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第01讲 函数的概念及其表示
目录
01 常考题型过关练
题型01 函数的概念及其判断
题型02 函数的定义域
题型03 已知解析式求定义域
题型04求抽象函数的定义域
题型05 已知函数的定义域求参数
题型06 待定系数法求解析式
题型07 换元法求解析式
题型08 方程组法求解析式
题型09 求分段函数的函数值
题型10利用分段函数的值求参
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 函数的概念及其判断
1．下列各解析式能够表示函数的是（为自变量）（ ）
A． B．
C． D．
2．已知，下列图形能表示以A为定义域，B为值域的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
3．设集合，．下列四个图象中能表示从集合M到集合N的函数关系的有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
02 函数的定义域
4．（多选）下列每组中的函数不是同一个函数的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
5．下列四组函数中，两个函数表示的是同一个函数的是（ ）.
A．与
B．与
C．与
D．与
6．下列各组函数是同一函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
03 已知解析式求定义域
7．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
8．函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
9．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
04求抽象函数的定义域
10．已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
12．（1）已知的定义域为，求的定义域．
（2）求下列函数的值域：
①；
②．
05 已知函数的定义域求参数
13．“函数的定义域为R”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．已知函数的定义域是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
15．已知函数的定义域为，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
16．已知函数的定义域为R，则实数m的取值范围为 ．
17．已知函数的定义域是，则实数的取值范围是 ．
18．若函数的定义域和值域都为，则的值是 ．
06 待定系数法求解析式
19．已知是一次函数，且，求的解析式 ．
20．已知是二次函数，且，，则 ．
21．（1）已知是一次函数，且满足；
（2）已知，求的解析式.
07 换元法求解析式
22．若函数，则（ ）
A． B． C． D．
23．已知函数，则（ ）
A． B．
C． D．
08 方程组法求解析式
24．已知函数满足，则（ ）．
A．3 B．4 C．5 D．6
25．已知函数满足，则函数 ．
26．定义在上的函数满足，则 ．
09 求分段函数的函数值
27．已知，则（ ）
A． B． C． D．
28．函数的图象大致为（ ）
A．B． C． D．
29．设函数，．若则函数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
10利用分段函数的值求参
30．已知函数且，则（ ）
A． B． C． D．
31．已知函数，且，则实数 ．
32．已知，函数，若，则 ．
33．已知，函数有最大值，则实数k的取值范围是 ．
1．已知定义在上的函数满足对任意的. 则（ ）
A． B．0 C．2 D．1
2．设函数，若，则函数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．定义设函数，记函数，且函数在区间上的值域为，则区间的长度的最大值为（ ）
A．1 B．3 C． D．2
4．已知定义在上的函数满足，则 ， ．
1．（1989·全国·高考真题）与函数有相同图象的一个函数是（ ）
A． B．
C．，其中 D．，其中
2．（2024·广东江苏·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2014·江西·高考真题）已知函数，若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
4．（2004·安徽·高考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2002·上海·高考真题）函数的定义域为 ．
6．（2012·广东·高考真题）函数的定义域是 ．
7．（2006·辽宁·高考真题）设，则 ．
8．（2002·江苏·高考真题）已知，则 .
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第01讲 函数的概念及其表示
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01 常考题型过关练
题型01 函数的概念及其判断
题型02 函数的定义域
题型03 已知解析式求定义域
题型04求抽象函数的定义域
题型05 已知函数的定义域求参数
题型06 待定系数法求解析式
题型07 换元法求解析式
题型08 方程组法求解析式
题型09 求分段函数的函数值
题型10利用分段函数的值求参
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 函数的概念及其判断
1．下列各解析式能够表示函数的是（为自变量）（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】在选项A中，，在实数范围内定义域不存在，不能表示函数，A错误；在选项B中，当时，或，不符合对应法则中“一对一”或“多对一”，B错误；在选项D中，一个值对应2个值，也不符合函数三要素的对应法则，D错误．
2．已知，下列图形能表示以A为定义域，B为值域的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据定义域以及值域概念，由函数概念即可判断结论.
【详解】对于A，函数的值域为，不符合题意；
对于B，函数的值域为，不符合题意；
对于C，函数的定义域为，值域为，符合题意；
对于D，一个自变量对应两个函数值，不符合函数定义，不符合题意．
故选：C．
3．设集合，．下列四个图象中能表示从集合M到集合N的函数关系的有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】B
【分析】根据集合到集合的函数定义即可求解.
【详解】A中中的x没有对应的象，不符合；
B符合函数定义，
C也符合函数定义，
D中对于的x有两个象与之对应，不符合．
所以有2个满足．
故选：B
02 函数的定义域
4．（多选）下列每组中的函数不是同一个函数的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】ACD
【分析】根据相同函数的定义进行逐一判断即可.
