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第三章 一元函数的导数及其应用
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若，则（ ）
A． B．3 C．6 D．
2．已知函数，则的图象在点处的切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数在定义域内单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．记，为实数，设甲：；乙：，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知函数，当时，有极大值，则（ ）
A． B． C．0 D．或1
7．已知定义在上的奇函数满足，当时，，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
8．我们知道一个常识：奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数.推广到一般的情况：如果函数的图象有对称中心，那么其导函数的图象会有对称轴；如果函数的图象有对称轴，那么其导函数的图象会有对称中心.请你运用以上性质研究函数的对称性，并判断下列选项中正确的是（ ）
A．有对称中心 B．有对称中心
C．有对称轴 D．有对称轴
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列各式中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．定义在上的函数，其导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．是的极小值，是的极大值
B．是的极大值，是的极小值
C．在上单调递增
D．在上单调递减
11．已知函数，若曲线过点的切线有两条，则实数的值不可能为（ ）
A． B． C． D．
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知函数，则
13．若在区间上单调递减，则实数的取值范围是 ．
14．已知函数满足，，分别是函数极大、极小值点，则 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
已知函数在时取得极大值4.
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数在区间上的最值.
16．（15分）
已知函数在点处的切线斜率为5．
(1)求实数m和n的值；
(2)方程在有解，求实数t的取值范围．
17．（15分）
已知函数，且曲线在点处的切线与x轴平行．
(1)求a，b；
(2)求的极值点个数．
18．（17分）
已知函数．
(1)当时，讨论的零点个数；
(2)当时，证明：在区间内存在唯一的零点；
(3)若对于任意的，都有，求整数的最大值．
19．（17分）
若存在一个实数，使得对于函数定义域内的任意，都有，则称有下界，且是的一个下界.
(1)求函数的下界的取值范围：
(2)若1是函数的一个下界，求的取值集合；
(3)若是函数的一个下界，求证：的最大值为0.
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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若，则（ ）
A． B．3 C．6 D．
【答案】C
【详解】依题意，.
故选：C
2．已知函数，则的图象在点处的切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】对求导：.
将代入中，可得切线的斜率.
已知切线过点，斜率为，根据点斜式方程，可得切线方程为.
将其化简为一般式： ，
的图象在点处的切线方程是.
故选：D.
3．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】令，解得：或，排除C、D；
，
当或时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
故选：A
4．已知函数在定义域内单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】的定义域为，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，因为函数，
所以当时取得最大值9，
所以，即的取值范围是.
故选：D.
5．记，为实数，设甲：；乙：，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】令函数，求导得，故在上单调递增，
由，得，即，即充分性成立；
由，得，即，可得，故必要性不成立，
综上可知，甲是乙的充分不必要条件.
故选：A.
6．已知函数，当时，有极大值，则（ ）
A． B． C．0 D．或1
【答案】A
【详解】函数，求导得，
依题意，，即，解得或，
当时，，
当时，，函数在区间上单调递增；
当时，，函数在区间上单调递减，
此时在时取得极大值，满足题意，因此；
当时，，则在上单调递增，不符合题意，
所以.
故选：A
7．已知定义在上的奇函数满足，当时，，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设，，则其导数，
而当时，所以，即在上为减函数，
又由，为定义在上的奇函数，则，
则，
所以区间上，，在区间上，，
则在区间上，，在区间上，，
又由是定义在上的奇函数，则，
且在区间上，，在区间上，，
综合可得：不等式的解集为．
故选：B.
8．我们知道一个常识：奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数.推广到一般的情况：如果函数的图象有对称中心，那么其导函数的图象会有对称轴；如果函数的图象有对称轴，那么其导函数的图象会有对称中心.请你运用以上性质研究函数的对称性，并判断下列选项中正确的是（ ）
A．有对称中心 B．有对称中心
C．有对称轴 D．有对称轴
【答案】B
【详解】因为函数，定义域为，
所以，
导函数关于对称，所以关于即对称，
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列各式中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【详解】因为；；．
故A正确，BCD错误.
故选：A
10．定义在上的函数，其导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．是的极小值，是的极大值
B．是的极大值，是的极小值
C．在上单调递增
D．在上单调递减
【答案】BCD
【详解】由图知，
当时，；当时，；当时，；
所以在，上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为，极小值为．
故选：BCD.
11．已知函数，若曲线过点的切线有两条，则实数的值不可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【详解】设切点为，因为，则，
则切线的斜率为，故切线方程为，
将点的坐标代入切线方程得，整理得，
因为曲线过点的切线有两条，则关于的方程有两个不等的实根，
所以，解得或，
故选：BC.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知函数，则
【答案】
【详解】由可得导函数，
令可得，解得.
