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第01讲 导数的概念及其意义、导数的运算
目录
01 常考题型过关练
题型01 平均变化率和瞬时变化率
题型02 “在”型切线和“过”型切线
题型03 切线条数
题型04 公切线问题
题型05 距离最值转化问题
题型06 导数运算
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 平均变化率和瞬时变化率
1．若，则（ ）
A．0 B．2 C．－2 D．－4
【答案】C
【详解】因为，所以，
所以，
则.
故选：C.
2．已知函数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【详解】由题，
，
故选：A.
3．函数在到之间的平均变化率为，在到的平均变化为，则与的大小关系是 填， 或不确定
【答案】
【详解】因为，
，
且，则.
故答案为：
4．函数在区间的平均变化率与在处的瞬时变化率相同，则正数 ．
【答案】/
【详解】函数在区间上的平均变化率等于，
因为，则在时的瞬时变化率为，
则有，解得，因为，所以，
故答案为：.
02“在”型切线和“过”型切线
5．函数在处的切线斜率为（ ）
A．0 B．1 C．e D．
【答案】C
【详解】，故.
故选：C
6．已知曲线在点处的切线与曲线相切，则常数 ．
【答案】
【详解】对函数求导得，所以曲线在原点处的切线斜率为，
故曲线在点处的切线方程为，
联立可得，由题意得，解得.
故答案为：.
7．曲线在处的切线方程为 .
【答案】
【详解】，，
，
所以切线方程为，
即.
故答案为：
8．若函数的图象在点 处的切线过点，则 ．
【答案】
【详解】因为，所以，则，又，
所以切线方程为：，
因为切线方程经过点，
所以，
解得．
故答案为：
9．过点可作曲线的切线的条数最多为 .
【答案】
【详解】设切点坐标为．
因为，所以，则切线斜率为，
所以切线方程为．
又点在切线上，所以，解得，
故过点可作条切线与曲线相切．
故答案为：.
10．函数的图象上过点的切线方程为 ．
【答案】或
【详解】由得．设切点为，则，
所以切线的方程为，
又切线过点，所以，
又，得，所以或，
当时，切线方程为，当时，切线方程为．
故答案为：或
11．已知曲线，则曲线过原点的切线方程为 .
【答案】
【详解】由，则，
设切点为，
所以，解得，
所以切点为，切线的斜率
所以过原点的切线方程为：，即.
故答案为：
12．过点且曲线相切的直线的方程为 .
【答案】或
【详解】设切点为，对函数求导得，则切线斜率为，
所以，曲线在点处的切线方程为，
因为切线过点，则有，整理可得，
即，
当时，切线斜率为，切线方程为，即；
当时，切线斜率为，切线方程为，即.
故答案为：或.
03 切线的条数
13．若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】设切点为，
由已知可得.
根据导数的几何意义可知，
切线的斜率为.
代入切线方程为，
整理可得.
又切线经过原点，
所以有，
整理可得.
因为曲线有两条过坐标原点的切线，
所以方程有两个不相等的实数解，
即有，解得或.
故选：B.
14．已知过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】设切点为，对函数求导得，
所以，切线斜率为，整理得，
关于的方程有两个不等的实根.
令函数，由题意可得，解得且，
所以，函数的定义域为，且，
当时，，；当时，，；
当时，，，
所以在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增.
.
作出函数与函数的图象如下图所示：

由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，
因此，实数的取值范围是.
故选：B.
15．（多选）已知函数，若曲线过点的切线有两条，则实数的值不可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【详解】设切点为，因为，则，
则切线的斜率为，故切线方程为，
将点的坐标代入切线方程得，整理得，
因为曲线过点的切线有两条，则关于的方程有两个不等的实根，
所以，解得或，
故选：BC.
16．（多选）已知函数，若过点可作曲线的切线有三条，则以下有序实数对中符合条件的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【详解】设切点为，则，化简得，
若切线有三条，则以上关于的方程至少要有三个不同的解，
（切点个数不能代表切线条数，此例可以验证三个切点必有三条切线）．
构造函数，三次函数要有三个零点，
等价于的极大值大于0，极小值小于0，而，
当或时，即在、上单调递增，
当时，即在上单调递减，
易知的极大值和极小值分别是，，
所以，解得．
对于，显然满足，
此时，，则，
当或时，即在、上单调递增，
当时，即在上单调递减，
且，，，
所以有三个不同的零点，其中一个为，另两个分别位于区间内，
代入必有三个不同值，即三条切线斜率不同，满足切线有三条，A对；
对于，有，后一个不等关系不成立，不满足，B错；
对于，有，满足，
此时，，同理易知，，，
所以有三个不同的零点，分别位于区间内，
代入有三个不同值，即三条切线斜率不同，满足切线有三条，C对；
对于，有，满足，
此时，，可得为函数的三个零点，
代入有三个不同值，即三条切线斜率不同，满足切线有三条，D对；
故选：ACD
04 公切线问题
17．已知，则与的公切线有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
【答案】C
【详解】根据题意，设直线l与相切于点，与相切于点，
对于，有，则直线l的斜率，
则直线l的方程为，即，
对于，有，则直线l的斜率，则直线l的方程为，即，
则
可得，即或，
则切线方程为或，故与的公切线有2条．
故选：C.
