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第四章 三角函数与解三角形（综合训练）（全国通用）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．2
2．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则等于（ ）
A．2 B．3 C． D．
3．已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．某公园拟用栅栏围成一个扇形花池，已知围扇形花池一周的栅栏总长，则此扇形花池的面积的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
5．线段的黄金分割点定义：若点C在线段AB上（点C靠近B点），且满足，则称点C为线段AB的黄金分割点．在中，，若角B的平分线交边AC于点D，则点D为边AC的黄金分割点．利用上述结论，可以求出（ ）
A． B． C． D．
6．已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数的图象如图，点，B在的图象上，过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D，若平行四边形的面积为，则（ ）
A． B．1 C． D．
8．在中，若内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的平分线交AC于点D，且，则周长的最小值为（　　）
A． B． C． D．4
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数（，）部分图象如下，它过，两点，将的图像向右平移个单位得到的图象，则下列关于的说法错误的是（ ）
A．图像关于轴对称 B．图像关于中心对称
C．在最小值为 D．在上单调递增
11．当内一点满足条件时，称点为的勃罗卡点，角为勃罗卡角.三角形的勃罗卡点于1816年首次被法国某数学家发现，而后于1875年被法国军官勃罗卡重新发现且展开研究，最终用他的名字命名.如图，在中，角所对的边分别为，记的面积为，点是的勃罗卡点，勃罗卡角为，则（ ）
A．若时，
B．若且时，
C．若为锐角三角形，则
D．
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．在中，若，是关于的方程的两个实根，则 .
13．如图，河流的一侧是以O为圆心的扇形区域OCD，河的另一侧有一建筑物AB垂直于水平面，假设扇形OCD与B处于同一水平面上，记OB交于E.若在C，O，E处看A的仰角分别为，和，则的余弦值为 .
14．已知，，，直线与函数的图象的交点为、、、，若对，的最小值为，最大值为，则 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且.
(1)求的值；
(2)将的终边按顺时针方向旋转，此时终边所对应的角为，求的值.
16．（15分）在中，点在边上，，，．
(1)若，求；
(2)若，求．
17．（15分）已知分别为的三个内角的对边，若为的内角平分线，且，，．
(1)求的大小；
(2)求角平分线的长度：
(3)求的面积．
18．（17分）如图，在平面四边形中，已知，交于，，，，且，令，．
(1)判断：是否成立？请说明理由；
(2)求的值；
(3)证明：当时，位于外接圆的内部．
19．（17分）为了增强游客体验，某景区拟在一块半径为100m的圆形空地内建造一个内接四边形区域作为游客漫时光体验区.如图所示，在四边形ABCD区域中，将区域设计成花卉观赏区，区域设计成漫时光DIY区，边修建观赏步道，边AC修建隔离栏，其中.
(1)求漫时光DIY区（即）面积的最小值；
(2)为使总的观赏步道尽可能长，则应如何设计四边形？请给出设计方案.
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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】结合诱导公式及三角函数的定义即可.
【详解】.
故选：C
2．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则等于（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【详解】由，可得，
由正弦定理可得，
又因为，所以，所以，
在中，，由余弦定理可得，
所以.
故选：D.
3．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，
．
故选：A.
4．某公园拟用栅栏围成一个扇形花池，已知围扇形花池一周的栅栏总长，则此扇形花池的面积的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】设扇形的弧长为，半径为，则，
所以，当且仅当时，有最大值400.
故选：C.
5．线段的黄金分割点定义：若点C在线段AB上（点C靠近B点），且满足，则称点C为线段AB的黄金分割点．在中，，若角B的平分线交边AC于点D，则点D为边AC的黄金分割点．利用上述结论，可以求出（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如图所示，设，则，
由，可得，即，
解得或（舍去），所以，
在中，，所以,
因为AD是角B的角平分线，
所以,
所以.
故选：B.
6．已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，
，
所以：，.
又.
故选：B
7．已知函数的图象如图，点，B在的图象上，过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D，若平行四边形的面积为，则（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【详解】由四边形为平行四边形，点，，
得，，
由平行四边形的面积为，得，解得，
由函数图象的对称性得函数的周期为，又，则，
由，得，即，
而图象在点处是上升的，则，，，，
又，则，因此，
所以
故选：D.
8．在中，若内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的平分线交AC于点D，且，则周长的最小值为（　　）
A． B． C． D．4
【答案】C
【详解】由题可得，，
即，
又，，所以，
因为，所以，则，
所以，即，
又因为，且，
所以，
整理得，
所以，
解得，则，当且仅当时等号成立，
则，故周长的最小值为.
故选：C.
.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【详解】对于A，，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，，D正确.