【详解】对于A，函数的定义域为R，函数的定义域为，所以这两个函数不是同一个函数；
对于B，因为，且，的定义域均为R，所以这两个函数是同一个函数；
对于C，，和的对应关系不同，所以这两个函数不是同一个函数；
对于D，函数的定义域为{，且}，函数的定义域为R，所以这两个函数不是同一个函数．
故选：ACD．
5．下列四组函数中，两个函数表示的是同一个函数的是（ ）.
A．与
B．与
C．与
D．与
【答案】D
【分析】对两函数的定义域、值域、对应关系分别进行逐一判断即可得出结论.
【详解】对于A，易知的定义域为，而的定义域为，
两函数定义域不同，可知A错误；
对于B，显然的定义域为，
而函数的定义域为，两函数定义域不同，可知B错误；
对于C，两函数定义域均为，但的值域为，
而的值域为，两函数值域不同，即C错误；
对于D，易知与的定义域、值域、对应关系均相同，即D正确.
故选：D
6．下列各组函数是同一函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】C
【分析】根据题意，利用同一函数的判定方法，结合函数的定义域与对应关系，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A，由函数的定义为，
函数的定义域为，
两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，故A错误；
对于B，函数的定义域为，
函数的定义域为，
两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，故B错误；
对于C，函数与，两个函数的定义域与对应关系都相同，
所以两个函数是同一函数，故C正确；
对于D，函数的定义域为，函数的定义域为，
两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，故D错误.
故选：C.
03 已知解析式求定义域
7．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由偶次方根的被开方数非负得到一元二次不等式，解得即可求出集合，再根据交集的定义计算可得.
【详解】由，即，解得，
所以，
又，
所以.
故选：C
8．函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的解析式有意义需满足的条件，解不等式组，即得答案.
【详解】函数要有意义，需满足，
解得且，即函数的定义域是，
故选：D
9．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据函数解析式列出相应不等式，即可求得答案.
【详解】由题意得，得且．
即函数的定义域为，
故选：D
04求抽象函数的定义域
10．已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】通过中间函数过渡，即求出的定义域后可求．
【详解】在中，，∴，
∴的定义域是，
故在中，解得，
∴的定义域是.
故选：A.
11．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出函数的定义域，根据函数解析式有意义，对于函数，可得出关于的不等式，即可解得函数的定义域.
【详解】对于函数，，则，
所以，函数的定义域，
对于函数，有，即，解得.
因此，函数的定义域为.
故选：D.
12．（1）已知的定义域为，求的定义域．
（2）求下列函数的值域：
①；
②．
【答案】（1） ；（2）① ；② ．
【详解】解：（1）在函数中，，则．因此在函数中，，解得，所以函数的定义域为．
（2）①函数的定义域为，，当且仅当时，等号成立，所以函数的值域为．
②函数的定义域为，，当且仅当时，等号成立，所以函数的值域为．
05 已知函数的定义域求参数
13．“函数的定义域为R”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由函数的定义域为R，即对任意恒成立，可得a的范围，则可得 “函数的定义域为R” 是“”的必要不充分条件.
【详解】因为函数的定义域为R，
所以对任意恒成立，
①当时，对任意恒成立；
②当时，只需，解得：；
所以.
记集合，.
因为A B，所以 “函数的定义域为R” 是“”的必要不充分条件.
故选：B.
14．已知函数的定义域是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】函数的定义域是，等价于不等式对任意恒成立，分和两种情况求出实数的取值范围即可.
【详解】因为函数的定义域是，
所以不等式对任意恒成立，
当时，，对任意恒成立，符合题意；
当时，，即，解得：，
综上，实数的取值范围是;
故选：D
15．已知函数的定义域为，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】C
【分析】根据函数定义域求出，利用基本不等式可求答案.
【详解】由题可知，且，即，所以，
当且仅当，时，等号成立，所以的最小值为4.
故选：C.
16．已知函数的定义域为R，则实数m的取值范围为 ．
【答案】
【分析】将的定义域为R转化为的解集为R.分和两种情况进行讨论，从而得到结果.
【详解】的定义域为R，
的解集为R.
即的解集为R.
①当时，恒成立，满足题意；
②当时，，解得：.
实数m的取值范围是.
故答案为：.
17．已知函数的定义域是，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】分析可知对任意实数都成立，分和两种情况，结合判别式列式求解.
【详解】由题意得对任意实数都成立，
当时，，符合题意；
当时，满足，解得；
综上所述，实数的取值范围为．
故答案为：．
18．若函数的定义域和值域都为，则的值是 ．
【答案】
【分析】根据为一次函数列式计算即可.
【详解】由题意知为一次函数，则
所以.
故答案为：.
06 待定系数法求解析式
19．已知是一次函数，且，求的解析式 ．
【答案】或
【分析】设，得到，对照系数，得到方程组，求出答案.
【详解】设，则，
故，所以，
解得或，
故或.
故答案为：或.
20．已知是二次函数，且，，则 ．
【答案】
【分析】根据题意，利用待定系数，设，准确运算，即可求解.
【详解】设，
因为，可得，
又因为，可得，
即，所以,
解得，所以．
故答案为：.
