讨论的取值范围，从而得以判断；对于③，结合图象可知的范围；对于④，取，结合图象可知此时存在最小值，从而得以判断.
【详解】依题意，，
当时，，易知其图象为一条端点取不到值的单调递增的射线；
当时，，易知其图象是，圆心为，半径为的圆在轴上方的图象（即半圆）；
当时，，易知其图象是一条端点取不到值的单调递减的曲线；
对于①，取，则的图象如下，

显然，当，即时，在上单调递增，故①错误；
对于②，当时，
当时，；
当时，显然取得最大值；
当时，，
综上：取得最大值，故②正确；
对于③，易知当时，在，且接近于处，的距离最小，

当时，，当且接近于处，，
此时，，
当时，且接近于处，的距离最小，
此时；故③正确；
对于④，取，则的图象如下，

因为，
结合图象可知，要使取得最小值，则点在上，点在，
同时的最小值为点到的距离减去半圆的半径，
此时，因为的斜率为，则，故直线的方程为，
联立，解得，则，
显然在上，满足取得最小值，
即也满足存在最小值，故的取值范围不仅仅是，故④错误.
故答案为：②③.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是分析得的图象，特别是当时，的图象为半圆，解决命题④时，可取特殊值进行排除即可.
6．（2023·全国甲卷·高考真题）设，函数．
(1)求不等式的解集；
(2)若曲线与轴所围成的图形的面积为2，求．
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）分和讨论即可;
（2）写出分段函数,画出草图,表达面积解方程即可.
【详解】（1）若,则,
即,解得,即,
若,则,
解得,即,
综上,不等式的解集为.
（2）.
画出的草图,则与轴围成,
的高为,所以,
所以,解得.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第06讲 函数的图象
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01 常考题型过关练
题型01 函数的图象变换
题型02 由解析式选择图象
题型03 由图象选择解析式
题型04解析式含参数图象问题
题型05 函数图象的应用
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 函数的图象变换
1．将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得到的抛物线解析式为（ ）
A． B．
C． D．
2．函数的图象如图①所示，则如图②所示的图象对应的函数解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
3．将函数的图象向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到函数的图象，则 ．
4．若函数的图象经过点，则函数的图象一定经过点 .
5．作出下列各函数的图象：
(1)；
(2)；
(3)．
02 由解析式选择图象
6．已知函数，某函数的部分图象如图所示，则该函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．函数的图象大致为（）
A． B． C． D．
8．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
9．曲线的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
03 由图象选择解析式
10．已知某函数的部分图象如图所示，则下列函数中符合此图象的为（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数的部分图象如图所示、则的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
12．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
13．如图是下列选项中某个函数的部分图象，则该函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
14．若曲线的部分图象如图所示，则的解折式可能为（ ）
A． B．
C． D．
04 解析式含参数图象问题
15．（多选）函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
16．已知是单调递增函数，则函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
17．已知二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
18．（多选）函数（）的大致图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
05 函数图象的应用
19．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．在处取得极小值
B．当时，方程有两个不同的实根
C．
D．若点在的图象上运动，则点到直线距离的最小值为
20．（多选）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正三角形，沿着轴连续滚动（滚动时无滑动），若滚动中，顶点恰好经过坐标原点，设顶点满足，则下列判断正确的有（ ）
A．
B．函数的对称轴方程为
C．函数的单调增区间为
D．函数恰有3个零点，则或
21．已知函数，若函数有两个实数解，则实数的取值范围 ．
22．已知曲线与和分别交于两点，设曲线在处的切线斜率为在处的切线斜率为，若，则 ．
23．若函数满足，且时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数有 个
1．已知函数为奇函数，，且与图象的交点为，则（ ）
A．9 B．6 C．18 D．12
2．已知函数，若方程的实数解恰有两个，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．或
3．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
4．（多选）关于函数的下列说法中正确的是（ ）
A．最小值为0 B．只有一个极值点
C．可能有三个根 D．有三个单调区间
5．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
1．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（ ）

A． B．
C． D．
2．（2022·天津·高考真题）函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国乙卷·高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图象，则该函数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国甲卷·高考真题）函数在区间的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·北京·高考真题）设，函数，给出下列四个结论：
①在区间上单调递减；
②当时，存在最大值；
③设，则；
④设．若存在最小值，则a的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是 ．
6．（2023·全国甲卷·高考真题）设，函数．
(1)求不等式的解集；
(2)若曲线与轴所围成的图形的面积为2，求．
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