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第07讲 函数与方程
目录
01 常考题型过关练
题型01 零点所在区间的判断
题型02 求零点个数
题型03 根据零点所在区间求参数范围
题型04比较零点的大小
题型05 零点个数的应用
题型06 函数与方程的综合
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 零点所在区间的判断
1．函数的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由零点存在定理结合函数单调性即可判断.
【详解】因为函数定义域为与均在上单调递增，
所以在上单调递增且连续，
又，即，
所以由零点存在定理可得的零点所在区间为.
故选：B.
2．已知函数，在下列选项中，包含零点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用零点判断定理判断即可.
【详解】由函数为减函数，也为减函数，
函数为连续递减函数，
，
，由零点判断定理可得函数的零点所在区间为，
故选：C.
3．（多选）函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】在同一个坐标系中作出与的图象，根据函数的单调性和零点存在定理，结合选项中的给定区间逐一判断即得.
【详解】函数的定义域为，由可得，
于是函数的零点所在的区间即函数与函数的交点的横坐标所在区间.
如图作出两函数的图象如下：
对于A，时，因在上递增，在上递减，而在恒为增，
且，，故两函数在上必有交点，
即为原函数的一个零点所在区间，故A正确；
对于B，时，因在上递减，在上递增，且在上恒成立，
而在上恒为增，且，故两函数在上无交点，
即不是原函数的零点所在区间，故B错误；
对于C，时，因在上递增，在上递减，
而在上恒为增，且，，，
即两函数在有两个交点，即为原函数的零点所在的区间，故C正确；
对于D，时，情况与选项B相似，函数在上恒成立，
而在上恒为增，且，即两函数在上无交点，
即不是原函数的零点所在区间，故D错误.
故选：AC.
4．[多选题]教材中用二分法求方程的近似解时，设函数来研究，通过计算列出了它的对应值表如下：
x 1.25 1.375 1.406 1.422 1.437 1.5
h 0.02 0.33
分析表中数据，下列说法正确的是（ ）
A． B．方程有实数解
C．若精确度为0.1，则近似解可取为1.375 D．若精确度为0.01，则近似解可取为1.4375
【答案】BC
【详解】函数显然在R上单调递增，最多有一个零点，又因为，所以函数的零点在区间上，即方程有实数解，故B正确；所以函数在区间上没有零点，即，故A错误；因为，所以函数的零点在区间上，又因为，所以若精确度为0.1，则近似解可取为1.375，故C正确；因为函数的零点在区间上，且，所以若精确度为0.01，则近似解不能取为1.4375，故D错误．
02 求零点个数
5．函数的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】将变形为，从而转化为研究的性质判断零点个数.
【详解】易知0不是函数的零点，故，
令，则在，上单调递减，
又，，，，
故在，上各有一个零点，即零点个数为2，
故选：B．
6．已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【分析】令，由可得，，，分类讨论结合函数图象分析求解即可.
【详解】求函数的零点个数，即求方程的不同实数根的个数，
如图，作出函数的大致图象，
令，则，解得，，．
当时，，则，此时方程无解；
当时，，则，此时方程有3个不同实数根；
当时，，则，此时方程有2个不同实数根．
综上可知，函数的零点个数为5．
故选：A．
7．定义在区间的函数与的图像交点个数为 ．
【答案】4
【分析】在平面直角坐标系中，分别画出与的图像，根据图像即可求解.
【详解】在平面直角坐标系中，函数与的图像如图所示，
根据图像，可得函数与的图像交点个数为4.
故答案为：4.
8．函数的零点个数为 .
【答案】2
【分析】化简函数，所以函数的零点个数为函数与图象的交点的个数，分析函数和的单调性，结合图象，通过一些特殊值可知和只有两个交点，即函数的零点的个数为2.
【详解】因为，
所以函数的零点个数为函数与图象的交点的个数，
而，，
且，所以和在只有一个交点位于内，
同理可得和在也只有一个交点位于内，
画出图象如图所示，由图象知，函数的零点的个数为2.