21．（1）已知是一次函数，且满足；
（2）已知，求的解析式.
【答案】（1），（2）
【分析】（1）由待定系数法求解即可；
（2）由换元法求解即可.
【详解】（1）设，
，
，即，
可得，解得，
所以.
（2）设，则，
，化简得，
.
07 换元法求解析式
22．若函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意利用配凑法分析求解，注意函数的定义域.
【详解】因为，
且，所以．
故选：D.
23．已知函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】令，通过换元法即可求解.
【详解】令，则，且，则，
可得，
所以．
故选：B．
08 方程组法求解析式
24．已知函数满足，则（ ）．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】分别令联立方程组，求得答案.
【详解】因为，分别令，
联立得，解得，
故选：C.
25．已知函数满足，则函数 ．
【答案】
【分析】构造关于的方程组后可解得.
【详解】由题知用代换得到，，
与两式联立，消去，
解得．
故答案为：.
26．定义在上的函数满足，则 ．
【答案】1344
【详解】解法1 在已知等式中，用替换x，并与已知等式联立得解得，则．
解法2 由题意可知，当时，①，当时，②，得，所以．
09 求分段函数的函数值
27．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，依次判断代入求值.
【详解】函数，则，
所以.
故选：A
28．函数的图象大致为（ ）
A．B． C． D．
【答案】B
【详解】所以在上单调递增，在上单调递减．因此函数的图象为选项B．
29．设函数，．若则函数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】当时，即，解得或，作出的图象（实线）如图，由图象可知．
10利用分段函数的值求参
30．已知函数且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数解析式，当时m无解，当时解得，即可求解.
【详解】由题意知，当时，，
得，又，所以方程无解；
当时，，
得，即，解得，
所以.
故选：D
31．已知函数，且，则实数 ．
【答案】或4或
【详解】令，则，解得或0．由，得，解得．由得，解得或．
故答案为：或4或
32．已知，函数，若，则 ．
【答案】
【分析】根据分段函数的解析式，代入即可逐层求解.
【详解】，所以，
所以，
故答案为：
33．已知，函数有最大值，则实数k的取值范围是 ．
【答案】,
【分析】要使有最大值，只需且，然后求出的取值范围即可．
【详解】当时，无最大值，
当时，要使函数存在最大值，则且，
即，所以，
所以的取值范围为,．
故答案为：,．
1．已知定义在上的函数满足对任意的. 则（ ）
A． B．0 C．2 D．1
【答案】C
【分析】赋值分别令、可得，再令即可得解.
【详解】因为对任意的，
令，则，即；
令，则，即；
可得，
令，则，解得.
故选：C.
2．设函数，若，则函数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】作出函数的图象如图所示，当时，即，解得或，则由图象可知．
3．定义设函数，记函数，且函数在区间上的值域为，则区间的长度的最大值为（ ）
A．1 B．3 C． D．2
【答案】D
【详解】令，则，解得，所以则的图象如图：
又，且函数在区间上的值域为，当时，；当时，，所以当时，区间的长度取得最大值，最大值为2．
4．已知定义在上的函数满足，则 ， ．
【答案】 1
【详解】因为，令，得，所以．令，得①，令，得②，，得，解得．
1．（1989·全国·高考真题）与函数有相同图象的一个函数是（ ）
A． B．
C．，其中 D．，其中
【答案】D
【分析】选项A图象为折线判断错误；选项B图象上无原点判断错误；选项图象为无端点射线判断错误；选项D可化为与函数有相同图象判断正确.
【详解】选项A：，图象为折线.判断错误；
选项B：，图象上无原点.判断错误；
选项C：，图象为无端点射线.判断错误；
选项D：，与函数有相同图象.判断正确.
故选：D
2．（2024·广东江苏·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】代入得到，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.
【详解】因为当时，所以，
又因为，
则，
，
，
，
，则依次下去可知，则B正确；
且无证据表明ACD一定正确.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用，再利用题目所给的函数性质，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.
3．（2014·江西·高考真题）已知函数，若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】根据分段函数解析式计算即可.
【详解】，，解得.
故选：A.
4．（2004·安徽·高考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先利用二倍角公式化简求出，再利用二倍角变形即可求得.
【详解】
，
故选：D
5．（2002·上海·高考真题）函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】根据分母不为零可求得定义域.
【详解】由已知
，得且
故函数的定义域为.
故答案为：
6．（2012·广东·高考真题）函数的定义域是 ．
【答案】
【分析】根据分母不等于零及开偶数次方根号里的数大于等于零求解即可.
【详解】由，
得，解得且，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
7．（2006·辽宁·高考真题）设，则 ．
【答案】/0.5
【分析】根据分段函数的解析式，先求出的值，再求的值．
【详解】∵，∴，
∴．
故答案为：．
8．（2002·江苏·高考真题）已知，则 .
【答案】
【分析】由已知得，又，则将所求分组为，即可求解.
【详解】因为，
所以，又，
所以
.
故答案为：.
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