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第五章 平面向量与复数
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知为虚数单位，复数，则的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用复数的乘法及除法运算化简复数，再根据共轭复数定义判断即可.
【详解】因为.
所以.
故选：C.
2．已知向量，若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值.
【详解】因为，所以，
所以即，故，
故选：D.
3．已知复数z满足，则（ ）
A． B． C．4 D．8
【答案】B
【分析】先求出复数，再根据复数模的公式即可求出．
【详解】由可得，，所以，
故选：B.
4．在中，点在边上，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由向量的线性运算即可求解.
【详解】如图，.
故选：B.
5．已知是关于的方程在复数范围内的一个根，则实数（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】利用一元二次方程两虚根共轭，得到方程另一根，最后利用韦达定理得到答案
【详解】是方程的一个根.是方程的另一个根.
则由韦达定理得：，解得：
故选：B
6．任何一个复数（其中a，，i为虚数单位）都可以表示成（其中，）的形式，通常称之为复数z的三角形式，法国数学家棣莫弗发现，我们称这个结论为棣莫弗定理.若复数为纯虚数，则正整数m的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】A
【分析】根据复数新定义计算，再结合纯虚数定义列式求解.
【详解】，
由棣莫弗定理可得，
因为复数为纯虚数，
所以且，所以，，得，，
所以正整数m的最小值为4.
故选：A.
7．已知复数满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据复数的几何意义以及模长，可得对应点的轨迹，根据圆外一点到圆上点的距离，可得答案.
【详解】由，可知在复平面内对应点在以为圆心，为半径的圆上，
由可表示为复数对应的点到复平面原点的距离，且，
则，所以的取值范围为.
故选：A.
8．对任意两个非零向量，，定义新运算：，表示向量，的夹角.若非零向量，满足，向量，的夹角，且和都是集合中的元素，则的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据向量的新定义结合向量的数量积运算、三角函数的取值范围即可得的取值集合.
【详解】依题意，，而，，则，，
于是，显然存在，，则，
因此，即，则，
显然，即，
从而，因此，
又存在，使得，即，解得，则，
所以的取值集合为.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知复数，则（ ）
A． B．
C．的虚部为 D．在复平面内对应的点位于第二象限
【答案】ABC
【分析】根据复数的乘法计算，判断A的真假，根据复数的模的概念判断B的真假，计算，根据虚部的概念判断C的真假，计算，根据复数的几何意义判断D的真假.
【详解】对A：因为，故A正确；
对B：因为，故B正确；
对C：因为，所以的虚部为，故C正确；
对D：，所以在复平面内对应的点位于第四象限，故D错误.
故选：ABC
10．若向量，满足，，则（ ）
A．与的夹角为 B．
C． D．在上的投影向量为
【答案】BD
【分析】由已知可得可判断B；利用向量的夹角公式求解可判断A；求得可判断C；利用投影向量的定义求解可判断D.
【详解】因为，所以，又，
所以，所以，故B正确；
所以，又，所以，故A错误；
，所以与不垂直，故C错误；
因为，
所以在上的投影向量为，故D正确.
故选：BD.
11．如图，直线，点A是，之间的一个定点，点A到，的距离分别为1和2．点B是直线上一个动点，过点A作，交直线于点C，点G满足，则（ ）
A． B．面积的最小值是
C． D．存在最小值
【答案】ABC
【分析】根据直角坐标系，设出，，，根据及，即可找到三个点的坐标关系，分别写出，，即可判断A；取中点为，连接，根据，可得三点共线，且为靠近的三等分点，即可找到面积与面积之间比例关系，进而建立面积等式，根据基本不等式即可判断B；求出，再根据基本不等式可判断C；写出进行化简，根据的范围即可得到的最值情况判断D.
【详解】设中点为，连接，
以为原点，方向分别为轴建立如图所示的直角坐标系，
则，，设，，，，且，
所以，，因为，所以，
即，故，即，
所以，，，
因为，
所以，即，
因为，故，A正确；
因为，所以，即，
所以三点共线，且为靠近的三等分点，
所以
，
当且仅当，即时取等，故B正确；
因为，
所以，
当且仅当，即时取等，故，C正确；
因为，
所以，
因为且，所以，
记，由函数和在上递增，
可知在上单调递增，没有最值，即没有最值，故D错误.
故选：ABC
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知复数（i为虚数单位），则 ．
【答案】
【分析】由共轭复数的概念、复数减法以及模的计算公式求解即可.
【详解】已知复数，则.
故答案为：.
13．若两个非零向量满足，则向量与的夹角是 .
【答案】/
【详解】由可得，
由平方可得，
，
因此，
由于，故，
故答案为：
14．已知，，，．则 ；若BC边上一动点F，则的最小值为 ．
【答案】 4
【分析】利用余弦定理求出.设，利用向量线性运算得，然后利用数量积的运算律得，结合一次函数性质求解最小值即可.
【详解】，，，
所以．
设，
则，
所以
，
因为，所以，即的最小值为4.
故答案为：；4.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．设，复数.
(1)若复数是纯虚数，求实数m的值；
(2)若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据纯虚数的概念列出方程求解即可；
（2）根据复数对应的点在第二象限，列出不等式组求解.
【详解】（1）因为，
又复数是纯虚数，所以，
解得.
（2）复数z在复平面内对应的点为，
又复数z在复平面内对应的点位于第二象限，所以
解得，即实数m的取值范围是.
16．已知向量，的夹角为，且满足，.
(1)求向量在向量上的投影数量；
(2)若向量与向量共线，求k的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先根据数量积的定义求出，然后求出，最后带入投影数量公式进行计算即可；
（2）由共线设，再根据平面向量基本定理列方程求解.
【详解】（1）因为，，且向量与的夹角为，
所以，
所以.
所以向量在向量上的投影数量为
（2）若向量与向量共线，则存在实数，使，
所以，解得.
17．如图，在△OAB中，已知M为线段AB上的一点，.