故答案为：2.
03 根据零点所在区间求参数范围
9．已知是函数的零点，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结果.
【详解】因为函数、在上均为增函数，故函数在为增函数，
因为，，，则，
由零点存在定理可得，又因为，，故.
故选：B.
10．若函数在区间上有零点，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由函数有零点转化成函数与在区间上有交点，结合图象，易得不等式组，解之即得.
【详解】由可得，
则函数在区间上有零点等价于函数与在区间上有交点，
因在区间上为减函数，在区间上为增函数，如图所示.
由图知，需使，即，解得.
故答案为：.
11．已知函数有三个零点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】分析函数的零点个数，利用导数法讨论函数的单调性与最值,再判断函数在每段上的零点个数,根据零点分布情况建立不等式组，求得实数的取值范围.
【详解】由题可得，函数最多只有一个零点.
若零点存在，则，解得，
又由，得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，
且当时，，
所以最多有两个零点.
因为有三个零点，所以有两个零点，
则，
解得，所以实数的取值范围为.
综上可得：实数的取值范围为.
故答案为：
12．已知，若在上有解，则的最小值是 ．
【答案】12
【分析】根据题意，的最小值即为原点到直线的距离的平方，从而求解．
【详解】因为函数，
又在上有解，
设这个解是，则，
则，即，
即点可看作在动直线上，则可转化为点到原点距离的平方的最小值．
则，令，，
则，
当且仅当，即时取等号，此时，
则．
故答案为：12.
04 比较零点的大小
13．已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将函数的零点问题转化成两个函数图象的交点问题，三个函数的零点均可看成对应函数与图象交点的横坐标，根据函数图象可以得到的大小关系.
【详解】
的零点可以看成函数与图象交点的横坐标，根据函数图象可知，
同理的零点可以看成函数与图象交点的横坐标，根据函数图象可知，
的零点可以看成函数与图象交点的横坐标，可得，
因此，
故选：D.
【点睛】方法点睛：函数零点问题可以转化成两个函数图象的交点问题.
14．已知正数a，b，c满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】将转化为直线与曲线交点的横坐标，然后结合图象判断即可.
【详解】由，得，
由此可得是方程的根，
也是直线与曲线交点的横坐标；
同理，是直线与曲线交点的横坐标；
是直线与曲线交点的横坐标．
由于上述三条直线相交于点，曲线经过点，结合函数图象可得．
故选：D．
15．（多选）若实数都是一次函数的零点，则下列不等关系中可能成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】首先由条件转化为，再结合函数图象的交点情况，即可判断选项.
【详解】由题意可得，，即，在同一坐标系下作出的图象如图.
根据图象可知，时，，时，，有或，故B错误；
若，则，所以，故A正确；
若，则，所以，故D正确；
当时，单调递增，因为，所以，使得，所以，即，故C正确.
故选：ACD
16．（多选）已知函数，若，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则成等比数列 B．若，则成等比数列
C．若，则 D．若，则
【答案】ACD
【分析】设当时，成等比数列，利用等比中项可知，代入解得，验证和时是否满足题意验证AB，利用作商法画出的大致图象，可看作对应函数与交点对应的横坐标，利用图象判断CD即可.
【详解】设当时，成等比数列，则，即，
由得，所以，
所以，解得，
经检验，当时，满足，
当时，，此时，不满足题意，故A正确，B错误；
因为在恒成立，在恒成立，
所以，在恒成立，
又，所以当时，，即，
当时，，即，
所以的大致函数图象如图所示，
由图象可知当时，由可得，
当时，由可得，CD正确；
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：选项CD的关键是将可看作对应函数与交点对应的横坐标，利用函数图象判断，数形结合.
05 零点个数的应用
17．函数恰有一个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据条件，将问题转化成与有且仅有一个交点，利用导数与函数单调性间的关系，求出的单调区间，进而求得图象，再数形结合，即可求解.