18．若两曲线与存在公切线，则的范围是
【答案】.
【详解】对求导，，设切点，则切线方程为：,
化简得.
对求导，，设切点，
则切线方程为：，化简得.
则根据公切线可列方程组，消去得到，
化简得.
令，求导，
当时，，解得，
当时，，解得，
当时，，解得，
可知在上单调递增，在上单调递减，在出取得最大值，
，值域为，
所以的范围是,
故答案为：.
19．已知曲线的切线与曲线也相切，若该切线过原点，则 ．
【答案】
【详解】因为的导数为，设切点为，
所以切线斜率为，
所以曲线在处的切线过原点，所以，即，所以，切线为，
又切线与曲线相切，设切点为，
因为，所以切线斜率为，解得，
所以，则，解得.
故答案为：.
20．若曲线和曲线存在有公共切点的公切线，则 ．
【答案】
【详解】由已知可得，，定义域为
则有．
设公共切点的坐标为，则，，
，．
根据题意，有.
由可得，，解得（舍去）或.
由可得，
代入可得，.
故答案为：.
21．已知（e为自然对数的底数），，请写出与的一条公切线的方程 .
【答案】或(写出其中一条即可)
【详解】设公切线与相切于点，与相切于点，
，，则公切线斜率，
公切线方程为或，
整理得或，
所以，即，
，解得或，
公切线方程为或.
故答案为：或<(写出其中一条即可)
05 距离最值转化问题
22．曲线上的点到直线的最短距离是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【详解】因为，所以当切点满足时，曲线上的点到直线的距离是最短距离，
所以，所以切点为，所以点到直线的距离是，
所以曲线上的点到直线的最短距离是.
故选：A.
23．已知点是曲线上任一点，则到直线的距离的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设，因为，则，由题有，
解得或（舍），所以，
此时到直线的距离为，
故选：B.
24．实数，满足，，则的最小值是 ．
【答案】2
【详解】
.
对于，，则在R上单调递增，
又，则，故，
表示函数图象上一点到直线上一点距离的平方，
则最小值为函数图象与直线平行切线上一点到直线的距离的平方.
，令，
则与直线平行切线对应的切点为：，其到直线距离为.
则最小值为2.
故答案为：2
25．已知点，定义为的“镜像距离”．若点在曲线上，且的最小值为2，则实数的值为 .
【答案】
【详解】由函数可得，即,
所以的反函数为,
由点在曲线上可知点在其反函数上，
所以相当于上的点到曲线上点的距离，
即，
利用反函数性质可得与关于对称，
所以可得当与垂直时，取得最小值为2，
因此两点到的距离都为1，
过点的切线平行于直线，斜率为1，即，
可得，即，
点到的距离，解得，
当时，与相交，不合题意；
因此，
故答案为：
06导数的运算
26．求下列函数的导数.
(1)
(2)；
(3)；
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）.
（2）.
（3）.
（4）.
27．求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）因为，所以．
（2）因为，所以．
（3）因为，所以．
（4）因为，所以．
28．求下列函数的导数：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)
【详解】（1）解：因为，
所以
（2）解：因为，
所以
.
29．求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）．
（2）∵，
∴.
（3）．
（4）.
1．若曲线在与处的切线互相垂直，且两条切线的交点在直线上，则的值可能是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】函数，求导得,
曲线在与处的切线斜率分别为，
由两条切线互相垂直，得，而，
当且仅当中一个取1，另一个取时，它们的积为，不妨令，，
则，即，
此时,，
如图，设，则是以为直角顶点的等腰直角三角形，
由图知，，
则，
对于A，由，得不成立，A不是；
对于B，由，得不成立，B不是；
对于C，由，得不成立，C不是；
对于D，取，，D是.
故选：D
2．人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题．牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法．这种求方程根的方法，在科学界已被广泛采用．例如求方程的近似解，先用函数零点存在定理，令，，，得上存在零点，取，牛顿用公式反复迭代，以作为的近似解，迭代两次后计算得到的近似解为 ；以为初始区间，用二分法计算两次后，以最后一个区间的中点值作为方程的近似解，则近似解为 ．
【答案】
【详解】已知，则．
迭代1次后，；
选代2次后，；
用二分法计算第1次，区间的中点为，，，所以近似解在区间上；
用二分法计算第2次，区间的中点为，，，所以近似解在区间上，取其中点值，
故所求近似解为．
故答案为：，
3．已知函数，对抛物线持续实施下面“牛顿切线法”的步骤：
在点处作C的切线，交x轴于；
在点处作C的切线，交x轴于；
在点处作C的切线，交x轴于；
……
由此能得到一个数列，称为“牛顿数列”，则的值为 ；若，则的最大值为 ．
【答案】
【详解】由可得，且，，
则切线方程为，令可得，解得，即，
在点处的切线斜率为，
则切线方程为，
因为切线交轴于，令，则，
即，即，
则，
则，
因为，所以，
且，
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，
则，
设，则，
当时，，
当时，，
当时，，即，
所以，且，
即的最大值为.