(1)求证：；
(2)若，，，且与的夹角为时，求的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）设，再将和转化成，即可得证；
（2）由（1）的结论可知，再将转化成和，即可求出．
【详解】（1）如图所示：

设，则，
可化简为，
所以，
因为．
所以，
所以，所以（1）得证；
（2）因为，由（1）的结论易知，
又，所以
.
18．如图所示，在中，，，，，．
(1)求的值．
(2)线段上是否存在一点，使得 若存在，求的值；若不存在，说明理由．
(3)若是内一点，且满足，求的最小值．
【答案】(1)
(2)存在，
(3)
【分析】（1）应用向量的加减法转化向量的数量积即可；
（2）应用向量的数量积表示向量的垂直计算求参；
（3）由已知得出三点共线，再结合基本不等式求出最小值即可．
【详解】（1），
，
．
（2）设，
，
，
，，
，解得，
∴存在一点，使得，．
（3），
∴，
，
，
，
，
，，三点共线，
，
当且仅当时，即为中点时等号成立，
而，
所以的最小值为．
19．对于一组向量（且），令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“1向量”.
(1)若，，则向量组是否存在“1向量” 若存在，求出“1向量”；若不存在，请说明理由；
(2)已知均是向量组的“1向量”，其中，.设在平面直角坐标系中有一点列且）满足：为坐标原点，，且与关于点对称，与关于点对称，求的最大值.
【答案】(1)存在，
(2)12144
【分析】（1）法1：先判定向量组以4为周期，进而，然后根据“1向量”验证判断即可；法2：先求出向量模长，再根据“1向量”的定义列出不等式，结合三角函数的值域求解.
（2）根据“1向量”的定义及数量积的运算律得，同理，，相加变形得，则，设，由条件列式变形得，从而将问题转化为的最大值问题，结合二倍角正弦公式利用正弦函数性质求解即可.
【详解】（1）法1：，，
，，，…
向量组以4为周期.，
，不是该向量组的“1向量”；
，是该向量组的“1向量”；
，不是该向量组的“1向量”；
，不是该向量组的“1向量”；
存在“1向量”，“1向量”为.
法2：由题意可得，
因为，
所以向量组以4为周期，若存在“1向量”，只需使，
又，所以，
故只需使
，即，
当时，符合要求，
故存在“1向量”，且“1向量”为；
（2）由题意，，即，
，
同理，，
上述三式相加，得：，，
又.，
设，则依题意得，
得，
故，
，
所以，
，
当，即时，，，
.
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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知为虚数单位，复数，则的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
3．已知复数z满足，则（ ）
A． B． C．4 D．8
4．在中，点在边上，且，则（ ）
A． B．
C． D．
5．已知是关于的方程在复数范围内的一个根，则实数（ ）
A．4 B． C．2 D．
6．任何一个复数（其中a，，i为虚数单位）都可以表示成（其中，）的形式，通常称之为复数z的三角形式，法国数学家棣莫弗发现，我们称这个结论为棣莫弗定理.若复数为纯虚数，则正整数m的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
7．已知复数满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．对任意两个非零向量，，定义新运算：，表示向量，的夹角.若非零向量，满足，向量，的夹角，且和都是集合中的元素，则的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知复数，则（ ）
A． B．
C．的虚部为 D．在复平面内对应的点位于第二象限
10．若向量，满足，，则（ ）
A．与的夹角为 B．
C． D．在上的投影向量为
11．如图，直线，点A是，之间的一个定点，点A到，的距离分别为1和2．点B是直线上一个动点，过点A作，交直线于点C，点G满足，则（ ）
A． B．面积的最小值是
C． D．存在最小值
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知复数（i为虚数单位），则 ．
13．若两个非零向量满足，则向量与的夹角是 .
14．已知，，，．则 ；若BC边上一动点F，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．设，复数.
(1)若复数是纯虚数，求实数m的值；
(2)若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围.
16．已知向量，的夹角为，且满足，.
(1)求向量在向量上的投影数量；
(2)若向量与向量共线，求k的值.
17．如图，在△OAB中，已知M为线段AB上的一点，.

(1)求证：；
(2)若，，，且与的夹角为时，求的值.
18．如图所示，在中，，，，，．
(1)求的值．
(2)线段上是否存在一点，使得 若存在，求的值；若不存在，说明理由．
(3)若是内一点，且满足，求的最小值．
19．对于一组向量（且），令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“1向量”.
(1)若，，则向量组是否存在“1向量” 若存在，求出“1向量”；若不存在，请说明理由；
(2)已知均是向量组的“1向量”，其中，.设在平面直角坐标系中有一点列且）满足：为坐标原点，，且与关于点对称，与关于点对称，求的最大值.
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