【详解】令，得到，则，显然，
得到，令，
则，
因为恒成立，
所以当时，，当时，，
即区间上单调递减，在区间和上单调递增，
又时，，，从左边趋近于时，，
从右边趋近于时，，时，，其图象如图，
由题知恰有一个零点，则与有且仅有一个交点，
由图知，，解得，
故选：C.
18．已知函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据函数与方程的关系，将函数的零点个数问题转化为方程的根的个数问题，进一步转化为两函数的交点个数问题，结合函数图象观察，分类讨论即得.
【详解】解：由题意知，要使得恰有2个零点，即有两个实数根．
当时，，令，可得；
当时，，令，可得．
在同一坐标系下，作出函数，和的图象，
如图所示，
由函数，可得，可得时，，，
故函数在处的切线方程为，
又由函数，可得，可得时，，
故函数在的切线方程为，
所以函数与只有一个公共点，
结合图象得：当时，恰有3个零点；
当时，恰有2个零点；
当时，恰有3个零点，
要使得恰有2个零点，则满足，
所以实数的取值范围为．
故选：C.
19．已知函数，若存在实数，使函数恰有个零点，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】首先分析分段函数的单调性，然后画图，将“存在实数使得函数恰有3个零点”问题转化为函数与直线有三个交点的问题，结合图象即可求得的取值范围.
【详解】当时，，求导得，
所以在上单调递增，最大值为.
当时，.
当时，；当时，，
画出的图象如下：
因为存在实数使得函数恰有3个零点，这个问题可以转化为函数与直线有三个交点的问题.
由图可知时，存在实数使得函数与直线最多有2个交点，不合题意.
当时，存在实数使得函数与直线最多有2个交点，不合题意.
当时，由图可以知道，存在实数使得函数与直线恰有3个交点，符合题意.
故答案为：.
20．已知函数．若函数有三个零点，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】函数有三个零点，即与的图象有三个交点，即画出函数的图象，可求出答案.
【详解】若函数有三个零点，即与的图象有三个交点，
当时，，
当时，在有最大值4，
画出函数的图象，如下图，
由图可知，.
故答案为：.
21．已知函数.若函数存在5个零点，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】令，将问题转化为与、的交点，作出函数的大致图像，利用数形结合的思想即可求解.
【详解】函数的 零点，令，
解得，
将问题转化为与、的交点，
作出的大致图像，如下：

由图可知，函数存在5个零点，
则，解得，
故实数的取值范围为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：将问题转化为与、的交点，作出函数的大致图像是关键，考查了数形结合的思想.
06 函数与方程的综合
22．关于的方程恰好有4个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依题意将“方程恰好有4个不同的实数根” 转化为“直线与函数图象在恰好有两个不同的交点”，数形结合可得，解之即得.
【详解】由题意知，所以
，令，则得，
从而可转化为“直线与函数图象在恰好有两个不同的交点”.
而，当时，，当时，，
故在单调递增，在单调递减，
又∵，；当时，，
需使，即，
从而实数的取值范围为.
故选：D.
23．已知实数，是函数的两个零点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意的零点，即函数与函数的交点，作图可初步判断，根据函数值可进一步判断，得到，再对通过判断的符号，得到即可.
【详解】根据题意的零点，即函数与函数的交点如图，
由图可得
，，
，，
，
，
综上，.
故选：B.
24．已知函数存在，使得，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】作出函数的图象，依题意即函数与直线的交点横坐标，利用函数解析式，结合图象易得，，，利用二次函数的性质即可求得的取值范围.
【详解】作出函数的图象，设，依题意，，
且，，解得，，
故，因函数在上单调递减，故，
即的取值范围是.
故答案为：.
25．已知函数若方程有且仅有5个不同实数根，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】作出函数的图像，令得解得或，利用数形结合即可求解.
【详解】由题意作出函数的图像，
由，令，有，
即，化简得，
解得或，若方程有且仅有5个不同实数根，
所以或，解得或，
即，所以，
故答案为：.
