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第一章 集合与常用逻辑用语、不等式（综合训练）（全国通用）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】,故，
故选：B.
2．设集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意，
，
故选：C
3．设， 则“”是 的（ ）条件.
A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【详解】由题意或，
而若，则有，所以肯定有或，
取，即满足或，但是不满足，
所以“”是的充分而不必要条件.
故选：A.
4．若命题，则（ ）
A．是真命题，且
B．是真命题，且
C．是假命题，且
D．是假命题，且
【答案】C
【详解】当时，，所以是假命题，且.
故选：C.
5．已知二次不等式的解集为，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为，，所以，
所以，即，解得：或．
因为有两个不等根，所以，
解得：或，则的取值范围是．
故选：B
6．第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行，参赛的各国运动员在比赛、训练之余，都爱逛逛杭州亚运会特许商品零售店，开启“买买买”模式.某商店售卖的一种亚运会纪念章，每枚的最低售价为15元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出45枚，每枚售价每提高1元，日销售量将减少3枚，为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售收入，则这批纪念章的销售单价x（单位：元）的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意，得，
即，∴，
解得.又每枚的最低售价为15元，∴.
故选：B.
7．若，，则下列能成为“的最小值为16”的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，，
又的最小值为16，
，
当且仅当，即时，等号成立，即取到最小值16．
所以，即．
若，显然的最小值为16．
故选：A．
8．正交数组的概念在现代广泛应用.设集合.任取，若，则称与正交.若，且中任意两个元素均正交，则中元素个数最多是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【详解】不妨设，
由，则中最多包含6个元素，
又，，三组元素不正交，
所以6个元素中最多只有3个元素在集合中，如，
若，且中任意两个元素均正交，则中元素个数最多是.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．图中阴影部分所表示的集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【详解】
如图，
A选项：①+②，则②，故A正确；
B选项：①+④，则④， 故B错误；
C选项：③，①+②+④，则②，故C正确；
D选项：①，故D错误.
故选：AC.
10．下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】BCD
【详解】对于A，若，则，故A错误；
对于B，若，由不等式的性质可得，故B正确；
对于C，若，由不等式的性质可得，
若，则，故C正确；
对于D，若，由指数函数的单调递增性质可得，故D正确；
故选：BCD
11．已知（a，b，），且，则（ ）
A． B．存在a，c使得
C．不存在a，c使得 D．
【答案】ACD
【详解】对于A，由，，得，则，A正确；
对于B，由，，得，则，，
若存在，使得，则，与已知相矛盾，B错误；
对于C，由，得，，C正确；
对于D，，，D正确.
故选：ACD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若命题“，”为真命题，则实数k的最大值为
【答案】
【详解】命题“，”为真命题，
所以，又在上单调递增，
所以，所以，
所以实数k的最大值为.
故答案为：.
13．已知集合，，若，实数的取值范围为 .
【答案】
【详解】因为所以
由题意，集合为的解集，
当时，得不满足，
当时，因为，在恒成立，即
因为，当且仅当时，取等号，显然不成立，
当时，由题意可得：在恒成立，即恒成立，
因为，当且仅当时，取等号，所以，
故答案为：
14．有限集合中元素的个数记做，设，都为有限集合，给出下列命题：
①的充要条件是
②的必要不充分条件是
③ 的充分不必要条件是
④的充要条件是
其中，真命题有 .（填序号）
【答案】①②
【详解】①若，则集合与无重复元素，则，
即是的充分条件，
若，则集合与无重复元素，，
即是的必要条件，
综上所述的充要条件是，①正确；
②若，即集合中所有元素均属于集合，此时，
即，所以是的充分条件，
即是的必要条件，
若，无法判断集合中元素与集合的关系，
即不是的充分条件，
综上所述，的必要不充分条件是，②正确；
③若，无法判断集合中元素与集合的关系，
即不是 的充分条件，③错误；
④若，无法判断集合中元素与集合的关系，不能说明，④错误；
故答案为：①②.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）已知集合，集合.
(1)若，求和；
(2)若，求实数的取值范围.
【详解】（1）当时，，
令，解得， 3分
所以，故或. 5分
（2）由得到， 7分
（i）当时，，
因为，所以，解得. 9分
（ii）当时，
因为，所以，解得. 11分
（iii）当时，
因为，所以，解得.
综上所述，实数的取值范围为. 13分
16．（15分）某企业拥有一台大功率的耗电设备，每天至少运行1小时，但不超过20小时．假设该设备每天运行小时，且每小时的平均耗电量千瓦与每天的运行时间满足如下函数关系：
(1)当时，若该设备每小时的平均耗电量不超过2千瓦，求的取值范围；
(2)求该设备一天的耗电总量的最小值及设备当天的运行时间．
【详解】（1）当时，，
由题意得，， 3分
即，解得，
又，所以的取值范围为． 6分
（2）由题意得，设设备一天的耗电总量为
， 9分
①当时，，
当且仅当，即时，等号成立； 11分
②当时，，
当时取得最小值15； 13分
因为，所以最小值为．
答：设备一天的耗电总量最小值为8千瓦，设备当天运行6小时． 15分
17．（15分）已知正数，满足.