故答案为：.
13．若在区间上单调递减，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【详解】因为，所以.
由 或.
所以函数的单调减区间为和.
又函数在上单调递减，
所以或.
解得：.
故答案为：
14．已知函数满足，，分别是函数极大、极小值点，则 .
【答案】2
【详解】由题意有，所以，解得，
所以，所以，
令，得或，由有或，有，
所以单调减区间为，曾区间为，
所以的极大值点为，极小值点为，所以，
故答案为：2.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
已知函数在时取得极大值4.
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数在区间上的最值.
【答案】(1)
(2)最大值为4，最小值为
【详解】（1）由题可知，，（2分）
解得．（3分）
此时，（4分）
当时，，所以在单调递增，
当时，，所以在单调递减，
当时，，所以在单调递增，（5分）
所以在时取得极大值．所以．（6分）
（2）由（1）可知，在单调递增，在单调递减，在单调递增．（8分）
又因为，（12分）
所以函数在区间上的最大值为4，最小值为．（13分）
16．（15分）
已知函数在点处的切线斜率为5．
(1)求实数m和n的值；
(2)方程在有解，求实数t的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），（1分）
由函数在点处的切线斜率为5，
可得，（3分）
解得.（6分）
（2）方程在有解，等价于求在区间上的值域，（7分）
由第一问知，
当时，解不等式，可得或，此时递增，（8分）
解不等式，可得，此时递减，（9分）
因此在上递增，在上递减，在上递增，（10分）
由于，所以是函数的极大值点，极大值为，（11分）
是函数的极小值点，极小值为，（12分）
又因为，所以函数的最大值为12，最小值为0，（13分）
即函数的值域为，（14分）
所以实数的取值范围为.（15分）
17．（15分）
已知函数，且曲线在点处的切线与x轴平行．
(1)求a，b；
(2)求的极值点个数．
【答案】(1)，
(2)两个
【详解】（1）由题得，（1分）
解得，（2分）
又，则，（3分）
解得，（4分）
故，（5分）
（2）由（1）可知，（6分）
令，则（7分）
当时，，单调递减；（8分）
当时，，单调递增；（9分）
又，，，（10分）
，使得，（11分）
故，（12分）
所以当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，（14分）
则在内单调递增，在单调递减，在递增，
所以有两个极值点．（15分）
18．（17分）
已知函数．
(1)当时，讨论的零点个数；
(2)当时，证明：在区间内存在唯一的零点；
(3)若对于任意的，都有，求整数的最大值．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
(3)3
【详解】（1）由，（1分）
当时，由得，在上单调递减，（2分）
解得，（3分）
当时，在内只有一个零点．
当时，，在上单调递减.（4分）
，，.
又，
在内有一个零点．（5分）
又在上单调递减，
当时，在内有一个零点．
综上，当时，只有一个零点．（6分）
（2）证明：当时，，，（7分）
当时，，
在上单调递增，（8分）
，，（9分）
在区间内存在唯一的零点．（10分）
（3），且，，（11分）
令，则，，（12分）
由（2）知，在上单调递增，且在区间内存在唯一的零点，
设该零点为，则，（13分）
故当时，，即，在上单调递减，（14分）
当时，，即，在上单调递增，（15分）
，（16分）
，
故整数的最大值为3．（17分）
19．（17分）
若存在一个实数，使得对于函数定义域内的任意，都有，则称有下界，且是的一个下界.
(1)求函数的下界的取值范围：
(2)若1是函数的一个下界，求的取值集合；
(3)若是函数的一个下界，求证：的最大值为0.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）由函数，得，（1分）
令，得，（2分）
所以为增函数；
又，（3分）
所以当时，，当时，，
所以，故；（4分）
（2）函数，得，（5分）
若，则，函数在为减函数，
因为，所以当时，，不合题意，舍去，（6分）
若，令，得，
故当时，，当时，，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，（8分）
由题知，
令，，
故当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在单调递增，
所以，（9分）
所以，所以的取值集合为.（10分）
（3），
即证的最小值为0，（11分）
，
令，则，
故函数单调递增，又，，
故在上存在唯一零点，即，（12分）
故当，，当时，，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
故，（13分）
由得，（14分）
下面证明：；
因为，
所以，即，（15分）
令，则上式等式可化为
因为，所以在单调递增，
故，即，
故的最小值为0；（16分）
即的最大值为0，得证.（17分）
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