故选：AD
10．已知函数（，）部分图象如下，它过，两点，将的图像向右平移个单位得到的图象，则下列关于的说法错误的是（ ）
A．图像关于轴对称 B．图像关于中心对称
C．在最小值为 D．在上单调递增
【答案】ABD
【详解】由图知,可得，又，
解得：或，又
若无解；若，则，所以，向右平移得到，
对于A：因为，所以是奇函数，关于原点对称，故A错误；
对于B：令，故对称中心,故B错误；
对于C:因为，则，所以在区间的最小值为：，故C正确；
对于D：因为，所以，所以在此区间不单调，故D错误；
故选：ABD
11．当内一点满足条件时，称点为的勃罗卡点，角为勃罗卡角.三角形的勃罗卡点于1816年首次被法国某数学家发现，而后于1875年被法国军官勃罗卡重新发现且展开研究，最终用他的名字命名.如图，在中，角所对的边分别为，记的面积为，点是的勃罗卡点，勃罗卡角为，则（ ）
A．若时，
B．若且时，
C．若为锐角三角形，则
D．
【答案】ABC
【详解】当时，由“等边对等角”得设，则：
在中，
在中，，故
根据相似判定可得，由相似三角形的性质“对应边成比例”，有：
，A正确；
当时，且由选项A的相似性，得：
设，则，结合，得此时中，由余弦定理得
在中，由正弦定理，且
得：
在中，
由三角函数定义
结合，得：
，B正确；
已知，所以
则
因为
在中，
经过通分和三角函数的恒等变换：
，故C正确；
在中，分别由余弦定理得：
三式相加整理得：①
由三角形面积公式
得：
三式相加整理得：②
结合①②式，可得：
整理可得：，D错误.
故选：ABC.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．在中，若，是关于的方程的两个实根，则 .
【答案】0
【详解】因为，是关于的方程的两个实根，
所以由韦达定理可得：，
则.
又因为，
所以.
又因为,，
所以，
则.
故答案为：.
13．如图，河流的一侧是以O为圆心的扇形区域OCD，河的另一侧有一建筑物AB垂直于水平面，假设扇形OCD与B处于同一水平面上，记OB交于E.若在C，O，E处看A的仰角分别为，和，则的余弦值为 .
【答案】
【详解】由题意，可得，和，所以，
设扇形所在圆的半径为，可得，且垂直于水平面，
在直角中，可得，
所以，且，
在中，可得.
故答案为：.
14．已知，，，直线与函数的图象的交点为、、、，若对，的最小值为，最大值为，则 .
【答案】或
【详解】设，
由可知，或，
因为，则相邻交点最小距离为，即.
由，
可知，所以.
所以最小正周期为.
因为且，所以.
故或.
所以或，
当时，，
则；
当时，，
则.
故答案为：或.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且.
(1)求的值；
(2)将的终边按顺时针方向旋转，此时终边所对应的角为，求的值.
【详解】（1）由三角函数定义可得，得， 2分
则，
，， 6分
8分
（2）因为，，
所以，， 11分
所以. 13分
16．（15分）在中，点在边上，，，．
(1)若，求；
(2)若，求．
【详解】（1）在中，，
由余弦定理，
，
得， 3分
所以． 6分
所以在中，． 8分
（2）设，，（），在中，
由正弦定理得，又因为，
代入上式有：，得． 11分
由余弦定理得，
综上，． 15分
17．（15分）已知分别为的三个内角的对边，若为的内角平分线，且，，．
(1)求的大小；
(2)求角平分线的长度：
(3)求的面积．
【详解】（1）因为，
所以，即，
所以， 2分
因为，
所以； 4分
（2）因为，为的内角平分线，
所以，
因为，，
所以， 6分
在中，由正弦定理得，
，即，
解得，，
所以角平分线的长度为； 9分
（3）由(2)知，，
在中，由正弦定理得，
，即，
解得，， 11分
在中，由正弦定理得，
，即，
解得， 13分
所以，
所以的面积为. 15分
18．（17分）如图，在平面四边形中，已知，交于，，，，且，令，．
(1)判断：是否成立？请说明理由；
(2)求的值；
(3)证明：当时，位于外接圆的内部．
【详解】（1）成立，理由如下；
由题可知：，，
设，
所以，
所以
所以 4分
（2）在中，，
在中，， 7分
由（1）可知，，所以，
则或， 10分
当，即时，所以；
当时，所以，则，所以与矛盾，
所以 14分
（3）要证明位于外接圆的内部，即证明
由（2）可知，所以 17分
19．（17分）为了增强游客体验，某景区拟在一块半径为100m的圆形空地内建造一个内接四边形区域作为游客漫时光体验区.如图所示，在四边形ABCD区域中，将区域设计成花卉观赏区，区域设计成漫时光DIY区，边修建观赏步道，边AC修建隔离栏，其中.
(1)求漫时光DIY区（即）面积的最小值；
(2)为使总的观赏步道尽可能长，则应如何设计四边形？请给出设计方案.
【详解】（1）由于，故,
则，
，故或，， 3分
当时，，此时（）；
当时，，此时（），
即漫时光DIY区（即）面积的最小值为（）； 6分
（2）由（1）知当时，，此时，
设，则，
故
， 9分
由于，故，则最大值为200，此时，
则此时步道长为（m）；
当时，，此时，
设，则， 11分
故
，
由于，故，则最大值为，此时，
则此时步道长为（m）； 14分
由于，
故为使总的观赏步道尽可能长，则应使得，
即设计方案为：四边形中，使得为等腰三角形，
D点在另一侧的圆弧上，为等边三角形. 17分
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