(1)求的最小值；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
【详解】（1）∵，
∴，，， 3分
∴，
当且仅当，即，时取“=”，
所以的最小值为25. 6分
（2）∵，∴，
∴， 8分
∵且，∴，
∴，当且仅当，即时取“=”，
∴， 11分
∴恒成立，即，解得 ，
所以实数的取值范围为 15分
18．（17分）设函数.
(1)若，求的解集；
(2)若不等式对一切实数恒成立，求a的取值范围；
(3)解关于的不等式：.
【详解】（1）由函数，
若，可得，
又由，即不等式，即， 2分
因为，且函数对应的抛物线开口向上，
所以不等式的解集为，即的解集为. 5分
（2）由对一切实数恒成立，
即对恒成立，
，
， 7分
，
，
当且仅当时，即时等号成立，
所以的取值范围是. 10分
（3）依题意，等价于，
当时，不等式可化为，所以不等式的解集为. 12分
当时，不等式可化为，此时，
所以不等式的解集为. 14分
当时，不等式化为，
①当时，，不等式的解集为；
②当时，，不等式的解集为或；
③当时，，不等式的解集为或；
综上，当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为. 17分
19．（17分）含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.例如，的元素和是；交替和是；而的元素和与交替和都是5.
(1)写出集合的所有非空子集的交替和的总和.
(2)已知集合，根据提示解决问题.
①求集合M所有非空子集的元素和的总和；
提示：，先求出x在集合M的非空子集中一共出现多少次，进而可求出集合M的所有非空子集的元素和的总是；
②求集合M所有非空子集的交替和的总数.
【详解】（1）集合的非空子集为，，，，，，， 2分
集合，，的交替和分别为1，2，3，
集合的交替和为，
集合的交替和为，
集合的交替和为，
集合的交替和为，
所以集合的所有非空子集的交替和的总和为. 6分
（2）①集合所有非空子集中，，，，，，，，数字1、2、3各出现次， 8分
集合所有非空子集为：，，，，，，，，，，
，，，，，其中数字1、2、3、4各出现次， 10分
在集合所有非空子集中，含1的子集的个数为，
因此数字1在16个子集中出现，即数字1在所有的非空子集中出现了16次，同理数字2、3、4、5各出现次，
同理在集合所有非空子集中，数字1、2、3、4、5、6各出现次，
所以集合所有非空子集的元素和的总和为. 13分
②的子集一共有个，按照子集是否含有可分为两类，
每一个含和去掉的两个配对子集交替和之和为，因为不含的子集共有个，
所以的所有非空子集的交替和总和为（的交替和为0，所有子集的交替和与所有非空子集的交替和相等）， 15分
所以集合所有非空子集的交替和的总和. 17分
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第一章 集合与常用逻辑用语、不等式（综合训练）（全国通用）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．设集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．设， 则“”是 的（ ）条件.
A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要
4．若命题，则（ ）
A．是真命题，且
B．是真命题，且
C．是假命题，且
D．是假命题，且
5．已知二次不等式的解集为，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行，参赛的各国运动员在比赛、训练之余，都爱逛逛杭州亚运会特许商品零售店，开启“买买买”模式.某商店售卖的一种亚运会纪念章，每枚的最低售价为15元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出45枚，每枚售价每提高1元，日销售量将减少3枚，为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售收入，则这批纪念章的销售单价x（单位：元）的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．若，，则下列能成为“的最小值为16”的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
8．正交数组的概念在现代广泛应用.设集合.任取，若，则称与正交.若，且中任意两个元素均正交，则中元素个数最多是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．图中阴影部分所表示的集合是（ ）
A． B． C． D．
10．下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
11．已知（a，b，），且，则（ ）
A． B．存在a，c使得
C．不存在a，c使得 D．
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若命题“，”为真命题，则实数k的最大值为
13．已知集合，，若，实数的取值范围为 .
14．有限集合中元素的个数记做，设，都为有限集合，给出下列命题：
①的充要条件是
②的必要不充分条件是
③ 的充分不必要条件是
④的充要条件是
其中，真命题有 .（填序号）
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）已知集合，集合.
(1)若，求和；
(2)若，求实数的取值范围.
16．（15分）某企业拥有一台大功率的耗电设备，每天至少运行1小时，但不超过20小时．假设该设备每天运行小时，且每小时的平均耗电量千瓦与每天的运行时间满足如下函数关系：
(1)当时，若该设备每小时的平均耗电量不超过2千瓦，求的取值范围；
(2)求该设备一天的耗电总量的最小值及设备当天的运行时间．
17．（15分）已知正数，满足.
(1)求的最小值；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
18．（17分）设函数.
(1)若，求的解集；
(2)若不等式对一切实数恒成立，求a的取值范围；
(3)解关于的不等式：.
19．（17分）含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.例如，的元素和是；交替和是；而的元素和与交替和都是5.
(1)写出集合的所有非空子集的交替和的总和.
(2)已知集合，根据提示解决问题.
①求集合M所有非空子集的元素和的总和；
提示：，先求出x在集合M的非空子集中一共出现多少次，进而可求出集合M的所有非空子集的元素和的总是；
②求集合M所有非空子集的交替和的总数.
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