26．已知函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】分析函数的图象，再将恰有个零点转化为与的图象恰有个交点，进而求解的取值范围.
【详解】当时，，
当时，，
当时，；
当时， ，
直线恒过点，与的图象在不同区间的位置关系情况如图所示：
当直线过时，，；
当直线过时，， .
结合图象，当时，与恰有个交点.
所以实数的取值范围是 .
故答案为：.
27．设函数为常数，则下列命题中：
命题（1）：对任意实数，存在实数，使方程有两个不同的实数解；
命题（2）：存在实数，对任意实数，方程有两个不同的实数解；
命题（3）：存在实数，对任意实数，方程有两个不同的实数解；
命题（4）：对任意实数，存在实数，使方程有两个不同的实数解.真命题的个数是（ ）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】作出函数的图象，结合图象可得时，若，则，若，则，根据上述结论结合图象可以依次判断各命题真假.
【详解】作的图象：

当，由函数图象知，即，
当，由函数图象知，即，
对命题（1），任取实数，总存在实数，使，命题（1）成立；
对命题（2），若，当时，与的图象仅一个交点，
若，当时，取，此时与的图象仅一个交点，
若，当时显然不成立，故不存在满足条件的正实数，命题（2）为假命题；
对命题（3），由函数图象知，对固定的实数，若，则，若，则，
由于的图象在特定范围内与平行于轴的直线不恒有两个交点，故不满足任意性，命题（3）为假命题；
对命题（4），由函数图象知，对任意，只需取，都能使有两个解，故命题（4）成立.
故选：B．
28．（多选）已知函数的定义域为是奇函数，是偶函数，当时，，则（）
A．的图象关于直线对称 B．是周期函数
C．在上单调递减 D．在内有4个零点
【答案】AB
【分析】由是偶函数可得关于直线对称，由此判断A；由是奇函数可得关于点对称，结合A可推出的周期为8，由此判断B；由关于点对称及时，，可知在单调递增，由此判断C；根据函数的对称性和周期性可求出在内的零点个数，由此判断D.
【详解】对于A，是偶函数，，关于直线对称，故A正确；
对于B，由A可知关于直线对称，①，
又是奇函数，，即，
关于点对称，②，
由①②可得，即，
，
，
的一个周期为8，故B正确；
对于C，由B知关于点对称，
时，单调递增，
在也单调递增，故C错误；
对于D，定义域为R，关于对称，，
又关于直线对称，，
在内有2个零点，故D错误，
故选：AB.
29．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．是奇函数 B．
C．的极大值为4 D．若函数有三个零点，则
【答案】ABD
【分析】利用奇函数的定义可判断A的正误，求出函数的导数后代入计算可判断B的正误，根据导数的符号可判断函数何时取何极大值，故可判断C的正误，根据函数的单调性结合与的图象有3个不同的交点可求的范围，故可判断D的正误.
【详解】对于A，的定义域为，它关于原点对称，
而，故为奇函数，故A正确；
对于B，，故且，
故，故B正确；
对于C，由已知得，
故当时，，时，，
故的极大值点为，此时极大值为，故C错误；
对于D，由C的分析可得在上为增函数，在为减函数，
又，且当时，，时，，
故当函数有三个零点时即与的图象有3个不同的交点时，
必有，故D正确.
故选：ABD.
30．设实系数一元二次方程有两个不相等的实数根，，则原方程可以变形为，展开得，由此，我们可以得到，.类比上述方法，如果实系数一元三次方程有三个不相等的实数根，，，我们也可以得到类似的结论.已知关于的方程有三个不相等的实数根，，，且，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】本题可先根据三次方程根与系数的关系得到，，，再结合函数性质求解的取值范围.
【详解】由题意可以变形为，
展开得：，
所以， ，
三次方程 的根 ，
所以，，，
由 ，代入得：
因此：
因为方程有三个不等实根，令，
令，得.， ，单调递增，
， ，单调递减，， ，单调递增，
所以的极大值为，
的极小值为，
要有三个不等实根，则且，即.