故答案为：；.
4．已知函数，设曲线在点处切线的斜率为，若均不相等，且，则的最小值为 ．
【答案】48
【详解】由函数，
即为，
可得的导数为，
则，
由，可得，
，
，
则
，当且仅当时，取得等号．
所以的最小值为.
故答案为：.
1．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ．
【答案】
【详解】[方法一]：化为分段函数，分段求
分和两种情况，当时设切点为，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得；
解： 因为，
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：；
[方法二]：根据函数的对称性，数形结合
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
因为是偶函数，图象为：
所以当时的切线，只需找到关于y轴的对称直线即可.
2．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ．
【答案】
【详解】∵，∴，
设切点为,则,切线斜率,
切线方程为：,
∵切线过原点，∴,
整理得：,
∵切线有两条，∴,解得或,
∴的取值范围是,
故答案为：
3．（2023·天津·高考真题）已知函数．
(1)求曲线在处的切线斜率；
【答案】(1)
【详解】（1），则，
所以，故处的切线斜率为；
4．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
【答案】(1)；
【详解】（1）当时，，
则，
据此可得，
函数在处的切线方程为，
即.
5．（2022·北京·高考真题）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
【答案】(1)
【详解】（1）解：因为，所以，
即切点坐标为，
又，
∴切线斜率
∴切线方程为：
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01 常考题型过关练
题型01 平均变化率和瞬时变化率
题型02 “在”型切线和“过”型切线
题型03 切线条数
题型04 公切线问题
题型05 距离最值转化问题
题型06 导数运算
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 平均变化率和瞬时变化率
1．若，则（ ）
A．0 B．2 C．－2 D．－4
2．已知函数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
3．函数在到之间的平均变化率为，在到的平均变化为，则与的大小关系是 填， 或不确定
4．函数在区间的平均变化率与在处的瞬时变化率相同，则正数 ．
02“在”型切线和“过”型切线
5．函数在处的切线斜率为（ ）
A．0 B．1 C．e D．
6．已知曲线在点处的切线与曲线相切，则常数 ．
7．曲线在处的切线方程为 .
8．若函数的图象在点 处的切线过点，则 ．
9．过点可作曲线的切线的条数最多为 .
10．函数的图象上过点的切线方程为 ．
11．已知曲线，则曲线过原点的切线方程为 .
12．过点且曲线相切的直线的方程为 .
03 切线的条数
13．若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
14．已知过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
15．（多选）已知函数，若曲线过点的切线有两条，则实数的值不可能为（ ）
A． B． C． D．
16．（多选）已知函数，若过点可作曲线的切线有三条，则以下有序实数对中符合条件的有（ ）
A． B． C． D．
04 公切线问题
17．已知，则与的公切线有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
18．若两曲线与存在公切线，则的范围是
19．已知曲线的切线与曲线也相切，若该切线过原点，则 ．
20．若曲线和曲线存在有公共切点的公切线，则 ．
21．已知（e为自然对数的底数），，请写出与的一条公切线的方程 .
05 距离最值转化问题
22．曲线上的点到直线的最短距离是（ ）
A． B．2 C． D．
23．已知点是曲线上任一点，则到直线的距离的最小值是（ ）
A． B． C． D．
24．实数，满足，，则的最小值是 ．
25．已知点，定义为的“镜像距离”．若点在曲线上，且的最小值为2，则实数的值为 .
06导数的运算
26．求下列函数的导数.
(1)
(2)；
(3)；
(4)
27．求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
28．求下列函数的导数：
(1)；
(2)．
29．求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
1．若曲线在与处的切线互相垂直，且两条切线的交点在直线上，则的值可能是（ ）．
A． B． C． D．
2．人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题．牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法．这种求方程根的方法，在科学界已被广泛采用．例如求方程的近似解，先用函数零点存在定理，令，，，得上存在零点，取，牛顿用公式反复迭代，以作为的近似解，迭代两次后计算得到的近似解为 ；以为初始区间，用二分法计算两次后，以最后一个区间的中点值作为方程的近似解，则近似解为 ．
3．已知函数，对抛物线持续实施下面“牛顿切线法”的步骤：
在点处作C的切线，交x轴于；
在点处作C的切线，交x轴于；
在点处作C的切线，交x轴于；
……
由此能得到一个数列，称为“牛顿数列”，则的值为 ；若，则的最大值为 ．
4．已知函数，设曲线在点处切线的斜率为，若均不相等，且，则的最小值为 ．
1．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ．
2．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ．
3．（2023·天津·高考真题）已知函数．
(1)求曲线在处的切线斜率；
4．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
5．（2022·北京·高考真题）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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