又是最小根则，且.
所以.
令，，
，
因此， 的取值范围为 ，即的取值范围为.
故答案为：
1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】画出两函数在上的图象，根据图象即可求解
【详解】因为函数的最小正周期为，
函数的最小正周期为，
所以在上函数有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有6个交点.
故选：C
2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）若函数既有极大值也有极小值，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】求出函数的导数，由已知可得在上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答.
【详解】函数的定义域为，求导得，
因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而，
因此方程有两个不等的正根，
于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确.
故选：BCD
3．（2023·天津·高考真题）设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点，再根据根存在的条件即可判断的取值范围．
【详解】（1）当时，，
即，
若时，，此时成立；
若时，或，
若方程有一根为，则，即且；
若方程有一根为，则，解得：且；
若时，，此时成立．
（2）当时，，
即，
若时，，显然不成立；
若时，或，
若方程有一根为，则，即；
若方程有一根为，则，解得：；
若时，，显然不成立；
综上，
当时，零点为，；
当时，零点为，；
当时，只有一个零点；
当时，零点为，；
当时，只有一个零点；
当时，零点为，；
当时，零点为．
所以，当函数有两个零点时，且．
故答案为：．
【点睛】本题的解题关键是根据定义去掉绝对值，求出方程的根，再根据根存在的条件求出对应的范围，然后根据范围讨论根（或零点）的个数，从而解出．
4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】令，得有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.
【详解】因为，所以，
令，则有3个根，
令，则有3个根，其中，
结合余弦函数的图像性质可得，故，
故答案为：.
5．（2023·上海·高考真题）函数
(1)当时，是否存在实数c，使得为奇函数；
(2)若函数过点，且函数图像与轴负半轴有两个不同交点，求实数a的取值范围.
【答案】(1)不存在
(2)且
【分析】（1）将代入得，先考虑其定义域，再假设为奇函数，得到方程无解，从而得以判断；
（2）先半点代入求得，从而得到，再利用二次函数的根的分布得到关于的不等式组，解之可得，最后再考虑的情况，从而得到的取值范围.
【详解】（1）当时，，定义域为，
假设为奇函数，则，
而，则，此时无实数满足条件，
所以不存在实数，使得函数为奇函数；
（2）图像经过点，则代入得，解得，
所以，定义域为，
令，则的图像与轴负半轴有两个交点，
所以，即，解得，
若，即是方程的解，
则代入可得，解得或.
由题意得，所以实数的取值范团且.
6．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合．
(1)若，判断是否是中的元素，请说明理由；
(2)若，求a的取值范围；
(3)若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点．
【答案】(1)不是；
(2)；
(3)证明见解析.
【分析】（1）直接代入计算和即可；
（2）法一：转化为在实数使得，分析得，再计算得，最后根据的范围即可得到答案；法二：画出函数图象，转化为直线与该函数有两个交点，将用表示，最后利用二次函数函数性质即可得到答案；
（3）利用函数奇偶性和集合新定义即可求出时解析式，再分析出，最后对的范围进行分类讨论即可.
【详解】（1）（1），，则不是中的元素.
（2）法一：因为，则存在实数使得，且，
当时，，其在上严格单调递增，
当时，，其在上也严格单调递增，
则，则，
令，解得，则，
则.
法二：作出该函数图象，则由题意知直线与该函数有两个交点，
由图知，假设交点分别为，，
联立方程组得
（3）（3）对任意，因为其是偶函数，
则，而，
所以，
所以，因为，则，
所以，所以，
所以当时，，，则，
，则，
而，，
则，则，
所以当时，，而为偶函数，画出函数图象如下：
其中，但其对应的值均未知.
首先说明，
若，则，易知此时，
则，所以，而时，，
所以，与矛盾，所以，即，
令，则，
当时，即使让，此时最多7个零点，
当时，若，此时有5个零点，
故此时最多5个零点；
当时，若，此时有5个零点，
故此时最多5个零点；
当时，若，此时有3个零点，
若，则，易知此时，
则，所以，而时，，
所以，与矛盾，所以，
则最多在之间取得6个零点，
以及在处成为零点，故不超过9个零点.
综上，零点不超过9个.
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01 常考题型过关练
题型01 零点所在区间的判断
题型02 求零点个数
题型03 根据零点所在区间求参数范围
题型04比较零点的大小
题型05 零点个数的应用
题型06 函数与方程的综合
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 零点所在区间的判断
1．函数的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数，在下列选项中，包含零点的是（ ）
A． B． C． D．
3．（多选）函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
4．[多选题]教材中用二分法求方程的近似解时，设函数来研究，通过计算列出了它的对应值表如下：
x 1.25 1.375 1.406 1.422 1.437 1.5
h 0.02 0.33
分析表中数据，下列说法正确的是（ ）
A． B．方程有实数解
C．若精确度为0.1，则近似解可取为1.375 D．若精确度为0.01，则近似解可取为1.4375
02 求零点个数
5．函数的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．定义在区间的函数与的图像交点个数为 ．
8．函数的零点个数为 .
03 根据零点所在区间求参数范围
9．已知是函数的零点，且，，则（ ）
A． B． C． D．
10．若函数在区间上有零点，则实数的取值范围是 ．
11．已知函数有三个零点，则实数的取值范围是 .
12．已知，若在上有解，则的最小值是 ．
04 比较零点的大小
13．已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
14．已知正数a，b，c满足，则（ ）
A． B．
C． D．
15．（多选）若实数都是一次函数的零点，则下列不等关系中可能成立的是（ ）
A． B．
C． D．
16．（多选）已知函数，若，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则成等比数列 B．若，则成等比数列
C．若，则 D．若，则
05 零点个数的应用
17．函数恰有一个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
18．已知函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
19．已知函数，若存在实数，使函数恰有个零点，则实数的取值范围是 ．
20．已知函数．若函数有三个零点，则的取值范围为 ．
21．已知函数.若函数存在5个零点，则实数的取值范围为 .
06 函数与方程的综合
22．关于的方程恰好有4个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
23．已知实数，是函数的两个零点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
24．已知函数存在，使得，则的取值范围是 .
25．已知函数若方程有且仅有5个不同实数根，则实数的取值范围为 .
26．已知函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是 ．
27．设函数为常数，则下列命题中：
命题（1）：对任意实数，存在实数，使方程有两个不同的实数解；
命题（2）：存在实数，对任意实数，方程有两个不同的实数解；
命题（3）：存在实数，对任意实数，方程有两个不同的实数解；
命题（4）：对任意实数，存在实数，使方程有两个不同的实数解.真命题的个数是（ ）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
28．（多选）已知函数的定义域为是奇函数，是偶函数，当时，，则（）
A．的图象关于直线对称 B．是周期函数
C．在上单调递减 D．在内有4个零点
29．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．是奇函数 B．
C．的极大值为4 D．若函数有三个零点，则
30．设实系数一元二次方程有两个不相等的实数根，，则原方程可以变形为，展开得，由此，我们可以得到，.类比上述方法，如果实系数一元三次方程有三个不相等的实数根，，，我们也可以得到类似的结论.已知关于的方程有三个不相等的实数根，，，且，则的取值范围为 .
1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）若函数既有极大值也有极小值，则（ ）．
A． B． C． D．
3．（2023·天津·高考真题）设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为 ．
4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ．
5．（2023·上海·高考真题）函数
(1)当时，是否存在实数c，使得为奇函数；
(2)若函数过点，且函数图像与轴负半轴有两个不同交点，求实数a的取值范围.
6．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合．
(1)若，判断是否是中的元素，请说明理由；
(2)若，求a的取值范围；
(3)若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点．
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